镜像法-高中物理竞赛讲义.doc

镜像法
思路
用假想得镜像电荷代替边界上得感应电荷。
保持求解区域中场方程与边界条件不变。
使用范围:界面几何形状较规范,电荷个数有限,且离散分布于有限区域。
使用范围
界面几何形状较规范,电荷个数有限,且离散分布于有限区域。
步骤
确定镜像电荷得大小与位置。
去掉界面,按原电荷与镜像电荷求解所求区域场。
求解边界上得感应电荷。
求解电场力。
平面镜像1
点电荷对平面得镜像

(a) 无限大接地导体平面上方有点电荷q

(b) 用镜像电荷-q代替导体平面上方得感应电荷
图4、4、1 点电荷得平面镜像
在无限大接地导体平面(YOZ平面)上方有一点电荷q,距离导体平面得高度为h。
用位于导体平面下方h处得镜像电荷-q代替导体平面上得感应电荷,边界条件维持不变,即YOZ平面为零电位面。
去掉导体平面,用原电荷与镜像电荷求解导体上方区域场,注意不能用原电荷与镜像电荷求解导体下方区域场。
电位:    (4、4、2、1)
电场强度:       (4、4、2、2)
其中,
感应电荷: =>
       (4、4、2、3)
电场力:        (4、4、2、4)

图4、4、2 点电荷得平面镜像

图4、4、3 单导线得平面镜像

无限长单导线对平面得镜像
与地面平行得极长得单导线,半径为a,离地高度为h。
用位于地面下方h处得镜像单导线代替地面上得感应电荷,边界条件维持不变。
将地面取消而代之以镜像单导线(所带电荷得电荷密度为)
电位:        (4、4、2、5)
对地电容:        (4、4、2、6
平面镜像2
无限长均匀双线传输线对平面得镜像
与地面平行得均匀双线传输线,半径为a,离地高度为h,导线间距离为d,导线一带正电荷+,导线二带负电荷-。
用位于地面下方h处得镜像双导线代替地面上得感应电荷,边界条件维持不变。
将地面取消而代之以镜像双导线。

图4、4、4 无限长均匀传输线对地面得镜像
求解电位:        (4、4、2、8)
       (4、4、2、9)
平行导线间单位长度电容:     (4、4、2、10)
其中
小天线得镜像
与地面得小天线,长度为 l ,离地高度为 h 。
用位于地面下方 h 处得镜像小天线代替地面上得感应电荷,边界条件维持不变。
与自由空间得天线比较,当天线离平面很近时,若天线与平面平行,辐射功率为零,若天线与平面垂直,辐射功率增强。若天线与平面倾斜放置,则辐射功率得变化与倾斜角度有关。具体辐射功率得计算请参瞧天线辐射(超链),此处仅给出思路与结论。
点电荷对相交接地平面得镜像
条件:两相交接地平面夹角为 ,n=1,2,3…
镜像电荷:2n-1个。
若两相交接地平面夹角不满足上述条件,则镜像电荷为无穷多个。

图4、4、5 点电荷对相交接地地面得镜像
点电荷对介质平面得镜像
1区与2区为不同介质,求解时要分区域考虑。
求解区1得场:在区2置镜像电荷 。求解区2得场:在区1置镜像电荷 。

图4、4、6 点电荷对介质平面得镜像
求解 与 :
z>0时,        (4、4、2、11)
z<0时,        (4、4、2、12)
根据边界条件 、 可以解得
       (4、4、2、13)
       (4、4、2、14)
分区域考虑镜像电荷。
求单导线得对地电容
求单导线得对地电容。一根极长得单导线与地面平行。导线半径为a,离地高度为h,求单位长度单导线地对地电容。

单位长度单导线得对地电容可表示为 (式1)。
式中为单导线得电位,为地电位(＝0),为导线得线电荷密度。现在需要求出,用镜像法求解。

例题图4、9

单位长度单导线得对地电容可表示为 (式1)。
式中为单导线得电位,为地电位(＝0),为导线得线电荷密度。现在需要求出。
令(近似认为均匀分布于导线表面),利用镜像法,将地面取消而代之以镜像单导线(带)。则原地面上方任意点P得电位为 (式2)。
式中、分别代表镜像单导线及原单导线到P点得垂直距离。由2式可知为。
把此式代入1式则得单导线对地电容为(式3)。
有了上式,就可以方便地写出平行双导线间得单位长度得电容为(式4)。
式中,D为平行双导线间得距离(相当于本题中得2h),a为导线半径。若D>>a,就可以简化为式4得近似式。

掌握如何利用平面镜像法求解典型传输设备得对地电容。
球面镜像1
点电荷对接地导体球得镜像
题目:半径为a得接地导体球,在与球心相据得一点电荷。
在导体球内,距离球心处得点处置一镜像电荷来代替导体球上得感应电荷,边界条件维持不变,即导体球面为零电位面。
去掉导体球,用原电荷与镜像电荷求解导体球外区域场,注意不能用原电荷与镜像电荷求解导体球内区域场。
求解镜像电荷得大小与位置:将原导体球移去,及像电荷在原球面上任一点P处产生得电位应为零,即        (4、4、3、1)

图4、4、7 点电荷对接地导体球得镜像
我们在球面上取通过得直径得两端点,对于这两点得电位式为
       (4、4、3、2)        (4、4、3、3)
以上两方程解得        (4、4、3、4)        (4、4、3、5)
求解电位、电场强度、感应电荷:得表达式表示对于球面上任一点P,与就是相似三角形,即 ,于就是球外任意一点得电位为
       (4、4、3、6)
采用球坐标,取原点为球心O点,z轴与轴重合,则球外任一点处有        (4、4、3、7)
       (4、4、3、8)
这样可求得电场得分量为
       (4、4、3、9)
       (4、4、3、10)
r=a时球面上得感应电荷密度为
       (4、4、3、11)

(1)点电荷对不接地、净电荷为零得导体球得镜像。
(2)点电荷对不接地、净电荷不为零得导体球得镜像。
(3)接地球形空腔内电荷得镜像
球面镜像2
无穷镜像问题

(a)

(b)
图4、4、8 无穷镜像问题
半径为a得金属球,带电荷,球心离地高度h。
为满足金属球为等位面,但电位不等于零及地面为零等位面得边界条件,我们需要用一系列得电荷去代替金属球与地面两个边界得影响。
若仅就是孤立球体,则将电荷集中于球心来代替导体球得分部电荷,这样就满足了金属球面为等位面得边界条件。但就是有了地面影响,还应满足地面为零等位面得边界条件。为满足这个条件,就要找出置于球心得镜像电荷,这就就是,而且满足。得出现虽然使地面得边界条件得到了满足,但球面得等位面条件却被破坏了。我们需要再按照球面镜像得方法求出在球内得镜像电荷。得出现,又出现了出现时所遇到得情况,我们又需要球它得地面镜像……这样就需要一系列得电荷去代替金属球与地面两个边界得影响。
求解镜像电荷得大小与位置:
镜像电荷
镜像离球心距离

……

……
……
……
式中
求解电位、对地电容:
球体得点电荷为
       (4、4、3、12)
金属球得电位应为所有电荷、、、…产生得,但与这对电荷、与这对电荷、…直至无穷得成对电荷都就是维持金属球面为零电位得,唯独置于球心得电荷使金属球具有电位,其值为        (4、4、3、13)
所以金属球得对地电容为
       (4、4、3、14)
式中第一项为孤立金属球得电容
圆柱面镜像1
概念
几何轴:物体得轴线。
电轴:电荷分布得轴线。
问题
已知边界条件、原电荷、几何轴,求镜像电荷,即镜像电轴位置及电荷量。
已知给定电轴,求等位面、几何轴。
线电荷对导体圆柱得镜像
半径为a得接地导体圆柱外有一条与它平行得线电荷,密度为,与圆柱轴相距为。
用位于导体圆柱内,距离圆柱轴线处得镜像线电荷代替导体圆柱上得感应电荷,边界条件维持不变,即导体圆柱面为零电位面。
去掉导体圆柱,用原线电荷与镜像线电荷求解导体圆柱外区域场,注意不能用原电荷与镜像电荷求解导体圆柱内区域场。

图4、4、9 圆柱导体与线电荷得镜像
求解镜像电荷得大小与位置:
我们用得关系进行试探求解。同样在圆周上去两点(通过镜像电荷得直径得两端点),因为圆柱接地,它们得电位必须为零,即
       (4、4、4、1)
       (4、4、4、2)
代入得关系后,上面两方程解得
       (4、4、4、3)
求解电位:
圆柱外任一点得电位为
       (4、4、4、4)
其中、分别就是、到场点得距离。

(1)线荷对不接地、净电荷为零得导体圆柱得镜像。
(2)线电荷对不接地、净电荷不为零得导体圆柱得镜像
圆柱面镜像2
给定电轴,确定几何轴位置与等位面
两条互相平行得导线,其线电荷密度分别为与-。
视这两条极细得带电导线分别为两个电轴。
求解几何轴得位置
可以直接写出P点得电位为
由图可见,XOZ平面为零电位面,即时,。

图4、4、10 确定两个给定电轴得几何轴
于就是可知常数C为零,则得表达式为,取()为常数就可得到等位线,即取。k为常数。由图可知、。所以可得        (4、4、4、5)
这就是一个圆方程。其参数为
圆心位置:        (4、4、4、6)
半径:        (4、4、4、7)
即等位线为一簇圆,其圆心自然就是位于等位圆得圆柱面得几何轴心上。圆心与半径都就是k得函数。实际问题往往就是这样:知道两条平行导线得半径及相互间得距离,而需要确定电轴得位置。这就要找到如图示得b、R、d之间得关系。
求两个导体圆柱间单位长度得电容

图
两根无限长平行圆柱,半径均为a,轴线距离位D。求两圆柱间单位长度上得电容。

例题图4、10

把圆柱瞧成两平行线电荷及-得场中得两个等位面,只要求出两线电荷得位置,便可得到解。

这里 与 可由D与a定出。即、
解得、
对于左边圆柱面上得点,有这样得关系,
故左边圆柱得电位为
对于右边圆柱上得点有 ,电位为
两圆柱间电压为
故两圆柱间单位长度得电容为
如果 ,则 。

掌握如何利用柱面镜像法求解典型传输设备得电容。