第三章-离散系统的时域分析.ppt

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,*,*,单击此处编辑母版标题样式,第,*,页,第三章 离散系统的时域分析,1.LTI离散系统的时域,分析,：,2.特点：,比较直观、,物理概念,清楚，是学习离散变换,时域,分析法：序列,的变量,-,k,域,分析法的,基础,3.时域分析法主要内容：,概述：,求出响应与激励关系,经典法,零输入响应和零状态响应,单位序列响应,与卷积和,建立线性差分方程,并,注意：离散系统与连续系统的分析,方法,并行相似,连续系统,离散系统,微分方程,差分方程,卷积积分,卷积和,变换域（傅氏、s）,变换域（离散傅氏、z）,系统函数,系统函数,系统描述,分析方法,离散与连续对比,2.1 LTI离散系统的响应,一、差分与差分方程,设有序列,f,(,k,)，则,1.差分运算,离散信号的变化率有两种表示形式：,，,f,(,k,+2)，,f,(,k,+1)，,f,(,k,-,1)，,f,(,k,-,2)等,称为,f,(k)的,移位序列。,仿照,微分,运算，引出离散信号的,差分,运算的概念。,定义差分,（1）,一阶,前向差分,定义：,f,(k)=,f,(k+1),f,(k),（2）,一阶后向差分,定义：,f,(k)=,f,(k),f,(k 1),式中，,和称为,差分算子,，无原则区别。本书主要用,后向差分,，简称为,差分,。,（3）,差分的线性性质：,a,f,1,(k)+b,f,2,(k)=a,f,1,(k)+b,f,2,(k),（4）,二阶,差分定义：,2,f,(k)=,f,(k)=,f,(k),f,(k-1)=,f,(k),f,(k-1),=,f,(k),f,(k-1),f,(k-1),f,(k-2)=,f,(k)2,f,(k-1)+,f,(k-2),（5）,m,阶,差分:,m,f,(k)=,f,(k)+b,1,f,(k-1)+b,m,f,(k-,m,),2.差分方程,包含未知序列y(k)及其各阶差分的方程式称为,差分方程,。,将,差分,展开为,移位序列,，得一般形式,y,(k)+a,n-1,y,(k-1)+a,0,y,(k-n)=b,m,f,(k)+b,0,f,(k-m),差分方程本质上是递推的代数方程，若已知初始条件和激励，利用迭代法可求得其数值解。,差分方程的,阶数：,未知序列最高与最低序数的差,差分方程迭代解举例,例,3.1-1,：,若描述某系统的差分方程为,y,(k)+3,y,(k 1)+2,y,(k 2)=,f,(k),已知初始条件,y,(0)=0,y,(1)=2,激励,f,(k)=2,k,(k),求,y,(k),。,解：,y,(k)=3,y,(k 1)2,y,(k 2)+,f,(k),k=2,y,(2)=3,y,(1)2,y,(0)+,f,(2)=2,k=3,y,(3)=3,y,(2)2,y,(1)+,f,(3)=10,k=4,y,(4)=3,y,(3)2,y,(2)+,f,(4)=10,例,一般不易得到解析形式的(闭合)解。,二、差分方程的经典解,1.齐次解：,与微分方程经典解类似:,y,(k)=,y,h,(k)+,y,p,(k),y,(k)+a,n-1,y,(k-1)+a,0,y,(k-n)=b,m,f,(k)+b,0,f,(k-m),齐次方程,y,(k)+a,n-1,y,(k-1)+a,0,y,(k-n)=0,1+a,n-1,1,+a,0,n,=0,，,特征方程,即,n,+a,n-1,n 1,+a,0,=0,其根,i,(i=1，2，n)称为差分方程的,特征根。,根据特征根，齐次解的两种情况,2.有重根,特征根,为r,重根,时,例,差分方程齐次解重根例,求差分方程,y,(k)+6,y,(k 1)+12,y,(k 2)+8,y,(k 3)=0,的解。,解：,特征方程,齐次解,由初始条件定,C,1,，,C,2,，,C,3,三重特征根,差分方程齐次解单根例,求解二阶差分方程,y,(k)5,y,(k 1)+6,y,(k 2)=0,已知,y,(0)=2，,y,(1)=1，,求,y,(k)。,解：,特征方程,齐次解,定,C,1,，,C,2,解出,特征根,2.特解,y,p,(k):,激励,f,(,k,),响应,y,(,k,)的特解,y,p,(,k,),特解的形式与激励的形式类似,例,或,差分方程全解举例,例,3.1-2,：,系统,方程,y,(k)+4,y,(k 1)+4,y,(k 2)=,f,(k),已知初始条件,y,(0)=0,，,y,(1)=1,；激励,f,(k)=2,k,，,k0,。求方程的全解。,解：,特征方程,2,+4+4=0,特征根,1,=,2,=2,齐次解,y,h,(k)=(C,1,k+C,2,)(2),k,特解,y,p,(k)=P(2),k,k0,代入差分方程,P(2),k,+4P(2),k 1,+4P(2),k2,=f(k)=2,k,解得,P=1/4,所以特解,y,p,(k)=2,k2,k0,故全解为,y,(k)=,y,h,+,y,p,=(C,1,k+C,2,)(2),k,+2,k2,k0,代入初始条件解得 C,1,=1,C,2,=1/4,自由响应,（瞬态响应）,强迫响应,（稳态响应）,三.零输入响应和零状态响应,y(k)=y,zi,(k)+y,zs,(k),L,T,I,系统,响应,第1种：自由响应+强迫响应,第2种：零输入响应+零状态响应,y,zi,(k):,没有外加输入信号，只,由初始状态,所产生的响应,；,y,zs,(k):,初始状态为零，仅由输入信号产生的响应,全响应,y(t)=y,zi,(k)+y,zs,(k),的求取方法：,借助,经典方法,卷积和方法,（后面学）,1.概 述,y(k)=y,h,(k)+y,p,(k),零输入响应和零状态响应,（1）.,y,zi,(k),零输入响应,差分方程：,齐次,y,(k)+a,n-1,y,(,k-1,)+a,0,y,(,k-n,)=0,C,zij,-,待定系数,（2）.,y,zs,(k),零状态响应,差分方程：,非齐次,y,(k)=,y,zi,(k)+,y,zs,(k),y,(k)+a,n-1,y,(k-1)+a,0,y,(k-n)=b,m,f,(k)+b,0,f,(k-m),2.借助经典法,零输入响应和零状态响应,其中,：C,zsj,-,待定系数,y,p,(k),-,特解,（3）.,y(k),全响应,零输入响应,由,y,zi,(k)起始条件,由,y,zs,(k)起始条件,y(0)、,y(1)-,起始条件,待定系数代差分方程,待定系数代差分方程,零状态响应,强迫响应,自由响应,起始条件的确定,y,zi,(-1)=y(-1),y,zi,(-2)=y(-2),-,y,zi,(-n)=y(-n),连续系统,y,zi,(j),(0+)=y,zi,(j),(0-)=y,(j),(0-),（2）,y,zs,(k),起始条件,y,zs,(-1)=y,zs,(-2)=-y,zs,(-n)=0,连续系统,y,zs,(j),(0,-,)=0,y,zs,(0)、y,zs,(1)、-y,zs,(n)=,？,例,y,zi,(1)=,？,y,zi,(2)=,？,-,y,zi,(n)=,？,有必要吗？,借助微分方程,（4）.起始条件的确定,（1）,y,zi,(k),起始条件,k0,激励没有接入f(k)=0,零输入响应举例,求系统的零输入响应。,系统的方程,解：,零输入响应,y,zi,(k)，即当,f,(k)=0时的解。,题中,y,(0)=,y,(1)=0，是,激励加上以后的，,不能说明状态为0，需迭代求出,y,(,-,1)，,y,(,-,2)。,求初始状态,由初始状态确定,C,1,，,C,2,解得,零输入零状态举例,例1,：,系统方程为,y,(k)+3,y,(k 1)+2,y,(k 2)=,f,(k),已知激励,f,(k)=2,k,k0,初始状态,y,(1)=0,y,(2,)=1/2,求系统的零输入响应、零状态响应和全响应。,解,：（1）y,zi,(k)零输入响应,y,zi,(k)+3y,zi,(k 1)+2y,zi,(k 2)=0,解为,y,zi,(k)=C,zi1,(1),k,+C,zi2,(2),k,特征根,1,=1，,2,=2,y,zi,(1)=y(1)=0,y,zi,(2)=y(2)=1/2,零输入响应,y,zi,(1)=3y,zi,(0)2y,zi,(1)=3,初始值代入并解得,C,zi1,=1,C,zi2,=2,y,zi,(k)=(1),k,2(2),k,k0,递推,求 y,zi,(0)、y,zi,(1),y,zi,(k)=3y,zi,(k 1)2y,zi,(k 2),y,zi,(0)=3y,zi,(1)2y,zi,(2)=1,y,zi,(k)+3y,zi,(k 1)+2y,zi,(k 2)=0,y,zi,(k)=C,zi1,(1),k,+C,zi2,(2),k,有必要吗？,零输入零,状态,响应,（2）,零状态响应y,zs,(k),满足,y,zs,(k)+3y,zs,(k 1)+2y,zs,(k 2)=f(k),y,zs,(1)=y,zs,(2)=0,y,zi,(k)=(1),k,2(2),k,k0,k,0,y,zi,(k),y,zs,(k),起始,储能,激励,零输入零状态响应,代入初始值,求得 C,zs1,=1/3 ,C,zs2,=1,零状态响应,y,zs,(k)=(1),k,/3+(2),k,+(1/3)2,k,k0,y,zs,(k)=C,zs1,(1),k,+C,zs2,(2),k,+y,p,(k),=C,zs1,(1),k,+C,zs2,(2),k,+(1/3)2,k,y,zs,(1)=3y,zs,(0)2y,zs,(1)+2=1,递推求初始值,y,zs,(0),y,z,s,(1),y,zs,(0)=3y,zs,(1)2y,zs,(2)+1=1,y,zs,(k)=3y,zs,(k 1)2y,zs,(k 2)+2,k,k0,零输入零状态举例,例2,：,系统方程为,y,(k)+3,y,(k 1)+2,y,(k 2)=,f,(k),已知激励,f,(k)=2,k,k0,初始状态,y,(0)=0,y,(1)=2,求系统的零输入响应、零状态响应和全响应。,解,：（1）y,zs,(k)零状态响应,同例1,y,zs,(k)=(1),k,/3+(2),k,+(1/3)2,k,k0,y,zs,(0)=1 、,y,zs,(1)=,1,（2）y,zi,(k)零输入响应,y,zi,(k)+3y,zi,(k 1)+2y,zi,(k 2)=0,零输入响应,y,zi,(k)+3y,zi,(k 1)+2y,zi,(k 2)=0,解为,y,zi,(k)=C,zi1,(1),k,+C,zi2,(2),k,特征根,1,=1，,2,=2,y,zi,(0)=?、,y,zi,(1)=?,-,根据,y(k)=y,zi,(k)+y,zs,(k),y,zi,(0)=y(0)-y,zs,(0)=-1,y,zi,(1)=y(1)-y,zs,(1)=3,y,zi,(k)=-(2),k,k,0,作业,3.6,（,4,）,3.9,（,c,）,3.11,（,2,）,3.12,（,4,）,3.13,（,c,）,3.16,（,b,）,3.22,