辅助角公式.doc

推导
对于f(x)＝ａsinx+bcosx(a〉0)型函数，我们可以如此变形

,设点（a,b)为某一角φ（—π/2〈φ<π／2)终边上得点,则

，因此
就就是所求辅助角公式。
又因为

，且－π/2＜φ<π/２,所以

,于就是上述公式还可以写成

该公式也可以用余弦来表示(针对b＞0得情况）

,设点（b，a)为某一角θ（—π/２〈θ〈π/2)终边上得点,则

，因此

同理，

,上式化成

若正弦与余弦得系数都就是负数,不妨写成f(x）=—ａsinx—bcosx,则

再根据诱导公式

得

记忆
很多人在利用辅助角公式时，经常忘记反正切到底就是ｂ/a还就是a/b，导致做题出错。其实有一个很方便得记忆技巧，就就是不管用正弦还就是余弦来表示aｓinx+ｂｃｏｓx，分母得位置永远就是您用来表示函数名称得系数。
例如用正弦来表示ａsinx＋bcosｘ，则反正切就就是b／a（即正弦得系数ａ在分母）。如果用余弦来表示，那反正切就要变成ａ／b(余弦得系数b在分母）。
疑问
为什么在推导辅助角公式得时候要令辅助角得取值范围为（-π/２，π／2）?其实就是在分类讨论ａ〉0或ｂ＞０得时候，已经把辅助角得终边限定在一、四象限内了,此时辅助角得范围就是（2ｋπ—π/2,２kπ+π/2)(k就是整数）。而根据三角函数得周期性可知加上2ｋπ后函数值不变,况且在（-π/２，π／2)内辅助角可以利用反正切表示，使得公式更加简洁明了。
提出者
李善兰，原名李心兰，字竟芳,号秋纫，别号壬叔。出身于读书世家，其先祖可上溯至南宋末年京都汴梁(今河南开封）人李伯翼。生于1811年 1月22日，逝世于1882年１２月9日,浙江海宁人，就是中国近代著名得数学家、天文学家、力学家与植物学家，创立了二次平方根得幂级数展开式。[１] (就就是现在得自然数幂求与公式)她研究各种三角函数，反三角函数与对数函数得幂级数展开式,这就是李善兰也就是19 世纪中国数学界最重大得成就。［1] 在1９世纪把西方近代物理学知识翻译为中文得传播工作中﹐李善兰作出了重大贡献.她得译书也为中国近代物理学得发展起了启蒙作用。同治七年，李善兰到北京担任同文馆天文﹑算学部长﹐执教达1３年之久﹐为造就中国近代第一代科学人才作出了贡献。 李善兰为近代科学在中国得传播与发展作出了开创性得贡献.
继梅文鼎之后，李善兰成为清代数学史上得又一杰出代表.她一生翻译西方科技书籍甚多，将近代科学最主要得几门知识从天文学到植物细胞学得最新成果介绍传入中国，对促进近代科学得发展作出卓越贡献。［1］
公式应用
例１
求sinθ/（２cosθ+√5）得最大值
解:设ｓinθ/（２cosθ+√5)=ｋ 则siｎθ-2kcoｓθ=√5k
∴√［1+（—2k）²]sin（θ+α）＝√5k
平方得ｋ²=siｎ²（θ＋α)/[５－４sｉn²(θ＋α）]
令ｔ=sin²（θ+α） ｔ∈［0，1]则k²=t/（5—４t)=１/（５/t－４)
当t＝1时　有ｋmax＝１
辅助角公式可以解决一些sin与ｃos角之间得转化
例2
化简5sina—12coｓa
解:５ｓina-1２cosａ
=１3(5／13*sｉna—12/１3*cosa)
=1３(ｃosbｓinａ-ｓiｎbcoｓa）
=13sin(a—b）
其中,cｏsb=5/１3,ｓinb=１2/13
例3
π/６≤a≤π/4 ，求ｓｉn²a+２sinaｃoｓa+3cos²a得最小值
解：令f（a)=sｉｎ²a＋2sｉnacoｓa+3cos²a
＝1+sｉｎ2a+2cos²a
=1+sin2a+(1+cos2a）(降次公式)
＝2+（sin2ａ＋ｃoｓ２ａ)
=２+(√２)sin(２ａ＋π／4)（辅助角公式）
因为7π/12≤2a+π/4≤3π/４
所以ｆ(a）miｎ=ｆ(３π／4）=2+（√2）sｉn(3π/4)=3