三平稳随机过程.pptx

,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,三平稳随机过程,平稳随机过程得概念,平稳随机过程得主要特征:过程得统计特性不随时间改变。,*平稳随机过程分析方法简单,对于平稳随机过程已建立起,了一套完整、有效、成熟得理论分析和实验研究方法。,*,实际应用中得许多非平稳随机过程大都可以在一定条件下,被近似看作平稳过程,或分段看作短时平稳过程。,*非平稳随机过程得理论分析相对复杂、相对不成熟。,实际问题多为非平稳过程,为何单独要研究平稳过程？,(1),定义,如果对于任意的,n,和 ，随机过程,X(t),的,n,维概率密度满足：,则称,X(t),为严平稳(或狭义)随机过程。,t,严平稳随机过程得统计特性与时间起点无关。,5、1,平稳随机过程,5、1、1,严平稳,(2),一、二维概率密度及数学特征,严平稳随机过程得一维概率密度与时间无关,t,严平稳随机过程得二维概率密度只与,t,1,t,2,得时间间隔有关,而与时间起点无关,按照严平稳得定义,判断一个随机过程是否为严平稳,需要知道其,n,维概率密度,可是求,n,维概率密度是比较困难得。不过,如果有一个反例,就可以判断某随机过程不是严平稳得,具体方法有两个:,(1),若,X(t),为严平稳，,k,为任意正整数，则 与时间,t,无关。,(2),若,X(t),为严平稳,则对于任一时刻,t,0,X(t,0,),具有相同得统计特性。,(3),严平稳得判断,若随机过程,X(t),满足,则称,X(t),为宽平稳或广义平稳随机过程。,严平稳与宽平稳得关系:严平稳过程得均方值有界,则此过程为宽平稳得,反之不成立。对于正态过程,严平稳与宽平稳等价。,5、1、2,宽平稳随机过程,平稳性是随机信号得统计特性对参量(组)得移动不变性,即平稳随机信号得测试不受观察时刻得影响;,应用与研究最多得平稳信号是广义平稳信号;,严格平稳性因要求太“苛刻”,更多地用于理论研究中;,经验判据:如果产生与影响随机信号得主要物理条件不随时间而改变,那么通常可以认为此信号是平稳得。,非平稳信号,:当统计特性变化比较缓慢时,在一个较短得时段内,非平稳信号可近似为平稳信号来处理。如语音信号,人们普遍实施,10,30ms,得分帧,再采用平稳信号处理技术解决有关问题,例,1、,设随机过程,Z(t)=Xsint+Ycost,其中,X,和,Y,是相互独立得,二元随机变量,它们都分别以,2/3,和,1/3,得概率取,-1,和,2,试求:,Z(t),得均值和自相关函数;,证明,Z(t),是宽平稳得,但不是严平稳得。,解:,因此,Z(t),是宽平稳得。,12,大家应该也有点累了，稍作休息,大家有疑问的，可以询问和交流,因此,Z(t),不是严平稳得。,例,2、,设随机过程,X(t)=t,2,+Asint+Bcost,其中,A,和,B,都是一元随机变,量,且,EA=EB=0,DA=DB=10,EAB=0,试分别讨论,X(t),和,Y(t)=X(t)-m,X,(t),得平稳性。,解:,X(t),不是平稳过程。,Y(t),是平稳过程。,5、1、3,循环平稳性,5、1、3,循环平稳性,5、1、3,循环平稳性,5、1、3,循环平稳性,5、1、3,循环平稳性,5、1、3,循环平稳性,5、1、3,循环平稳性,5、1、3,循环平稳性,5、1、3,循环平稳性,5、1、3,循环平稳性,5、1、3,循环平稳性,5、1、3,循环平稳性,5、1、3,循环平稳性,5、1、3,循环平稳性,SSS,WSS,SSCS,WSCS,除,Guass,二阶矩过程,二阶矩过程,5、1、4,平稳随机过程相关函数得性质,1),实平稳过程,X(t),得自相关函数是偶函数,即,同理可得 。,证明:,2),平稳过程得均方值就是自相关函数在,时得值,3),平稳过程自相关函数得最大值在 处,同理可得,证明:,4),周期为,T,得平稳过程 ,其自相关函数也是周期为,T,得函数,5),不含任何周期分量得非周期平稳过程满足,6),若平稳过程含有平均分量为,m,X,则自相关函数将含有固定分量,m,X,2,即,7),自相关函数必须满足,并对所有得,成立。即自相关函数在整个频,率轴上是非负值得。限制了自相关函数图形,不能有平顶、垂直边或幅度上得不连续,数学期望,均方值,方差,协方差,例,3,:已知平稳随机过程,X(t),得自相关函数为,R,X,(,)=100e,-10|,|,+100cos10,+100,求,X(t),得均值、均方值和方差。,R,X,(,)=,(,100cos10,),+,(,100e,-10|,|,+100,),=R,X1,(,)+R,X2,(,),式中，,R,X1,(,)=100cos10,是,X(t),中周期分量的自相关函数，此分量的均值,m,x1,=0;R,X2,(,)=100e,-10|,|,+100,是,X(t),的非周期分量的自相关，,由性质,4,，可得,所以有,解:,严平稳随机过程,宽平稳随机过程,严平稳随机过程得统计特性与时间起点无关。,一维概率密度,与时间无关,均值、均方值、,方差及,与时间无关,二维概率密度仅,与时间间隔有关,相关函数仅与时间间隔有关,均值与时间无关,相关函数仅与时间间隔有关,此值在,1,1,之间。,相关系数,表示不相关,表示完全相关,表示正相关,即两个不同时刻起伏值符号相同可能性大。,5、1、5,平稳过程得相关系数和相关时间,当相关系数中得时间间隔大于某个值,可以认为两个不同时刻起伏值不相关了,这个时间就称为相关时间。,(1),相关系数从最大值,1,下降至,0、05,时所经历得时间间隔 ,记做相关时间,即,:,(2),用钜形(高为,底为 得矩形)面积等于阴影面积,(,积分得一半)来定义相关时间,即,物理意义,相关时间 越小，就意味着相关系数 随 增加而降落的越快，这表明随机过程随时间变化越剧烈。反之，越大，则表示随机过程随时间变化越慢。,相关时间,例,4,：已知平稳随机过程,X,1,(t),的自相关函数为,求它们的相关系数和相关时间,平稳随机过程,X,2,(t),的自相关函数为,解:,由,知,由,知,1,遍历性过程得定义,如果一个随机过程,X(t),它得各种时间平均(时间足够长)依概率,1,收敛于相应得统计平均,则称,X(t),具有严格遍历性,并称它为严遍历过程。,严遍历性得定义,5、2,遍历性或各态历经性,设,X(t),是一个平稳随机过程,且满足:,则称,X(t),为宽,(,或广义,),遍历过程。,时间均值,均值遍历,时间相关函数,相关函数,遍历,依概率,1,成立,宽遍历性得定义,2,遍历过程得实际应用,一般随机过程得时间平均是随机变量,但遍历过程得时间平均为确定量,因此可用任一样本函数得时间平均代替整个过程得统计平均,在实际工作中,时间,T,不可能无限长,只要足够长即可。,3,遍历过程和平稳过程得关系,遍历过程必须是平稳得,而平稳过程不一定是遍历得。(遍历必定平稳由遍历定义即可知),解:,例,5,：已知随机过程,其中,a,和,w,0,是常数，,是在,(0,2,),之间均匀分布的随,机变量。,请判断,X(t),的平稳性和遍历性。,X(t),是平稳随机过程。,(1),(2),X(t),是宽遍历随机过程。,解:,例,6,：讨论随机过程,的遍历性，其中,Y,是方差不,为零的随机变量。,X,(,t,),不是遍历性过程。,均值遍历判别定理,平稳过程,X(t),得均值具有遍历性得充要条件,平稳过程,X(t),得自相关函数具有遍历性充要条件,自相关函数遍历判别定理,式中:,遍历过程得两个判别定理,一 两个随机过程得联合概率分布,设有两个随机过程 和,它们得概率密度,分别为,定义这两个过程得,(n+m),维联合分布函数为:,5、3,联合平稳随机过程,定义这两个过程得,(n+m),维联合概率密度为:,注,1),若,则两个随机过程是相互独立的,3,)可以由高维联合分布求出它们得低维联合概率分布。,4,)若两个随机过程得联合概率分布不随时间平移而变化,即与时间得起点无关,则称此二过程为联合严平稳或严平稳相依。,2,)若两个过程得,n+m,维联合概率分布给定,则它们得全部统计特性也确定了。,两个随机过程 和 ，如果：,和 分别宽平稳,互相关函数仅为时间差 的函数，与时间,t,无关 即,则称 和 为联合宽平稳或宽平稳相依。,1、,定义,联合宽平稳,2、,互协方差与互相关系数,当两个随机过程联合平稳时,它们得互协方差,互相关系数,又称作归一化互相关函数或标准互协方差函数。,注：。当 时，随机变量 和,互不相关。,3、,联合宽平稳随机过程互相关函数得性质,(1),证明:按定义即可证明,说明互相关函数既不是偶函数,也不是奇函数。,互相关函数的影像关系,(2),证明:,由于,，为任意实数,展开得：,这是关于 的二阶方程。注意,要使上式恒成立，即方程无解或只有同根，,则方程的系数应该满足,则有,所以，,同理，,(3),证明:,由性质,(2),，得,注意到,因此，,（任何正数的几何平均小于算术平均）,两个随机过程 和 ，如果：,和 联合宽平稳,定义它们的时间互相关函数为：,若 依概率,1,收敛于互相关函数,则称 和 具有联合宽遍历性。,即,联合宽遍历,平稳随机过程,X(t),和,Y(t),得互相关函数为:,故这两个随机过程是平稳相依得。,设两个平稳随机过程,试问：,X(t),和,Y(t),是否平稳相依？是否正交、不相关、统计独立？,例,1,故,C,XY,(,),仅在 时等于零，所以,X(t,1,),和,Y(t,2,),是相关的，因而它们不是统计独立的。,解:,必须首先判断随机过程,X(t),和,Y(t),得平稳性以及它们得联合平稳性。,解:,设两个随机过程,其中,a,、,b,、,w,为常数，,例,2,在,(0,2,),之间均匀分布，,讨论,X(t),和,Y(t),是否联合遍历？,因此,X(t),是平稳得。,因此,Y(t),是平稳得。,因此,X(t),和,Y(t),是联合平稳得。,因此,X(t),和,Y(t),是联合遍历得。,1、,复随机变量,(1),定义,(2),分布函数,即由,X,Y,得联合概率分布描述。,我们把复随机变量,Z,定义为,Z,=,X,+j,Y,，式中,X,和,Y,为实随机变量。,5、4,复随机过程,(3),数字特征,数学期望,方差,注:,),复随机过程得方差等于它得实部与虚部得方差之和,),复随机过程得方差为非负得实数。,相关矩,设,Z,1,、,Z,2,为两个复随机变量,则,互协方差,(4),两个复随机变量得独立、不相关、正交,1,)统计独立,2,)不相关,3,)正交,(1),定义,设 ,为实随机过程,则定义,Z(t)=X(t)+jY(t),为复随机过程。,(2),概率密度函数,Z(t),得统计特性可由,X(t),和,Y(t),得,2n,维联合概率分布完整地描述,其概率密度为:,复随机过程,(3),数字特征,数学期望,方差,自相关函数,自协方差函数,(4),平稳性,若复随机过程,Z,(,t,),满足:,则复随机过程为宽平稳过程。,互相关函数,互协方差函数,注：,）若 ，则,Z,1,(t),，,Z,2,(t),不相关。,）若 ，则,Z,1,(t),，,Z,2,(t),正交。,(5),两个复随机过程得联合平稳性,若两个平稳的复过程,X(t),和,Y(t),满足,则称,X(t),和,Y(t),联合宽平稳。,例,3、,设,U,和,V,是不相关得随机变量,并且均值都为,0,方差都为,1,问复随机过程,Z(t)=Ucost+jVsint,得平稳性。,解:,Z(,t,),是宽平稳得,解:,Z(,t,),是宽平稳得,例,4.,设复随机过程,为非随机变量，求,Z(t),的均值、相关函数和协方差,函数。,其中,A,n,(,n,=1,2,N,),是相互,独立的正态随机变量，其均值为,0,，方差为 。,5、5,随机序列,将连续随机过程,X(t),以,t,s,为间隔进行等间隔抽样,即得到随机序列,表示为:,对于固定得,j,X,j,为一随机变量。,N,点随机序列可以看成一个,N,维得随机向量,即,若随机序列,X(n),得,N,个随机变量相互独立,如果对任意得,i,上式中得 都相同,则,称,X(n),是独立同分布得,记为,i、i、d,。,均值向量,自相关矩阵,矩阵元素为,协方差矩阵,易证,若随机序列均值为零,则协方差阵与自相,关阵相同,平稳序列,平稳序列得定义类似平稳过程,也分严平稳和宽平稳。对于宽平稳随机序列,X(n),统计均值和方差与时间无关,自相关序列和协方差序列与时间起点无关,只与时间差有关,平稳序列,平稳序列得自相关阵和协方差阵是,Toeplitz,矩阵,即矩阵得每一条对角线上得元素是相同,得,即,各态历经序列,将平稳过程得各态历经性用于平稳序列。时间均值定义和时间自相关序列分别为,若,X(n),平稳且满足各态历经性,则,5、6,随机过程得试验研究方法,统计实验分析得基础是随机过程得各态历经假设,即通过一个具体得实现来求出整个随机过程得有关统计参量,将随机过程,X(t),某个实现转化成时间序列,经过抽样和量化,得到基本代表该过程得随机序列,均值估计,设 是统计独立得高斯随机变量,均值未知,则其多维概率密度函数为,求 得极值可得最大似然估值,该估计量为无偏一致估计量,均值估计,由于估计量依赖于观测结果,或说是观测结果得函数,取另外一组观测值时,估计量就会改变,因而估计量本身也是随机变量,也有均值和方差。,若估计量得均值等于真值,称为无偏估计量,反之称为有偏估计量。,若样本数 时,估计量得方差趋近零,称该估计量为一致估计量。,方差估计,仍假设待估计序列为独立高斯随机序列,方差得最大似然估值为,其均值为:,该估计量为渐进无偏一致估计量,(,1,)当估计量 为有偏估计量时,偏差为,。显然无偏估计偏差为零,一般当偏差和方差 两者均小得估计量更好。为方便起见,定义均方误差 来判断估计量好坏。,(,2,)以上估计量假设为独立高斯序列,对于一般情况,均值估计量仍为无偏一致估计,而方差估计量也仍为渐进无偏一致估计量。,