第二类曲线积分资料.ppt

,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,曲线积分与曲面积分,*,第二类曲线积分,一、向量场,机动 目录 上页 下页 返回 结束,机动 目录 上页 下页 返回 结束,机动 目录 上页 下页 返回 结束,画向量场,机动 目录 上页 下页 返回 结束,机动 目录 上页 下页 返回 结束,梯度场和保守场,机动 目录 上页 下页 返回 结束,解,:,二、对坐标的曲线积分,定向曲线与切向量：,定向曲线：带有确定走向的一条曲线。,机动 目录 上页 下页 返回 结束,则,L,的切向量为：,分割,解,:,机动 目录 上页 下页 返回 结束,“,分割,近似,求和,取极限”,求变力沿曲线所作的功，利用,近似,例：,求变力,F,沿曲线,L,所作的功。,已知常力,F,沿直线所作的功,求和,:,取极限,:,机动 目录 上页 下页 返回 结束,向量形式,坐标形式,则,对坐标的曲线积分的定义：,机动 目录 上页 下页 返回 结束,上式也称为第二类曲线积分的,向量形式,。,机动 目录 上页 下页 返回 结束,第二类曲线积分也称为,向量场的线积分,。,说明,：,机动 目录 上页 下页 返回 结束,基本性质,机动 目录 上页 下页 返回 结束,性质,1,：,性质,2,：,性质,3,：,第二类曲线积分的坐标表示,设,则,机动 目录 上页 下页 返回 结束,令,若上式左端的极限存在，则右端的极限也存在,记为,上式右端称为第二类曲线积分的坐标表示。,（,2,）,若,机动 目录 上页 下页 返回 结束,上式右端称为第二类曲线积分的坐标表示。,则,机动 目录 上页 下页 返回 结束,三、两类曲线积分之间的关系,证明：,于是有,机动 目录 上页 下页 返回 结束,即,机动 目录 上页 下页 返回 结束,平面曲线的情况完全类似推导。,故,解,1,：,机动 目录 上页 下页 返回 结束,解,2,：,机动 目录 上页 下页 返回 结束,解：,机动 目录 上页 下页 返回 结束,于是,四、对坐标的曲线积分的计算,定理（平面曲线的情形）,机动 目录 上页 下页 返回 结束,机动 目录 上页 下页 返回 结束,证明：,机动 目录 上页 下页 返回 结束,机动 目录 上页 下页 返回 结束,机动 目录 上页 下页 返回 结束,注意：,a,未必小于,b,。,特殊情形,机动 目录 上页 下页 返回 结束,(4),若曲线,L,的方程为极坐标方程：,先化成参数方程：,然后用公式计算。,定理（空间曲线的情形）,机动 目录 上页 下页 返回 结束,注意：两类曲线积分之间,区别,（,1,）,第一类,曲线积分是数量函数对弧长的积分；,第二类,曲线积分是向量函数的各分量函数,对坐标的积分。,（,2,）,第一类,曲线积分与路径的方向无关，化成,定积分时，,下限总小于上限,；,第二类,曲线积分与路径的方向有关（方向,改变，积分值变号），化成定积分时，,下,限未必小于上限。,机动 目录 上页 下页 返回 结束,机动 目录 上页 下页 返回 结束,（,2,）对于第二类曲线积分，当积分弧,L,是垂直于某坐标轴的直线段,AB,时，对该坐标的积分为零，即,空间曲线上的第二类曲线积分也有类似的性质。,说明：,（,1,）在第二类曲线积分中，由于涉及积分曲线的方向问题，因此要慎用对称性。一般情况下，应在曲线积分化为定积分后再考虑能否利用对称性来化简计算。,例,3:,解,:,原式,机动 目录 上页 下页 返回 结束,例,4,：,解：,机动 目录 上页 下页 返回 结束,机动 目录 上页 下页 返回 结束,一般情况下，,第二类曲线积分的值，不仅与积分路径的起点或终点有关，而且与积分路经本身有关。即被积函数相同，起点和终点也相同，但路径不同积分结果不同。,例,3,说明：,机动 目录 上页 下页 返回 结束,在有些情况下，,第二类曲线积分的值，仅与积分路径的起点或终点有关，而与积分路经本身无关。即被积函数相同，起点和终点也相同，路径不同积分但结果相同。,例,4,说明：,例,5.,求,其中,L,是双纽线的右半支,逆时针方向。,解,:,L,的极坐标方程是：,L,的参数方程是：,机动 目录 上页 下页 返回 结束,奇函数,例,6.,求,其中,从,z,轴正向看为顺时针方向,.,解,:,取,的参数方程,机动 目录 上页 下页 返回 结束,例,7.,解,:,动到,向坐标原点，,其大小与作用点到,xoy,面的距离成反比。,沿直线移,求,F,所作的功,W,。,已知,F,的方向指,一质点在力场,F,作用下由点,机动 目录 上页 下页 返回 结束,例,8,：,解：,机动 目录 上页 下页 返回 结束,如图,则,例,9,：,解：,机动 目录 上页 下页 返回 结束,则在,t,时刻：,单位时间流出的油漆为：,1.,定义,2.,性质,(1),L,可分成,k,条有向光滑曲线弧,(2),L,表示,L,的反向弧,对坐标的曲线积分必须注意,积分弧段的方向,!,内容小结,机动 目录 上页 下页 返回 结束,3.,计算,对有向光滑弧,机动 目录 上页 下页 返回 结束,若曲线,L,的方程为极坐标方程：,先化成参数方程：,然后用公式计算。,对空间有向光滑弧,:,机动 目录 上页 下页 返回 结束,区别：,第一类,曲线积分与路径的方向无关，化成定积分时，下限总小于上限；,机动 目录 上页 下页 返回 结束,第二类,曲线积分与路径的方向有关（方向改变，积分值变号），化成定积分时，下限未必小于上限。,4.,两类曲线积分的联系与区别,联系：,作业,习题,9-2(P250),1(3)(6)(7)(8),；,2(2)(4);3;5,；,7,第三节 目录 上页 下页 返回 结束,1,、,解,机动 目录 上页 下页 返回 结束,备用题,解：,机动 目录 上页 下页 返回 结束,3.,已知,为折线,ABCOA,(,如图,),计算,提示,:,机动 目录 上页 下页 返回 结束,原点,O,的距离成正比,4,、,设一个质点在,处受,恒指向原点,沿椭圆,此质点由点,逆时针移动到,提示,:,F,的大小与,M,到原,F,的方向,力,F,的作用,求力,F,所作的功,.,思考,:,若题中,F,的方向,改为与,OM,垂直且与,y,轴夹锐角,则,机动 目录 上页 下页 返回 结束,5.,将积分,化为对弧长的积,分,解,1,：,其中,L,沿上半圆周,机动 目录 上页 下页 返回 结束,5.,将积分,化为对弧长的积,分,解,2,：,其中,L,沿上半圆周,机动 目录 上页 下页 返回 结束,6,：,设在力场,作用下,质点由,沿,移动到,解,:,(1),(2),的参数方程为,试求力场对质点所作的功,.,其中,为,机动 目录 上页 下页 返回 结束,7.,设曲线,C,为曲面,与曲面,从,ox,轴,(1),写出曲线,C,的参数方程；,(2),计算曲线积分,解,:,(1),机动 目录 上页 下页 返回 结束,正向看去为逆时针方向。,(2),利用“偶倍奇零”,机动 目录 上页 下页 返回 结束,此课件下载可自行编辑修改，仅供参考！感谢您的支持，我们努力做得更好！谢谢,