2026届四川省泸县二中数学高三上期末达标测试试题.doc

2026届四川省泸县二中数学高三上期末达标测试试题
注意事项
1．考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回．
2．答题前，请务必将自己的姓名、准考证号用0．5毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及答题卡的规定位置．
3．请认真核对监考员在答题卡上所粘贴的条形码上的姓名、准考证号与本人是否相符．
4．作答选择题，必须用2B铅笔将答题卡上对应选项的方框涂满、涂黑；如需改动，请用橡皮擦干净后，再选涂其他答案．作答非选择题，必须用05毫米黑色墨水的签字笔在答题卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律无效．
5．如需作图，须用2B铅笔绘、写清楚，线条、符号等须加黑、加粗．

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．复数的共轭复数记作，已知复数对应复平面上的点，复数:满足.则等于（ ）
A． B． C． D．
2．已知函数则函数的图象的对称轴方程为（ ）
A． B．
C． D．
3．函数，，的部分图象如图所示，则函数表达式为（ ）

A． B．
C． D．
4．已知函数是奇函数，且，若对，恒成立，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
5．已知正项数列满足：，设，当最小时，的值为( )
A． B． C． D．
6．若的展开式中的系数为150，则（ ）
A．20 B．15 C．10 D．25
7．把满足条件（1），，（2），，使得的函数称为“D函数”，下列函数是“D函数”的个数为（ ）
① ② ③ ④ ⑤
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
8．若双曲线的焦距为，则的一个焦点到一条渐近线的距离为（ ）
A． B． C． D．
9．双曲线的一条渐近线方程为，那么它的离心率为（ ）
A． B． C． D．
10．已知函数，且的图象经过第一、二、四象限，则，，的大小关系为( )
A． B．
C． D．
11．若双曲线的渐近线与圆相切，则双曲线的离心率为( )
A．2 B． C． D．
12．设复数满足，在复平面内对应的点为，则不可能为（ ）
A． B． C． D．
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．若函数 (R，)满足，且的最小值等于，则ω的值为___________.
14．若复数（是虚数单位），则________
15．已知，，且，若恒成立，则实数的取值范围是____．
16．已知函数的图象在点处的切线方程是，则的值等于__________.
三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．（12分）已知椭圆的左、右焦点分别为，离心率为，为椭圆上一动点（异于左右顶点），面积的最大值为．
（1）求椭圆的方程；
（2）若直线与椭圆相交于点两点，问轴上是否存在点，使得是以为直角顶点的等腰直角三角形？若存在，求点的坐标；若不存在，请说明理由．
18．（12分）已知数列满足，等差数列满足，
（1）分别求出，的通项公式；
（2）设数列的前n项和为，数列的前n项和为证明：．
19．（12分）正项数列的前n项和Sn满足：
(1)求数列的通项公式；
(2)令，数列{bn}的前n项和为Tn，证明：对于任意的n∈N*，都有Tn＜ .
20．（12分）设椭圆：的左、右焦点分别为，，下顶点为，椭圆的离心率是，的面积是.
（1）求椭圆的标准方程.
（2）直线与椭圆交于，两点（异于点），若直线与直线的斜率之和为1，证明：直线恒过定点，并求出该定点的坐标.
21．（12分）如图，在四面体中，.

（1）求证:平面平面；
（2）若，二面角为，求异面直线与所成角的余弦值.
22．（10分）在中国，不仅是购物，而且从共享单车到医院挂号再到公共缴费，日常生活中几乎全部领域都支持手机支付.出门不带现金的人数正在迅速增加。中国人民大学和法国调查公司益普索合作，调查了腾讯服务的6000名用户，从中随机抽取了60名，统计他们出门随身携带现金（单位：元）如茎叶图如示，规定：随身携带的现金在100元以下（不含100元）的为“手机支付族”，其他为“非手机支付族”.

（1）根据上述样本数据，将列联表补充完整，并判断有多大的把握认为“手机支付族”与“性别”有关？
（2）用样本估计总体，若从腾讯服务的用户中随机抽取3位女性用户，这3位用户中“手机支付族”的人数为，求随机变量的期望和方差；
（3）某商场为了推广手机支付，特推出两种优惠方案，方案一：手机支付消费每满1000元可直减100元；方案二：手机支付消费每满1000元可抽奖2次，每次中奖的概率同为，且每次抽奖互不影响，中奖一次打9折，中奖两次打8.5折.如果你打算用手机支付购买某样价值1200元的商品，请从实际付款金额的数学期望的角度分析，选择哪种优惠方案更划算？
附：

0.050
0.010
0.001

3.841
6.635
10.828

参考答案

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．A
【解析】
根据复数的几何意义得出复数，进而得出，由得出可计算出，由此可计算出.
【详解】
由于复数对应复平面上的点，，则，
，，因此，.
故选：A.
本题考查复数模的计算，考查了复数的坐标表示、共轭复数以及复数的除法，考查计算能力，属于基础题.
2．C
【解析】
，将看成一个整体，结合的对称性即可得到答案.
【详解】
由已知，，令，得.
故选：C.
本题考查余弦型函数的对称性的问题，在处理余弦型函数的性质时，一般采用整体法，结合三角函数的性质，是一道容易题.
3．A
【解析】
根据图像的最值求出，由周期求出，可得，再代入特殊点求出，化简即得所求.
【详解】
由图像知，，，解得，
因为函数过点，所以，
，即，
解得，因为，所以，
.
故选：A
本题考查根据图像求正弦型函数的解析式，三角函数诱导公式，属于基础题.
4．A
【解析】
先根据函数奇偶性求得，利用导数判断函数单调性，利用函数单调性求解不等式即可.
【详解】
因为函数是奇函数，
所以函数是偶函数.
，
即，
又，
所以，.
函数的定义域为，所以，
则函数在上为单调递增函数.又在上，
，所以为偶函数，且在上单调递增.
由，
可得，对恒成立，
则，对恒成立，，
得，
所以的取值范围是.
故选：A.
本题考查利用函数单调性求解不等式，根据方程组法求函数解析式，利用导数判断函数单调性，属压轴题.
5．B
【解析】
由得，即，所以得，利用基本不等式求出最小值，得到，再由递推公式求出.
【详解】
由得，
即，
，当且仅当时取得最小值，
此时.
故选：B
本题主要考查了数列中的最值问题，递推公式的应用，基本不等式求最值，考查了学生的运算求解能力.
6．C
【解析】
通过二项式展开式的通项分析得到，即得解.
【详解】
由已知得，
故当时，，
于是有，
则.
故选：C
本题主要考查二项式展开式的通项和系数问题，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.
7．B
【解析】
满足（1）（2）的函数是偶函数且值域关于原点对称，分别对所给函数进行验证.
【详解】
满足（1）（2）的函数是偶函数且值域关于原点对称，①不满足（2）；②不满足（1）；
③不满足（2）；④⑤均满足（1）（2）.
故选：B.
本题考查新定义函数的问题，涉及到函数的性质，考查学生逻辑推理与分析能力，是一道容易题.
8．B
【解析】
根据焦距即可求得参数，再根据点到直线的距离公式即可求得结果.
【详解】
因为双曲线的焦距为，
故可得，解得，不妨取；
又焦点，其中一条渐近线为，
由点到直线的距离公式即可求的.
故选：B.
本题考查由双曲线的焦距求方程，以及双曲线的几何性质，属综合基础题.
9．D
【解析】
根据双曲线的一条渐近线方程为，列出方程，求出的值即可.
【详解】
∵双曲线的一条渐近线方程为，
可得，∴，
∴双曲线的离心率.
故选：D.
本小题主要考查双曲线离心率的求法，属于基础题.
10．C
【解析】
根据题意，得，，则为减函数，从而得出函数的单调性，可比较和，而，比较，即可比较.
【详解】
因为，且的图象经过第一、二、四象限，
所以，，
所以函数为减函数，函数在上单调递减，在上单调递增，
又因为，
所以，
又，，
则|，
即，
所以.
故选：C.
本题考查利用函数的单调性比较大小，还考查化简能力和转化思想.
11．C
【解析】
利用圆心到渐近线的距离等于半径即可建立间的关系.
【详解】
由已知，双曲线的渐近线方程为，故圆心到渐近线的距离等于1，即，
所以，.
故选：C.
本题考查双曲线离心率的求法，求双曲线离心率问题，关键是建立三者间的方程或不等关系，本题是一道基础题.
12．D
【解析】
依题意，设，由，得，再一一验证.
【详解】
设，
因为，
所以，
经验证不满足，
故选：D.
本题主要考查了复数的概念、复数的几何意义，还考查了推理论证能力，属于基础题.

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．1
【解析】
利用辅助角公式化简可得,由题可分析的最小值等于表示相邻的一个对称中心与一个对称轴的距离为,进而求解即可.
【详解】
由题,,
因为,,且的最小值等于,即相邻的一个对称中心与一个对称轴的距离为,
所以,即,
所以,
故答案为:1
本题考查正弦型函数的对称性的应用,考查三角函数的化简.
14．
【解析】
直接根据复数的代数形式四则运算法则计算即可．
【详解】
，．
本题主要考查复数的代数形式四则运算法则的应用．
15．（-4，2）
【解析】
试题分析：因为当且仅当时取等号，所以
考点：基本不等式求最值
16．
【解析】
利用导数的几何意义即可解决.
【详解】
由已知，，，故.
故答案为：.
本题考查导数的几何意义，要注意在某点的切线与过某点的切线的区别，本题属于基础题.

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．（1）；（2）见解析
【解析】
（1）由面积最大值可得，又，以及，解得，即可得到椭圆的方程，（2）假设轴上存在点，是以为直角顶点的等腰直角三角形，设，，线段的中点为，根据韦达定理求出点的坐标，再根据，，即可求出的值，可得点的坐标.
【详解】
（1）面积的最大值为，则：
又，，解得：，
椭圆的方程为：
（2）假设轴上存在点，是以为直角顶点的等腰直角三角形
设，，线段的中点为
由，消去可得：
，解得：
∴，
，
依题意有，
由可得：，可得：
由可得：
，
代入上式化简可得：
则：，解得：
当时，点满足题意；当时，点满足题意
故轴上存在点，使得是以为直角顶点的等腰直角三角形
本题考查了椭圆的方程，直线和椭圆的位置关系，斜率公式，考查了运算能力和转化能力，属于中档题.
18． (1) （2）证明见解析
【解析】
（1）因为，所以，
所以，即，又因为，
所以数列为等差数列，且公差为1，首项为1，
则，即.
设的公差为，则，
所以（），则（），
所以，因此，
综上，．
（2）设数列的前n项和为，则

两式相减得
，所以，
设则，
所以.
19．（1）（2）见解析
【解析】
（1）因为数列的前项和满足：，
所以当时，，
即
解得或，
因为数列都是正项，
所以，
因为，
所以，
解得或，
因为数列都是正项，
所以，
当时，有，
所以，
解得，
当时，，符合
所以数列的通项公式，;
（2）因为，
所以
，
所以数列的前项和为：

，
当时，
有，
所以，
所以对于任意，数列的前项和.
20．（1）； （2）证明见解析，.
【解析】
（1）根据离心率和的面积是得到方程组，计算得到答案.
（2）先排除斜率为0时的情况，设，，联立方程组利用韦达定理得到，，根据化简得到，代入直线方程得到答案.
【详解】
（1）由题意可得，解得，，则椭圆的标准方程是.
（2）当直线的斜率为0时，直线与直线关于轴对称，则直线与直线的斜率之和为零，与题设条件矛盾，故直线的斜率不为0.
设，，直线的方程为
联立，整理得
则，.
因为直线与直线的斜率之和为1，所以，
所以，
将，代入上式，整理得.
所以，即，
则直线的方程为.
故直线恒过定点.
本题考查了椭圆的标准方程，直线过定点问题，计算出是解题的关键，意在考查学生的计算能力和转化能力.
21．（1）证明见解析
（2）
【解析】
（1）取中点连接，得，可得，
可证，可得，进而平面，即可证明结论；
（2）设分别为边的中点，连，可得，，可得（或补角）是异面直线与所成的角，，可得，为二面角的平面角，即，设，求解，即可得出结论.
【详解】
（1）证明:取中点连接，
由则
，则，
故，，

平面，又平面，
故平面平面
（2）解法一:设分别为边的中点，
则，
（或补角）是异面直线与所成的角.
设为边的中点，则，
由知.
又由（1）有平面，
平面，
所以为二面角的平面角，，
设则
在中，
从而
在中，，
又，
从而在中，因，
，
因此，异面直线与所成角的余弦值为.

解法二:过点作交于点
由（1）易知两两垂直，
以为原点，射线分别为轴，
轴，轴的正半轴，建立空间直角坐标系.
不妨设，由，
易知点的坐标分别为
则
显然向量是平面的法向量
已知二面角为，
设，则
设平面的法向量为，
则
令，则
由
由上式整理得，
解之得(舍)或
，

因此，异面直线与所成角的余弦值为.

本题考查空间点、线、面位置关系，证明平面与平面垂直，考查空间角，涉及到二面角、异面直线所成的角，做出空间角对应的平面角是解题的关键，或用空间向量法求角，意在考查直观想象、逻辑推理、数学计算能力，属于中档题.
22．（1）列联表见解析，99%；（2），；（3）第二种优惠方案更划算.
【解析】
（1）根据已知数据得出列联表，再根据独立性检验得出结论；
（2）有数据可知，女性中“手机支付族”的概率为，知服从二项分布，即，可求得其期望和方差；
（3）若选方案一，则需付款元，若选方案二，设实际付款元，，则的取值为1200，1080，1020，求出实际付款的期望，再比较两个方案中的付款的金额的大小，可得出选择的方案.
【详解】
（1）由已知得出联列表：
，所以，
有99%的把握认为“手机支付族”与“性别”有关；
（2）有数据可知，女性中“手机支付族”的概率为， ，
；
（3）若选方案一，则需付款元
若选方案二，设实际付款元，，则的取值为1200，1080，1020，
，，，

选择第二种优惠方案更划算
本题考查独立性检验，二项分布的期望和方差，以及由期望值确定决策方案，属于中档题.