高中数学选修121.1回归分析的基本思想及其初步应用.ppt

,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,a.比数学3中“回归”增加的内容,数学统计,画散点图,了解最小二乘法的思想,求回归直线方程,y,bx,a,用回归直线方程解决应用问题,选修-统计案例,引入线性回归模型,y,bx,a,e,了解模型中随机误差项,e,产生的原因,了解相关指数,R,2,和模型拟合的效果之间的关系,了解残差图的作用,利用线性回归模型解决一类非线性回归问题,正确理解分析方法与结果,问题1：,正方形的面积y与正方形的边长x之间,的,函数关系,是,y=x,2,确定性关系,问题2：,某水田水稻产量y与施肥量x之间是否,-,有一个确定性的关系？,例如：,在 7 块并排、形状大小相同的试验田上 进行施肥量对水稻产量影响的试验，得到如下所示的一组数据：,施化肥量x,15 20 25 30 35 40 45,水稻产量y,330 345 365 405 445 450 455,复习:变量之间的两种关系,自变量取值一定时，因变量的取值带有一定随机性的两个变量之间的关系叫做,相关关系,。,1、定义：,1）：相关关系是一种不确定性关系；,注,对具有相关关系的两个变量进行统计分析的方法叫,回归分析,。,2）：,例1,从某大学中随机选取8名女大学生，其身高和体重数据如表1-1所示。,编号,1,2,3,4,5,6,7,8,身高/cm,165,165,157,170,175,165,155,170,体重/kg,48,57,50,54,64,61,43,59,求根据一名女大学生的身高预报她的体重的回归方程，并预报一名身高为,172cm的女大学生的体重。,案例1：女大学生的身高与体重,解：1、选取身高为自变量x，体重为因变量y，作散点图：,2、由散点图知道身高和体重有比较好的,线性相关关系，因此可以用线性回归方程,刻画它们之间的关系。,3、从散点图还看到，样本点散布在某一条,直线的附近，而不是在一条直线上，所以,不能用一次函数y=bx+a描述它们关系,。,我们可以用下面的,线性回归模型,来表示：,y=bx+a+e,，其中a和b为模型的未知参数，,e称为随机误差,。,思考P3,产生随机误差项e,的原因是什么？,思考,产生随机误差项e的原因是什么？,随机误差e的来源(可以推广到一般）：,1、其它因素的影响：影响体重,y,的因素不只是身高,x,，可能还包括遗传基因、饮食习惯、生长环境等因素；,2、用线性回归模型近似真实模型所引起的误差；,3、身高,x,的观测误差。,函数模型与回归模型之间的差别,函数模型：,回归模型：,可以提供,选择模型的准则,例1,从某大学中随机选取8名女大学生，其身高和体重数据如表1-1所示。,59,43,61,64,54,50,57,48,体重/kg,170,155,165,175,170,157,165,165,身高/cm,8,7,6,5,4,3,2,1,编号,求根据一名女大学生的身高预报她的体重的回归方程，并预报一名身高为,172cm的女大学生的体重。,根据最小二乘法估计 和 就是未知参数a和b的最好估计，,制表,7 8 合计,6,5,4,3,2,1,i,所以回归方程是,所以，对于身高为172cm的女大学生，由回归方程可以预报,其体重为,探究P4：,身高为172cm的女大学生的体重一定是60.316kg吗？如果不是，你能解析一下原因吗？,例1,从某大学中随机选取8名女大学生，其身高和体重数据如表1-1所示。,59,43,61,64,54,50,57,48,体重/kg,170,155,165,175,170,157,165,165,身高/cm,8,7,6,5,4,3,2,1,编号,求根据一名女大学生的身高预报她的体重的回归方程，并预报一名身高为,172cm的女大学生的体重。,探究P4：,身高为172cm的女大学生的体重一定是60.316kg吗？如果不是，你能解析一下原因吗？,答：身高为172cm的女大学生的体重不一定是60.316kg，但一般可以认为她的体重在60.316kg左右。,60.136kg不是每个身高为172cm的女大学生的体重的预测值，而是所有身高为172cm的女大学生,平均体重的预测值,。,函数模型与回归模型之间的差别,函数模型：,回归模型：,线性回归模型y=bx+a+e,增加了随机误差项e,，因变量y的值由自变量x和随机误差项e共同确定，即,自变量x只能解析部分y的变化,。,在统计中，我们也把自变量x称为解析变量，因变量y称为预报变量。,1.用相关系数 r 来衡量,2.公式：,求出线性相关方程后，说明身高x每增加一个单位,体重y就增加0.849个单位,这表明体重与身高具有正的线性相关关系.如何描述它们之间线性相关关系的强弱呢?,、当 时，x与y为完全线性相关，它们之间存在确定的函数关系。,、当 时，表示x与y存在着一定的线性相关，r的绝对值越大，越接近于1，表示x与y直线相关程度越高，反之越低。,3.性质：,相关关系的测度,（相关系数取值及其意义）,-1.0,+1.0,0,-0.5,+0.5,完全负相关,无线性相关,完全正相关,负相关程度增加,r,正相关程度增加,对回归模型进行统计检验,思考P6：,如何刻画预报变量（体重）的变化？这个变化在多大程度上,与解析变量（身高）有关？在多大程度上与随机误差有关？,假设身高和随机误差的不同不会对体重产生任何影响，那么所有人的体重将相同。,在体重不受任何变量影响的假设下，设8名女大学生的体重都是她们的平均值，,即8个人的体重都为54.5kg。,54.5,54.5,54.5,54.5,54.5,54.5,54.5,54.5,体重/kg,170,155,165,175,170,157,165,165,身高/cm,8,7,6,5,4,3,2,1,编号,54.5kg,在散点图中，所有的点应该落在同一条水平直线上，但是观测到的数据并非如此。,这就意味着,预报变量（体重）的值,受解析变量（身高）和随机误差的影响,。,59,43,61,64,54,50,57,48,体重/kg,170,155,165,175,170,157,165,165,身高/cm,8,7,6,5,4,3,2,1,编号,例如，编号为6的女大学生的体重并没有落在水平直线上，她的体重为61kg。解析变量（身高）和随机误差共同把这名学生的体重从54.5kg“推”到了61kg，相差6.5kg，所以,6.5kg是解析变量和随机误差的,组合效应,。,编号为3的女大学生的体重并也没有落在水平直线上，她的体重为50kg。解析变量（身高）和随机误差共同把这名学生的体重从50kg“推”到了54.5kg，相差,-4.5kg,，这时解析变量和随机误差的组合效应为,-4.5kg,。,54.5kg,用这种方法可以对所有预报变量计算组合效应。,数学上，把每个效应（观测值减去总的平均,值）的平方加起来，即用,表示总的效应，称为,总偏差平方和,。,在例1中，总偏差平方和为354。,59,43,61,64,54,50,57,48,体重/kg,170,155,165,175,170,157,165,165,身高/cm,8,7,6,5,4,3,2,1,编号,那么，在这个总的效应（总偏差平方和）中，有多少来自于解析变量（身高）？有多少来自于随机误差？,假设随机误差对体重没有影响，也就是说，体重仅受身高的影响，那么散点图中所有的点将完全落在回归直线上。但是，在图中，数据点并没有完全落在回归直线上。,这些点散布在回归直线附近，所以一定是随机误差把这些点从回归直线上“推”开了,。,因此，数据点和它在回归直线上相应位置的差异,是随机误差的效应，称 为,残差,。,在例1中，残差平方和约为128.361。,例如，编号为6的女大学生，计算随机误差的效应（残差）为：,对每名女大学生计算这个差异，然后分别将所得的值平方后,加起来，用数学符号表示为：,称为,残差平方和,，,它代表了,随机误差的效应,。,由于解析变量和随机误差的总效应（总偏差平方和）为354，而随机误差的效应为128.361，所以解析变量的效应为,354-128.361=225.639，这个值称为,回归平方和。,解析变量和随机误差的总效应（总偏差平方和）,=解析变量的效应（回归平方和）+随机误差的效应（残差平方和）,我们可以用,相关指数R,2,来刻画回归的效果，其计算公式是,显然，R,2,的值越大，说明残差平方和越小，也就是说模型拟合效果越好。,在线性回归模型中，R,2,表示解析变量对预报变量变化的贡献率,。,R,2,越接近1，表示回归的效果越好（因为R,2,越接近1，表示解析变量和预报变量的线性相关性越强）。,如果某组数据可能采取几种不同回归方程进行回归分析，则可以通过比较R,2,的值来做出选择，即,选取R,2,较大的模型作为这组数据的模型,。,总的来说：,相关指数R,2,是度量模型拟合效果的一种指标。,在线性模型中，它,代表自变量刻画预报变量的能力,。,我们可以用,相关指数R,2,来刻画回归的效果，其计算公式是,1,354,总计,0.36,128.361,随机误差(e),0.64,225.639,解释变量(身高),比例,平方和,来源,表1-3,从表3-1中可以看出，解析变量对总效应约贡献了64%，即R,2,0.64，可以叙述为“身高解析了64%的体重变化”，而随机误差贡献了剩余的36%。所以，身高对体重的效应比随机误差的效应大得多。,在研究两个变量间的关系时，首先要根据散点图来粗略判断它们是否线性相关，是否可以用回归模型来拟合数据。,残差分析与残差图的定义：,然后，我们可以通过残差 来判断模型拟合的效果，判断原始数据中是否存在可疑数据，,这方面的分析工作称为残差分析,。,编号,1,2,3,4,5,6,7,8,身高/cm,165,165,157,170,175,165,155,170,体重/kg,48,57,50,54,64,61,43,59,残差,-6.373,2.627,2.419,-4.618,1.137,6.627,-2.883,0.382,我们可以利用图形来分析残差特性，作图时纵坐标为残差，横坐标可以选为样本编号，或身高数据，或体重估计值等，这样作出的图形称为,残差图,。,表1-4列出了女大学生身高和体重的原始数据以及相应的残差数据。,使用公式 计算残差,残差图的制作及作用。,坐标纵轴为残差变量，横轴可以有不同的选择；,若模型选择的正确，残差图中的点应该分布在以横轴为心的带形区域,；,对于远离横轴的点，要特别注意,。,身高与体重残差图,异常点,错误数据,模型问题,几点说明：,第一个样本点和第6个样本点的残差比较大，需要确认在采集过程中是否有人为的错误。如果数据采集有错误，就予以纠正，然后再重新利用线性回归模型拟合数据；如果数据采集没有错误，则需要寻找其他的原因。,另外，残差点比较均匀地落在水平的带状区域中，说明选用的模型比较合适，这样的带状区域的宽度越窄，说明模型拟合精度越高，回归方程的预报精度越高。,用身高预报体重时，需要注意下列问题：,1、回归方程只适用于我们所研究的样本的总体；,2、我们所建立的回归方程一般都有时间性；,3、样本采集的范围会影响回归方程的适用范围；,4、不能期望回归方程得到的预报值就是预报变量的精确值。,事实上，它是预报变量的可能取值的平均值。,这些问题也使用于其他问题。,一般地，建立回归模型的基本步骤为：,（1）确定研究对象，明确哪个变量是解析变量，哪个变量是预报变量。,（2）画出确定好的解析变量和预报变量的散点图，观察它们之间的关系（如是否存在线性关系等）。,（3）由经验确定回归方程的类型（如我们观察到数据呈线性关系，则选用线性回归方程y=bx+a）.,（4）按一定规则估计回归方程中的参数（如最小二乘法）。,（5）得出结果后分析残差图是否有异常（个别数据对应残差过大，或残差呈现不随机的规律性，等等），过存在异常，则检查数据是否有误，或模型是否合适等。,什么是回归分析？,（内容）,从一组样本数据出发，确定变量之间的数学关系式,对这些关系式的可信程度进行各种统计检验，并从影响某一特定变量的诸多变量中找出哪些变量的影响显著，哪些不显著,利用所求的关系式，根据一个或几个变量的取值来预测或控制另一个特定变量的取值，并给出这种预测或控制的精确程度,回归分析与相关分析的区别,相关分析中，变量,x,变量,y,处于平等的地位；回归分析中，变量,y,称为因变量，处在被解释的地位，,x,称为自变量，用于预测因变量的变化,相关分析中所涉及的变量,x,和,y,都是随机变量；回归分析中，因变量,y,是随机变量，自变量,x,可以是随机变量，也可以是非随机的确定变量,相关分析主要是描述两个变量之间线性关系的密切程度；回归分析不仅可以揭示变量,x,对变量,y,的影响大小，还可以由回归方程进行预测和控制,练:某种产品的广告费支出x与销售额y之间有如表所示数据:,零件数X,2,4,5,6,8,加工时间y(分钟),30,40,60,50,70,(1)求x,y之间的相关系数;,(2)求线性回归方程;,离差平方和的分解,（三个平方和的意义）,总偏差平方和,(,SST,),反映因变量的,n,个观察值与其均值的总离差,回归平方和,(,SSR,),反映自变量,x,的变化对因变量,y,取值变化的影响，或者说，是由于,x,与,y,之间的线性关系引起的,y,的取值变化，也称为可解释的平方和,残差平方和,(,SSE,),反映除,x,以外的其他因素对,y,取值的影响，也称为不可解释的平方和或剩余平方和,样本决定系数,（判定系数,r,2,）,回归平方和占总离差平方和的比例,反映回归直线的拟合程度,取值范围在,0,1,之间,r,2,1,，,说明回归方程拟合的越好；,r,2,0,，,说明回归方程拟合的越差,判定系数等于相关系数的平方，即,r,2,(,r,),2,2、,现实生活中存在着大量的相关关系。,如：人的身高与年龄；,产品的成本与生产数量；,商品的销售额与广告费；,家庭的支出与收入。等等,探索：水稻产量y与施肥量x之间大致有何规律？,10 20 30 40 50,500,450,400,350,300,发现：图中各点，大致分布在某条直线附近。,探索2：在这些点附近可画直线不止一条，哪条直线最能代表x与y之间的关系呢？,x,y,施化肥量,水稻产量,施化肥量x,15 20 25 30 35 40 45,水稻产量y,330 345 365 405 445 450 455,散点图,什么是回归分析：,“回归”一词是由英国生物学家F.Galton在研究人体身高的遗传问题时首先提出的。,根据遗传学的观点，子辈的身高受父辈影响，以,X,记父辈身高，,Y,记子辈身高。,虽然子辈身高一般受父辈影响，但同样身高的父亲，其子身高并不一致，因此，,X和Y之间存在一种相关关系。,一般而言，父辈身高者，其子辈身高也高，依此推论，祖祖辈辈遗传下来，身,高必然向两极分化，而事实上并非如此，显然有一种力量将身高拉向中心，即子辈,的身高有向中心回归的特点。“回归”一词即源于此。,虽然这种向中心回归的现象只是特定领域里的结论，并不具有普遍性，但从它,所描述的关于,X,为自变量，,Y,为不确定的因变量这种变量间的关系看，和我们现在的,回归含义是相同的。,不过，现代回归分析虽然沿用了“回归”一词，但内容已有很大变化，它是一种应用,于许多领域的广泛的分析研究方法，在经济理论研究和实证研究中也发挥着重要作用。,作业:某种产品的广告费支出x与销售额y之间有如表所示数据:,广告费用X（万元）,2,4,5,6,8,销售额y (万元),30,40,60,50,70,(1)求x,y之间的相关系数;,(2)求线性回归方程;,(3)求总偏差平方和及残差平方和;,(4)求R,2,说明模型的拟合效果,残差变量对销售额的影响百分比.（看看课本第6页表13）,