计算机图形学电子教案c7.ppt

,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,*,*,第7章 曲线与曲面,7.1 基础知识,7.2 曲线曲面设计基础,7.3 Hermite曲线与曲面,7.4 Bzier 曲线与曲面,7.5 B样条曲线与曲面,1,概述,工业产品的表面几何形状大致可分为两类：,一类由初等解析曲面，如平面、圆柱面、圆锥面、球面、圆环面等组成，可以用初等解析函数完全清楚地表达。,另一类由自由曲面组成。如汽车车身、飞机机翼和轮船船体等的曲线和曲面，不能用初等解析函数完全清楚地表达全部形状，需要构造新的函数来进行研究。,这些研究成果形成了计算机辅助几何设计(Computer Aided Geometric Design，CAGD)学科。,2,概述,样条(spline)是富有弹性的细木条或有机玻璃条。早期船舶、汽车、飞机放样时用压铁压在样条上的一系列型值点上，调整压铁达到设计要求后绘制其曲线，称为样条曲线。,3,概述,曲线曲面的计算机辅助设计源于20世纪60年代的飞机和汽车工业。,1962年法国雷诺汽车公司的Bzier提出的以逼近为基础的曲线曲面设计系统UNISURF；,Pierre Bzier,此前de Casteljau大约于1959年在法国另一家汽车公司雪铁龙的CAD系统中有同样的设计；,1963年美国波音公司的Ferguson曲线；,1964年Coons提出了一类布尔和形式的曲面；(图形学最高奖以Coons的名字命名),4,概述,1972年，deBoor和Cox分别给出B样条的标准算法；,1975年以后，Riesenfeld等人研究了非均匀B样条曲线曲面，美国锡拉丘兹大学的 Versprille研究了有理B样条曲线曲面；,20世纪80年末、90年代初，Piegl和Tiller等人对有理B样条曲线曲面进行了深入的研究，并形成非均匀有理B样条(Non-Uniform Rational B-Spline，简称NURBS)；,1991年ISO正式颁布了国际标准STEP(产品模型数据转换标准)，,NURBS是工业产品几何定义唯一的一种自由型曲线曲面,。,5,7.1 基础知识,1.曲线的表示形式,2.曲面的表示形式,3.连续性,4.插值、逼近、拟合和光顺,6,1.,曲线的表示形式,例如，直线的表示形式：,显示：,隐式：,参数形式：,矢量形式：,矩阵形式：,P,1,P,2,8,1.,曲线的表示形式,例如，,三次曲线参数方程的矢量和矩阵表示,：,9,1.,曲线的表示形式,显示和隐式的表示方法存在下述问题：,与坐标轴相关；,多值；如：x,2,+y,2,=R,2,会出现斜率为无穷大的情形(如垂线)；,不便于计算机编程。,r(t,2,),r(t,1,),O,Y,X,Z,空间曲线,三维空间曲线可理解为一个动点的轨迹，位置矢量随参数 t 变化的关系就是一条空间曲线。,10,1.,曲线的表示形式,参数表示的优点：,便于用户把低维空间中曲线、曲面扩展到高维空间去；,参数方程将自变量和各因变量完全分开，使得参数变化对各因变量的影响可以明显地表示出来。,规格化的参数变量t0,1，使其相应的几何分量是有界的，而不必用另外的参数去定义边界；,易于用矢量和矩阵表示，简化了计算。,11,1.,曲线的表示形式,参数表示的优点：,满足几何不变性的要求；,(曲线形状本质上与坐标系的选取无关，某些几何性质不随一定的坐标变换而变化的性质称为几何不变性),有更大的自由度来控制曲线、曲面的形状；,对曲线、曲面进行几何变换，可对其参数方程直接进行几何变换；,便于处理斜率为无穷大的情形；,12,1.,曲线的表示形式,设三维坐标系Oxyz中，曲线的方程为：,或,定义P(t)的k阶导数P,k,(t)为：,对tt,0,，若P(t,0,)0，则称P(t,0,)为,正则点,。当曲线上所有点都是正则点时，称该曲线为,正则曲线,。以后如不特别指明，均假定讨论的都是正则曲线。,13,1.,曲线的表示形式,切,矢量P(t)：,反映曲线上各点的坐标变量关于参数的变化率。方向与曲线的变化方向一致。,P(t),P(t),P(t+t),P,P(0),P(1),R,Q,14,1.,曲线的表示形式,弧长s：,对正则曲线P=P(t)，定义,为,曲线从参数区间0t的弧长,。其中,是切矢量,P(t,0,),的长度。,P(0),P(t),15,1.,曲线的表示形式,s=s(t)存在反函数t=t(s)（证明过程略）。将其代入曲线的参数方程，得到同一曲线以其弧长s为参数的方程P=P(s)。,以弧长为参数的曲线方程称为,自然参数方程,。,从弧长的定义可看出，它即与参数t的选取无关，也与坐标系无关，从而以弧长为参数来表示曲线易于讨论曲线本身固有的性质。,本小节以后的讨论中，如不特别指出，曲线方程中的参数均是指弧长参数。,P(0),P(t),P(0),P(1),s,P(s),16,1.,曲线的表示形式,选择弧长s作为参数时，曲线的切矢量,为单位矢量，记为T(s)或T。,P,s,P(0),P(1),R,Q,T(s),极限情况下，,可认为P和s的长度相等。所以，,T(s)为单位矢量,。,17,1.,曲线的表示形式,单位切矢T对弧长 s求导，所得导矢dT/ds与切矢T相垂直，称为,曲率(矢量)k,。,其单位矢量称为曲线的单位主法矢，记为N(s)；,当|k(s)|,0时，曲率的倒数称为曲线的曲率半径，记为：,(s),有时候也将其模长|k(s)|简称为曲率，请根据上下文进行区分。,d,T(s+s),T(s),T(s+s),曲率的几何意义是曲线的单位切矢T对弧长的转动率T(s)，与N同向。如：直线曲率处处为0；圆的曲率为常数，曲率半径等于其半径。,18,1.,曲线的表示形式,矢量积 B=TN 是第三个单位矢量，它垂直于T和N。称为曲线的,副法矢,。,记为B(s)。,过曲线上任一点P(s)，有3个两两垂直的单位矢量T、N、B，它们构成了曲线在P点处的,Frenet标架,（一个活动坐标系）。,由T和N张成的平面称为,密切平面,；由N和B张成的平面称为,法平面,；由T和B张成的平面称为,从切面,。,T,B,P,N,法平面,密切平面,从切面,密切园,19,对于平面曲线，密切面就是其所在平面，副法失B是固定不变的。,对于非平面曲线，B不再是常矢量，它的变化率：,反映了曲线的扭挠性质，记为,挠率,。,1.,曲线的表示形式,法平面,密切平面,从切面,T,N,B,P,T,1,B,1,N,1,N,0,B,0,T,0,B,1,20,1.,曲线的表示形式,反映曲线的扭挠程度，即曲线在该点处扭出密切面的速率。(在法平面内的扭转程度),大小等于副法失B(或密切平面)对于弧长s的转动率B(s)。,0，0,0。,也可,简单的理解为G,n,就是在满足G,n-1,时，在连接处的,n阶导数成比例,。也称为视觉连续，就是连接处看上去光滑。,30,3.连续性,对于曲面片，若两个曲面片在公共连接线上处处满足上述各类连续性条件，则两个曲面片之间有同样的结论。,曲面片1,曲面片2,u,v,C,2,G,2,C,n,连续保证,G,n,连续，但反过来不行。也就是说,C,n,连续的条件比,G,n,连续的条件要苛刻。,G,n,提供了更大的自由度。,31,插值：,给定一组有序的数据点P,i,，i=0,1,n，构造一条曲线顺序通过这些数据点(型值点)，称为对这些数据点进行插值，所构造的曲线称为插值曲线(Interpolate curve)。(如：线性插值、抛物线插值),逼近：,当型值点太多时，插值困难。构造一条曲线使之在某种意义下最接近给定的数据点(但未必通过这些点)，反映出实验特性、变化规律和趋势等。,在计算数学中，逼近通常指用一些性质较好的函数近似表示一些性质不好的函数。,如：最小二乘法。,4.插值、逼近、拟合和光顺,32,4.插值、逼近、拟合和光顺,拟合：,并没有完整的定义和数学表示。在计算机图形学中，拟合是指在曲线、曲面设计过程中，用插值或逼近的方法使生成的曲线、曲面达到某些设计要求。如：接近型值点(控制多边形)，看上去“光滑”、“光顺”等。,在使用中，有时候并不严格区分“逼近”、“拟合”这两个概念。,光顺(Fairing)：,至今仍是一个模糊的概念，尚无统一的标准。通俗的说就是指曲线的拐点不能太多，看上去“顺眼”。对平面曲线而言，相对光顺的条件是：,具有二阶几何连续性(G,2,)；,不存在多余拐点和奇异点；,曲率变化较小。,33,第7章 曲线与曲面,7.1 基础知识,7.2 曲线曲面设计基础,7.3 Hermite曲线与曲面,7.4 Bzier 曲线与曲面,7.5 B样条曲线与曲面,7.6 NURBS曲线与曲面,34,7.2 曲线曲面设计基础,1.多项式曲线,2.三次参数样条曲线,3.参数曲线的代数和几何形式,35,1.参数多项式曲线,n次多项式的全体构成n次多项式空间，在其中任选一组线性无关的多项式都可以作为基。,幂基：u,i,，i=0，1，n 是最简单的多项式基,，相应的参数多项式曲线方程为：,对于给定的n+1个数据点P,i,，i=0,1,2,n，欲构造其插值曲线或逼近曲线，必先得到对应于各数据点P,i,的参数值u,i,，u,i,是一个严格递增的序列：,U：u,0,u,1,u,n,36,1.参数多项式曲线,对给定数据点实行参数化，将参数值u,i,代入上述方程，使之满足插值条件：,其中，i=0,1,n，可得一组线性方程组：,37,1.参数多项式曲线,解线性方程组，可得唯一解A(系数矢量)。,38,1.参数多项式曲线,采用不同的参数化，得到的曲线也不同。常用的参数化方法：,(1)均匀参数化(等距参数化)；,(2)积累弦长参数化；,(3)向心参数化；,(4)修正弦长参数化；,其它多项式插值曲线如Lagrange、Newton、Hermite等较之幂基多项式曲线在计算性能等方面有较大改进，但总体上幂基多项式曲线存在以下问题：,幂基多项式曲线方程中的系数矢量A几何意义不明确，构造曲线时，需解线性方程组，n较大时，不可取。,次数增高时，出现多余的拐点；,整体计算，一个数据点的微小改动，可能引起曲线整体大的波动。,39,2.三次参数样条曲线,由于高次多项式曲线存在缺陷，单一低次多项式曲线又难以描述复杂形状的曲线。所以采用,低次多项式按分段的方式,在一定的连续性条件下拼接复杂的组合曲线是唯一的选择。,实际工作中，通常使用的是三次参数多项式：,P,1,(t)=a,1,+b,1,t+c,1,t,2,+d,1,t,3,P,2,(t)=a,2,+b,2,t+c,2,t,2,+d,2,t,3,P,3,(t)=a,3,+b,3,t+c,3,t,2,+d,3,t,3,为何选用“三次”？,40,2.三次参数样条曲线,样条函数(Spline),：,Schoenberg于1946年提出,国外60年代广泛研究,国内70年代开始。,样条曲线的物理背景：,样条(spline)是富有弹性的细木条或有机玻璃条。早期船舶、汽车、飞机放样时用压铁压在样条上的一系列型值点上，调整压铁达到设计要求后绘制其曲线，称为样条曲线。,物理样条的性质：,（1）样条是物质连续的，相当于函数C,0,连续；,（2）样条在压铁两侧斜率相同，相当于函数C,1,连续；,（3）样条在压铁两侧曲率相同，相当于函数C,2,连续；,41,2.三次参数样条曲线,三次参数样条曲线的数学描述：,给定n个,型值点P,i,(i=1,2,n)，且P,i,P,i+1,，,在区间a,b上给定一个分割,：a=t,1,t,2,1，N,i,k,(t)是两个(k-1)阶基函数的线性组合；,108,3.B样条基函数的基本性质,1.局部性：,反过来，给定节点区段t,j,t,j+1,)，最多只有k个N,i,k,(t)在其上值为非零，它们是：,节点距离t,i+1,-t,i,不等时，函数图形也不相同。,109,3.B样条基函数的基本性质,2.非负性：,由基函数的定义式，对于所有的i，k，t，,3.N,i,k,(t)在每个长度非0的区间t,j,t,j+1,)都是次数不高于k-1的多项式，从而在整个t轴上是一分段多项式；,对上面三条性质，说明如下：,110,3.B样条基函数的基本性质,当k=1时，,N,i,1,(t)是一阶跃函数，在区间t,i,t,i+1,)外均为零；,111,3.B样条基函数的基本性质,当k=2时，,112,当k=3时，,以此类推，可说明N,i,k,(t)的局部性、非负性，及它是分段多项式曲线。,3.B样条基函数的基本性质,113,3.B样条基函数的基本性质,4.权性（规范性）,：,114,3.B样条基函数的基本性质,5.连续性：,N,i,k,(t)在L重节点处，至少为k-1-L次连续(C,k-1-L,)。,因此增加阶数可提高连续性次数，增加重节点数将降低连续性次数；,下图以,4,阶均匀节点为例：,节点：0,1,2,3,4,节点：0,1,1,2,3,节点：0,1,1,1,2,节点：0,1,1,1,1,115,3.B样条基函数的基本性质,6.可导性,：,7.线性无关性,：,N,i,k,(t)，i=0,1,n线性无关。,116,4.B样条曲线的性质,1.局部性：,P(t)在参数区间tt,i,t,i+1,)，(k-1in)上的部分只与控制顶点P,i-k+1,P,i-k+2,P,i,相关。,反之，修改P,i,只影响曲线P(t)在区间t,i,t,i+k,)中的部分。,117,4.B样条曲线的性质,2.凸包性：,P(t)在区间(t,i,t,i+1,)，k-1i n上的部分位于k个点P,i-k+1,P,i,的凸包Ch,i,内，则整条曲线则位于各凸包Ch,i,的并集之内。,(,控制多边形退化为一条直线时，曲线也退化为一条直线)。,3.分段参数多项式：,P(t)在每一区间(t,i,t,i+1,)，k-1i n上都是次数不高于k-1的参数t的多项式；,P(t)是参数t的次数不高于k-1次的分段多项式。,118,4.B样条曲线的性质,4.导数公式：,它是一条k-1阶的B样条曲线。,119,4.B样条曲线的性质,5.连续性：,P(t)在L重节点t,i,，ki n处的连续阶不低于 k-1-L；整条曲线的连续阶不低于k-1-L,max,L,max,表示位于区间t,k-1,t,n+1,内的节点的最大重数。,例如：假定L,max,=1，,当k=1时，曲线为C,-1,，即不连续，退化为离散的控制顶点；,当k=2时，曲线为C,0,，即为控制多边形本身；,当k=3时，曲线为C,1,；,次数越低，B样条曲线越逼近控制顶点；,120,4.B样条曲线的性质,6.变差缩减性：,在该平面内的任意一条直线与 P(t)的交点个数不多于该直线和特征多边形的交点个数。,7.几何不变性：,B样条曲线的形状和位置与坐标系的选择无关。,8.仿射不变性：,在仿射变换下，P(t)的表达式具有形式不变性。,121,5.均匀B样条曲线,从前面的分析中我们看出，如果节点矢量T,n,k,中节点的分布不同时，基函数的图形也会不同。,B样条曲线按其节点矢量中节点的分布情况，可划分为两种类型,：,均匀B样条曲线,非均匀B样条曲线,122,5.均匀B样条曲线,放弃了利用节点调节曲线的能力。,只能通过控制顶点对曲线进行调节。,节点矢量中节点为沿参数轴均匀等距分布，所有节点区间长度t,i+1,-t,i,为大于零的常数，通常规范化为1。可将定义在每个节点区间t,i,t,i+1,)上用整体参数t表示的B样条变换成用局部参数u 0,1)表示。,123,可以很容易写出二次、三次均匀B样条曲线的方程：,5.,均匀B样条曲线,124,n,k,曲线段数的关系：,曲线段数=,顶点数(n+1)-曲线次数(k-1),三次均匀B样条曲线,125,三次均匀B样条曲线,修改P,i,只影响曲线P(t)在区间t,i,t,i+k,)中的部分。,126,B,样条曲线,二次B样条,n=2,抛物线,B0,B2,B1,M,P(0.5),P(1),P(0),127,B,样条曲线,三次B样条,n=3,P(t),B0,B1,B2,B3,128,B,样条曲线,特殊外形设计,三顶点共线,位于控制多边形边上的一个点,P0,P2,P1,M,P(0),P(0),P0,P2,M,P1,P(0),129,B,样条曲线,特殊外形设计,四顶点共线,含有直线段的曲线,P0,P3,P1,P2,P(0),M1,P(1),M2,130,B,样条曲线,特殊外形设计,两顶点重合,P0,P2,P1,M,P(0),P0,P2,M,P1,P(0),P(0),131,B,样条曲线,特殊外形设计,两顶点重合,相切于控制多边形边的曲线,P2,P5,P1,P0,P4,P3,132,B,样条曲线,特殊外形设计,三顶点重合,含有尖点的曲线,P2,P6,P1,P0,P4,P3,P5,133,6.Deboor-Cox递推算法,欲计算B样条曲线上对应一点P(t)，可以利用B样条曲线方程，但是采用de Boor 算法，计算更加快捷。,de Boor 算法的导出：,134,7.Deboor-Cox递推算法,令：,则,这就是著名的de Boor 算法。,135,6.Deboor-Cox递推算法,De Boor 算法的几何意义：,同Bzier曲线的递推算法一样，de Boor算法有着直观的几何意义,割角，即以线段P,i,r,P,i+1,r,割去角P,i,r-1,。从多边形P,j-k+1,P,j-k+2,P,j,开始，经过 k-1 层割角，最后得到P(t)上的点,P,j,r-1,(t),。,136,B,样条曲线小节,优点：,与控制多边形的外形更接近,局部修改能力,任意形状，包括尖点、直线的曲线,易于拼接,阶次低，与型值点数目无关，计算简便,缺点：,不能精确表示圆,137,7.均匀B样条曲面,给定16个顶点d,ij,(i=1,2,3,4 j=1,2,3,4)构成的特征网格，可以定义一张双3次B样条曲面片。,用d,i1,、d,i2,、d,i3,、d,i4,(i=1,2,3,4)构建四条V向曲线C,1,、C,2,、C,3,和C,4,(图中虚线);,d,24,u,v,d,42,d,43,d,44,d,11,d,12,d,13,d,14,d,21,d,23,d,31,d,32,d,33,d,34,C,4,C,3,C,1,C,2,d,41,d,22,138,7.均匀B样条曲面,参数v在0,1 之间取值v,k,，对应于v,k,曲线C,1,、C,2,、C,3,和C,4,上可得到V,1k,、V,2k,、V,3k,和V,4k,四个点，该四点构成u向的一个特征多边形，定义一条新的曲线P(u,v,k,)；,当参数v,k,在0,1 之间取不同值时，P(u,v,k,)沿箭头方向扫描，即得到由给定特征网格d,ij,(i=1,2,3,4 j=1,2,3,4)定义的双三次均匀B样条曲面片P(u,v)。,u,v,C,4,C,3,C,1,C,2,V,1k,V,3k,V,4k,V,2k,139,d,24,u,v,V,1k,d,42,d,43,d,44,d,11,d,12,d,13,d,14,d,21,d,23,d,31,d,32,d,33,d,34,C,4,C,3,C,1,C,2,V,2k,V,3k,V,4k,d,41,P(u,v,K,),d,22,7.均匀B样条曲面,双三次均匀B样条曲面P(u,v)的矩阵表示：,B样条曲面具有和B样条曲线相类似的性质和控制方法。,140,第7章 曲线与曲面小结,曲线、曲面设计时，即可以通过给定的控制参数来生成曲线、曲面；也可利用用曲线、曲面来插值给定的数据点。,曲线、曲面设计方法的关键在于,基函数的选择,，选择合适的基函数能够使系数矢量具有更明确的几何意义，绘图操作简单直观。,基函数和参数化方法的选择对曲线、曲面的精度、光顺性、局部修改性具有决定性的影响。,整个曲线、曲面设计方法的改进方向是在提高精度、保证光顺性的同时追求,灵活的操作、明确的几何意义和良好的局部修改性,。,141,第7章 曲线与曲面,结束！,142,