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常微分方程期终考试试卷（1）一、填空题（30%）1、方程（%，y）办+N（x,y）dy=有只含%的积分因子的充要条件是（）o有只含，的积分因子的充要条件是 02、称为黎卡提方程，它有积分因子 o3、称为伯努利方程，它有积分因子 o4、若Xi），X2（）,X。）为阶齐线性方程的个解，则它们线性无关的充要条件是 o5、形如 的方程称为欧拉方程。6、若。和都是=4。的基解矩阵，贝M和济）具有的关系是 7、当方程的特征根为两个共甄虚根是，则当其实部为 时，零解是稳定的，对应的奇点称为。二、计算题（60%）、ydx-x+y）dy=02、+x=sinr-cos 2t2A 二3、若 L-。M。）=句试求方程组=Ax的解 1%并求expAt哼）3.4 移字+8y2=04 dx ax=x+y25、求方程公 经过（0,0）的第三次近似解dx 1 dy 广=-x y+1,=x-y-56.求 dt dt的奇点,并判断奇点的类型及稳定性.三、证明题（10%）1、阶齐线性方程一定存在个线性无关解。试卷答案一填空题8M dNdM dN1、dy dx/、-二 9。)N、生二(y)-M2、孚=p(x)y2+Q(x)y+R(x)axy=y+z3、孚二(%)y+Q(x)y axM(x,y)=yf(fP(x4、vvx1,电，%（胡。5、n dny dy nx病+内尸+*区+=6、W3=帕)c7、零稳定中心二计算题dM A dN 1-=1,=-1 dy dx1、解：因为,所以此方程不是恰当方程，方程有积分因子4(y)=e1 dx x+y,3dy=0+-x+y3d-ydy=c小匠=X 产,2两边同乘 得）产 dy所以解为土+J 2 2 即2x=y（y+。）另外尸0也是解2、线性方程x+%=0的特征方程%+1=0故特征根2=i力=sin%2 是特征单根，原方程有特解x=%（Acos%+5sin/）代入原方程A=-2 B=0/2(0=-cos2r 2=2,不是特征根，原方程有特解x=Acos 2?+5 sin 2t 代入原方程 3 B=0 1 1 cx-cA cos%+c9 sm/cos/+cos2，所以原方程的解为 23pW=3、解：4-2112 4=22-62+9=0 _解得4,2=3此时k=i%=2n=2=vOQ)=/2。4-3或，i=0一 1Jll3te%+Si+2)由公式expAt=n-1 Ji=0！得exp Ar=e3tE+t(A-3E)=/1001111 t tt 1+%+t，3+4dx)户/dy dy_ Y=P、8y24 y p x-4、解：方程可化为 dx 令dx 则有 4(*)2y行4产）J+2（8/一23）=-2P（*）两边对y求导：内（/4/）（2，半_）=0 2y 半p=0 1 y=（4 2即 dy 由 dy 得，=勺2即 c将y代入（*）%=J+名 尸（424 d即方程的含参数形式的通解为：c p为参数又由3-4/=得=（4产）3代入（*）得：）一五也是方程的解。0=0=x X291=%+皿3%2/%=%+与5、解:4 10 7产/X X X 仍=0+1（X+-+3 0 Jo 4 400 20“X=4+匚卫2 20 4400 160 x8-r X-f-x-y+1=06、解：由1%_y_5=0 解得奇点（3,-2）令 X=x3,Y=y+2 贝 IJ1 1因为1-1=1+1。0故有唯一零解（0,0）2+11 7=22+22+1+1=22+22+2=0由T 2+1 得丸=-1，故（3,-2）为稳定焦点。三、证明题由解的存在唯一性定理知：n阶齐线性方程一定存在满足如下条件的n解：再优）=1,%2 0）=，.,几（，0）二。0）二 1、2。0）=I.，4几（，0）二。町T优）=0,域T优）=。,XL优）二11 0-00 1-0阿西。0）,42（，0）1,/（，0）=1 w。从而勺（i=1,2,的是线性无关的。常微分方程期终试卷一、填空题30%1、形如 的方程，称为变量分离方程，这里.初。（了）分别为x.y的连续函数。2、形如 的方程，称为伯努利方程，这里尸（。为工的连续函数,nW。是常数。引入变量变换-，可化为线性方程。3、如果存在常数L*。，使得不等式 对于所有（%,%）,（%,%）尺都成立，L称为利普希兹常数。函数/（x,y）称为在R上关于y满 足利普希兹条件。4、形如-的方程，称为欧拉方程，这里火，是常数。5、设。是x=Ax的基解矩阵，。是兀=A）x+/的某一解，则它的任一解/可表为-o计算题40%1、求方程务的通解。2、求方程公x 的通解。3、求方程K+645x=”的隐式解。为、工口包=、+/通过点（0、0）的第三次近似解。4、求万程公三、证明题30%2|r 0 1|r-1t t 2 2%1.试验证“）2/1是方程组力x,x封，在任何不包含原点的区间 aWb上的基解矩阵。2.设（。为方程x二Ax（A为nxn常数矩阵）的标准基解矩阵（即（0）=E）,证明：（。T（t。）=（L t。）其中1 t。为某一值.常微分方程期终试卷答卷一、填空题（每空5分）1 半=/（x）o（y）。孚二尸丁+。丁1 dx 2、dx3，（尤月）一/（羽乃）|4月 乃|5、二、计算题（每题10分）dz _ _2 dy1、这是n=2时的伯努利不等式，令z二/，算得 一 dxdz 6 c x2_-7+X _I_代入原方程得到公一X,这是线性方程，求得它的通解为z=九6 81 C X2 X6 X8 _ 1 -C带回原来的变量y,得到二d8或者y 8,这就是原方程的解。此外方程还有解y=0.dy 孙 xe-y-=6-xy=-解：dx xxdy=（xe孙-y）dxxdy+ydx-xedxdxy=xexydx积分:e-xy=x2+c 2r J/+L+C=O 故通解为：23、解：齐线性方程尸+645x=0的特征方程为分+62+5=0,4=-1，几2=-5,故通解为%）=%+4e32=2不是特征根，所以方程有形如丽=”把布代网原方程 4A/+12A/+5A/=/A=21于是原方程通解为加）=一,+2厂+（e2，4、解 0o（x）=。%2/=jx+(pQ2(x)dx=-o 20 2 X X2(X)=JX+O1(X)X=+x2 J X8%11-1-1-1-2 20 160 4400(P3(x)=jx+%2(x)dx=0三、证明题（每题15分）1、证明：令的第一列为9i（t）42”这时9；（t）42j=77J/（t）故/（t）是一个解。同样如果以。2（t）表示皈）第二歹U，我们有心（t）9二CF，/这样。2（t）也是一个解。因此（%）是解矩阵。又因为det）二-t2故”）是基解矩 阵。2、证明：（1），（t-t。）是基解矩阵。（2）由于）为方程x二Ax的解矩阵，所以（。一（t。）也是x二Ax的解矩阵，而当t二to时,（t。）T（to）=E,（tto）=（0）=E.故由解的存在唯一性定理，得（。T（t。）=（L tO）常微分方程期终试卷(3)。.解下列方程(10%*8=80%)1.1.Zxylnydx+l+y?+dy=0空2之2.dx=6 X-xy，(上。3.y=2 x+y-l5.5.tgydxctydy=06.6.y-x（，+丁2）dx-xdy=07.一质量为m质点作直线运动，从速度为零的时刻起，有一个和时间成正比（比 例系数为匕）的力作用在它上面，此外质点又受到介质的阻力，这阻力和速 度成正比（比例系数为心）。试求此质点的速度与时间的关系。8.已知f（x）I7力=l,xoO,试求函数f（x）的一般表达式。二.证明题（10%*2=20%）9.试证：在微分方程Mdx+Ndy=0中，如果M、N试同齐次函数，且xM+yNwO,则1一+yN）是该方程的一个积分因子。10.证明：如果已知黎卡提方程的一个特解，则可用初等方法求得它的通解。试题答案:dM dN8M dN Qy Qx 2xlny 11.解：8二2xlny+2x,力=2x,则-M 一二-2冲Iny 二y,故方JL 工-程有积分因子以=)产二亍，原方程两边同乘以不得2xylny+y Jl+_y dx+y dy=O是恰当方程.d(x Iny)+ydy=O,两边积分得32 Vi+/y方程的解为x lny+3 7)=Co2.解：1)y=0是方程的特解。2)当ywO时，令z二)得dz 6 c .2dx=xz+x.这是线性方程，解得它的通解为z=九6 8代回原来的变量y得方程解为y二九6 8；y=0.dv 2-3.解：令x=u+3,y=v-2,可将原方程变为八二V再令Z=(Z Y zgdz 2-dz/1 2得到 z+u=11+Z J,即二(十Z),分离变量并两端积分得即 lnH+2arctgz=-ln(、1 2J 1+zdzduu+lnCH+lnC,-larctg-ulnlzwl=-2arctgz+lnC 代回原变量得 v=Ce所以，原方程的解为y+2=cey+2-2 circtg 4.解：将方程改写为丫+光(*)令u=%,得至U X，+u,贝U(*)变为X 不广,变量分离并两边积分得arcsinu=lnH+lnC,故方程的解为2arcsin 尤=lnCxo5.解：变量分离 ctgxdy=tgydx,两边积分得 ln(siny)=-In lcosxl+C 或 sinycosx=C(*)另外，由 tgy=O 或 ctgx=O 得 y=k(k=0、1),x=t乃+5(t=0、1)也是方程的解。tgy=0或ctgx=0的解是(*)当C=0时的 特殊情况，故原方程的解为sinycosx=Co2/一 _ 2 _ _ 2X+丁-xdx=0,即 d(arctg Y)-2 dx=0,故原方程的解为 arctg y-2 X=CO7.解：因为 F=力，又 F=F F?=k/k胃，即 mdt-kfk2V(v(o)=o),Bp dt-kfk(v(o)=o),2 i解得v=左2 em(tX).8.解：令f(x)=y,7w=L/W,两边求导得11 -从而 y=J2x+C,故 f(X)=v2x+C.9.证明：如M、N都是n次齐次函数，则因为xAfx+yM丁=nM,xN+yNy二nN,故有d M d Ndy xM+yN dx xM+yN=M y(xM+yN)-M(xM y+N+yN)N-M+yN)N(xM+yN)(xM+yN)?xM+yN)?M(xN,+yN)N(xM x+yN)=(xM+yN)2M(nN)N(nM)=(xM+yN)2=0.故命题成立。10.解：1)先找到一个特解y二丁。2)令丫=y+2,化为n=2的伯努利方程。证明：因为y=为方程的解，也 2 所以 dx 二Pix)9+Q(x)+R(x)(1)令y=3+z,则有dy dz 2 dx+dx-P(x)(歹+Z)+Q(x)(歹+Z)+R(x)(2)dz 2(2)-得 dx=P(x)(2、Z+Z)+Q(x)z生 2即 dx-2P(x)+Q(x)z+P(x)Z此为n=2的伯努利方程。常微分方程期终试卷（4）一、填空题1、（）称为变量分离方程，它有积分因子（）o2、当（）时，方程M（Q）dx+N（Q）dy=O称为恰当方程，或称全微分方程。3、函数x，y）称为在矩形域R上关于 满足利普希兹条件，如果（）o4、对毕卡逼近序列，帆一。1（刈0。5 解 线 性 方 程 的 常 用 方 法 有C）o6、若x*）a=i，2,，）为齐线性方程的“个线性无关解，则这一齐线性方程的所 有解可表为（）o7、方程组丁=4方（）。8、若帕）和岫都是V=A（r）x的基解矩阵,则帕）和 g 具有关系:C）。9、当方程组的特征根为两个共物虚根时，则当其实部（）时，零解是稳定的，对应的奇点称为（）o1 0、当方程组的特征方程有两个相异的特征根时，则当（）时,零解是渐近稳定的，对应的奇点称为（）。当（）时，零解是不稳定的，对应的奇点称为（）o1 1、若。是=4方的基解矩阵，贝1丁=4方=/满足=的解（）。二、计算题求下列方程的通解。-=4ey sin x-11 （华）ax”=x+/3、求方程dx y通过（。，。）的第三次近似解。求解下列常系数线性方程。4、x+x+尤=0。5、x x=e试求下列线性方程组的奇点，并通过变换将奇点变为原点，进一步判断奇点的类型及稳定性：三、证明题。1、1、设。为方程V=A，（A为“常数矩阵）的标准基解矩阵（即。（。）=初,证明。夕伉）=3外其中%。为某一值。答案：填空题sW=/（x）g（x）的+工口形如dx 的方程8M dN3、存在常数L0,对于所有a）%）都有使得不等式，（修，%）一/（九2,乃）|v 4%一 丁 21 成立Ml-14、k5、常数变异法、待定系数法、累级数解法、拉普拉斯变换法67891 0、1 1、-、1、2、3、nx(t)=V C.X.(t)、白，其中g,Q，C是任意常数、个线性无关的解占，4，Z称之为=4方的一个基本解组、=。C(QW0c为非奇异常数矩阵、等于零 稳定中心两根同号且均为负实数 稳定结点实数 不稳定鞍点或不稳定结点=。0)+(s)/(s)ds计算题dey 解：方程可化为dxdz A.人 =z+4smx令z=e得dx由一阶线性方程的求解公式，得 z=14sinxe )&)dx+c=e x2(所以原方程为：=2(sinx-cosx)+c dy.八、r 一=p=sw解：设dxx=-tgt-scctdt+c=sec2+t=tgt+cJ sin 1 另外y=l也是方程的解解：9o(x)=O%(x)=xdx=g，/、/1 4 r 1 2 1 S夕2(%)=(x+x)dx x+X3(X)=f +(。/+：炉)2卜=”两根异号或两根同号且均为正=ey+4 sin x 1(sin x-cos 九)e+c=2(sin x-cos x)+cexext,则有=secz,从而，故方程的解为=1 4 1 10 1 7YX H-X H-X H-X dx、4 400 20/1 2 1 5 1 11 1 8X+X+X+X2 20 4400 1604、解：对应的特征方程为：下+4+1=。，解得4=T+孚i，4=-i-y-i-1x z?2所以方程的通解为：15、V3.cos t+q sm2 2解：齐线性方程/。的特征方程为才-1=0,解得4=T、er,e cos sin z 2,故齐线性万程的基本解组为：2 2因为丸=1是特征根，所以原方程有形如犬。）二必后，代入原方程得,A=-3Aef+Ate-Atef=ef，所以 3所以原方程的通解为1t 一 COSx=qe+c2e 26、3 2 32x=3 y=-2解:-%-y+!=0 x _ y _ 5=0解得所以奇点为（3，-2）经变X=x-3换，y+3方程组化为dxxy dt =X-Y、dt因为wo,又(2+1)2+1=011112+1 11 2+1所以4=-i+i，4=-i-i,故奇点为稳定焦点，所对应的零解为渐近稳定的。证明题1、证明：。为方程尤=版的基解矩阵伉）为一非奇异常数矩阵，所以。伉）也是方程才=Ax的基解矩阵，且狗。）也是方程=Ax 的基解矩阵,且都满足初始条件。犷伉）=E,帕。f）=忡）=E所以。）=。（10）常微分方程期终考试试卷（5）.填空题（30分）1.券称为一阶线性方程，它有积分因子，其通解为2.函数称为在矩形域R上关于y满足利普希兹条件，如果 o3.若。为毕卡逼近序列加的极限，则有,一%（刈o包*+丫24.方程公一,定义在矩形域R:-2VxV2,-2K2上，则经过点（0,0）的解 的存在区间是 o5.函数组6一，的伏朗斯基行列式为 o6.若，）（”1，2，-一，）为齐线性方程的一个基本解组，为非齐线性方程的一个 特解，则非齐线性方程的所有解可表为 o7.若是8=4方的基解矩阵，则向量函数/）=是x=AQ）x+/的 满足初始条件9伉）=的解；向量函数。0）=是工=A（Ox+/（r）的满足初始条件在。）=的解。8.若矩阵A具有几个线性无关的特征向量匕，叱，v”，它们对应的特征值分别为 儿演儿,那么矩阵（。=是常系数线性方程组x=加的一个基解矩 阵。9.满足 的点（，*，*）,称为驻定方程组。计算题（60分）10.求方程4/产公+2（/1）办二的通解。dy y_pc x 011.求方程公 的通解。0,使/乃）氏4%-乃|,对于任意（X,乃）,（九,为）氏MU2e4ex(t)=cixi(t)+x(t)f(s)/(s)ds%)+jT(s)/(s)ds8.卜W%，9.X(x,y)=O,Y(x,y)=O计算题(60分)8M 0 2 N-=ox y,-10.解：力 小dM dN dy dx _ 1M 2y 积分因子 4（y）=e 两边同乘以（）后方程变为恰当方程：4/y%x+2户（凸-1时=0c 一 _一=2x3y2+(py)=N=2x3y2-2y 2得：9(y)=-4y因此方程的通解为：y“、-3）=c11.解：令正7 P贝ljp+/_犬二0得：x=p+ep那么，=pdx=p(X+ep)dp=4+pf+cx=p+ep,2y-F(p l)e+c因此方程的通解为：2 J1。右刀 M=m闾/(x,y)|二 412.解：(%，y)eR7./b、1x-x0l=ay-y()l=b9 irnm,一 1一,一、一 r x-xf)=x-h 解的存在区间为14531I-V 犬 即4 4令。o(x)二%二。(p、(x)0+dx F,3dx=x1 x43 63 18X 11-1-9 42又力=|2y|4=3i，4=3i%=&是方程的特征值，设x。)=KAt+3)*得:x=(2A-9Bt+12Ait+6Bi-9At2)e3it则 2A+124+6瓦=/z A=-i,B=得：12 361 2 1,一，xU)=c.cos3t+c9 sin3t-1 cos3%h-1sin3t因此方程的通解为：1 2 12 362-1-2det(X-A)=(4+1)(2-5)=014.解：4 2-34=1,22=5a-I 1Vi Vi(4-A)V=O 得 取 T%一 匕一(22E-A)v2=0 得 2词取2=则基解矩阵1(0)=12-10 2(小-1。)/(3)办3 1/20 43 5,1,c-C+10 22-51-5因此方程的通解为：*)-0)+中(小(22-51-5-十 T T e e-十 /e e 1-41-2+-5f5r e e 3一203 一10-_15.解:2%7y+19=0_ x-2y-5=QX=1y=3(1,3)是奇点X.尤十19 5令 x 一一5dX dtdY 2X7y,=x-2Y dt2-71-2-7_3 2wO,那么由2-2 70 3+不=02 220A 2172+2可得：4=V3z,22=-V3z因此（1,3）是稳定中心三.证明题（10分）16.证明：由定理8可知颂=一理%切+对/又因为（。=exp At,t&）=（exp Ar0）-1=exp（-At0）f（s）=O所 以。=exp At-exp（-A%）r）又因为矩阵）,（-4。）=（一4。）.）所以 9（，）=expA（，To）L常微分方程期终考试试卷（6）三.填空题（共30分，9小题，10个空格，每格3分）。1、当 时，方程M（x,y）dx+N（x,y）dy=O称为恰当方程，或称全微分方程。2、称为齐次方程。dydx3、求=f（x,y）满足9（元。）=、。的解等价于求积分方程 的连续解。4、若函数f（x,y）在区域G内连续,且关于y满足利普希兹条件,则方程）的解尸9兄。，。）作为1，。，。的函数在它的存在范围内是 o5、若修,乙,%为n阶齐线性方程的n个解，则它们线性无关的充要条件是 6、方程组/=A（的 称之为=A九的一个基本解组。7、若。是常系数线性方程组/=加的基解矩阵，则expAt=o8、满足 的点（,，*）,称为方程组的奇点。9、当方程组的特征根为两个共软虚根时，则当其实部 时，零解是稳定的，对应的奇点称为 O二、计算题（共6小题，每题10分）。dy 犬-y+11、求解方程：&=X+/+32、2、解方程：（2x+2yT）dx+（x+y-2）dy=0dy 3 i3、讨论方程区=5尸在怎样的区域中满足解的存在唯一性定理的条件，并求通 过点（0,0）的一切解4、求解常系数线性方程：S-27+3、=cosr（1 2、eAt苴中A为5、试求方程组M=4的一个基解矩阵，并计算八 4 3）dx _ dy _6、试讨论方程组正 Ly（1）的奇点类型，其中a,b,c为常数,且 ac w 0 0三、证明题（共一题，满分10分。试证：如果。（力是、/=心满足初始条件的解，那么常微分方程期末考试答案卷一、一、填空题。(30分)dM(x,y)_ dN(x,y)1、dx型=心2、dx x3、y=yo+lfy)dx4、连续的5、w ki 八,z(，)*。6、n个线性无关解7、TO)8、X(x,y)=0,Y(x,y)=09、为零 稳定中心二、计算题。(60分)21、解：(x-y+1)dx-(x+3)dy=02xdx-(ydx+xdy)+dx-dy-3dy=0即 2 d，d(xy)+dx-3 -3dy=01 2 1 3所以+-3y=Cdy _ 2(犬+y)-12、解：dx(x+y)-2,令 z=x+y生=1+电则 dx dxdz _ 2z-1 _ z+1dx z 2 z+2-z+2 z+1dz=dx所以-z+31n|z+11=x+ci,1/z+lH=x+z+g即 a+y+l)3=cF中3、解：设 f(x,y)=2 y3,则8 2.故在 丁，。的任何区域上力存在且连续，因而方程在这样的区域中满足解的存在唯一性定理的条件,显然，了三。是通过点(0,0)的一个解；dy _ 3 1 3又由瓦解得，|y|二(X-。/所以，通过点(o,0)的一切解为丁三。及0(x c)0是常数4、解：()分一22+3=0,4,2=1土也，齐次方程的通解为x=(ci cosV2r+c2 sin)(2)4=-li不是特征根，故取x=(Acos?+Bsiin)eT5 4代入方程比较系数得A=Zi,B=-415 4于是通解为 X=(g cos+c2 sin)+石(5 cos-4 sin t)e5、解：det(起-A)二2-1-24 A 33-42-5=o所以，4=-L 4=5设4=t对应的特征向量为匕f-2-2由4 4匕=可得匕=a(1、a w 0匕=取 v-V同理取V2=（e5t、所以，=匕/%=-丁 2e(/e5t V 1*=中冲-1(0)=5te 2e 人Te t e5t Y2 fW 2”1 1 J_ if”+2 e*-T、-512*2/2/+e;1Y12)6、解:因为方程组（1）是二阶线性驻定方程组，且满足条件a bCLC W 00 ，故奇点为原点（0,0）bc-Aci-A又由 det(A-2 E)二 0分(Q+C)A+CLC-0得4=Q=C所以，方程组的奇点（0,0）可分为以下类型:ac 0奇点为结点Q W CaO,c 0,0 0,不稳定结点。0奇点为鞍点（不稳定）a,c为实数%。0,奇点为退化结点 a=8=0,奇点为奇结点aQ,c 0,0 0,不稳定结点三、证明题。（10分）证明：设。的形式为。=C（1）(C为待定的常向量)则由初始条件得”叫)二小(又(一/厂。所以，0(*广二。代入(1)得 9二*e-A，”=eA(l。)即命题得证。常微分方程期终试卷(7)一、选择题1.阶线性齐次微分方程基本解组中解的个数恰好是(B)n-1(C)n+1(D)+22.李普希兹条件是保证一阶微分方程初值问题解惟一的(A)充分(B)必要(C)充分必要(D)必要非充分)个.(A)n)条件.3.方程网一“，过点7,，共有()个解.(A)一(B)无数(C)两(D)三曳=，+X4.方程dx()奇解.(A)有一个(B)有两个(C)无(D)有无数个5.方程也8的奇解是().(A)冗(B)y=i(O y=T(D)尸。二、计算题2,2x+y1.x)=+y2.tgydx-ctydy=O3.(x+2y)dx-xdy=0型J+l4.dr xy adx+(y+In x)dy=05.尤三、求下列方程的通解或通积分1.y=x(l-y2)dx2.电=)_g)2 dx x x3.电+3y=e dx四.证明1.设%，乃是方程y+p（x）y+q（x）y=0的解，且满足（%）=y2（%）=0,%W。，这里,夕在（-8,+8）上连续,2（-8，+8）.试证明：存在常数C使得为（X）=C%（）.2.在方程y+O（X）y+（X）y=。中,已知夕，9在（-8,十）上连续.求证:该 方程的任一非零解在X平面上不能与X轴相切.试卷答案一、选择题l.A 2.B 3.B 4.C 5,D二、计算题1.解：将方程改写为2 2+%(*)令 11=%，得到 =x+u,贝！J(*)du _变为x装二）1一，变量分离并两边积分得arcsinu=lnH+lnC,故方程2的解为 arcsin%=lnCxo2.解：变量分离 ctgxdy=tgydx,两边积分得 In(siny)=-lnlcosxl+C 或 sinycosx=C(*)另外，由 tgy=O 或 ctgx=O 得 y=k(k=0 1),冗X=t万+2(t=o、1)也是方程的解。tgy=O或ctgx=O的解是(*)当C=0 时的特殊情况，故原方程的解为sinycosx=Co3.方程化为电=1+2)dx xdy Au.JY*-令”,，则也一 dx,代入上式，得Au 1 x=+u dx分量变量，积分，通解为u=Cx-1原方程通解为y=Cx2-x4.解 齐次方程的通解为y=Cx令非齐次方程的特解为y=C(x)x代入原方程，确定出c(x)=lnH+c原方程的通解为y=以+力中|dM _1 _dNX5.解因为力治,所以原方程是全微分方程取(x,y)=(LO),原方程的通积分为5及+J；3切=。即 yin|M+：V=c三、求下列方程的通解或通积分1.解当ywi时，分离变量得台 dy=xdx等式两端积分得JTdy 邛dx+G1-ln|l-y2|=x2+G1-y2=Ce2,C=e-2C1方程的通积分为y2=l-Ce-x2,_ du2.解令网，贝*=十光瓦，代入原方程，得du 2 d”2+x u u x =udx,dx当 HO时，分离变量，再积分，得卜1 1/g+C,八M即通积分为：吨+C3.解 齐次方程的通解为y=Ce-3x令非齐次方程的特解为y=C(x)e-3%代入原方程，确定出C(x)=ie+C原方程的通解为le2xy=Ce+5四.证明1.证明设以，为是方程的两个解，则它们在(-8，+上有定义，其朗斯 基行列式为卬为(X)乂 y；(x)由已知条件，得-),(X。(X。)。0=0%(%)%(%)%(%)乃(、0)故这两个解是线性相关的.由线性相关定义，存在不全为零的常数%，%,使得%(冗)+。2为(1)=。,(00,+8)由于乃W。，可知%。.否则，若%=。，贝府 巴月(兄)=。，而为W。，贝!=。，这与以，为线性相关矛盾.故y 2(%)=一%y 1(尤)=Cy 1(%)-a22.证明 由已知条件可知，该方程满足解的存在惟一及解的延展定理条件，且任一解的存在区间都是(一9+8).显然，该方程有零解y(x)三。.假设该方程的任一非零解%(龙)在X轴上某点X。处与X轴相切，即有为(X。)=%(/)=0,那么由解的惟一性及该方程有零 解y三。可知以(九)三0,xG(-00,+00),这是因为零解也满足初值条件乃(。)二月口。)=0,于是由解的惟一性，有必=y(x)=0,x G(-00,+oo).这与乃是非零解矛盾.常微分方程期终试卷（8）一、填空（每空3分）1、称为一阶线性方程，它有积分因 子,其通解为 O2、函数称为在矩形域R上关于y满足利普希兹条件，如果_ O3、若一“），/，,X”为呻介齐线性方程的九个解,则它们线性无关的充要条件 是。4、形如 的方程称为欧拉 方程。5、若和甲都是x=A）x的基解矩阵，则和平具有的关 系：o6、若向量函数g；y）在域r上,则方程组 叫;“。）一。的解。存在且惟一。7、当方程组的特征根为两个共物虚根时，则当其实部,零 解是稳定的，对应的奇点称为。二、求下列方程的解1、(y-3x2)dx-(4y-x)dy=0（6分）2、ydx-xdy=(x2+y2)dx（8分）3、y2（y-i）=（2-y）2（8分）4、dy 孙-1=e y dx x（8分）5、xy,+6x,+5x=/，（6分）6、九+九=一二 sin t（8分）7、2Vf-g*l-1/r r j、心、（8分）二、求万程组科黄总，开刊断黄总的尖里利碣正底处）答案一、填空（每空4分）1、形如今=2+）的方程，6卜，=（如）/+。）2、存在常数力0,使得7区,）,区,为）尺,有|/（羽月）一/（丹乃）|一乃|3、河11（。,2），乙W。5、乎。）=。（C为非奇异方程）6、连续且关于y满足利普希兹条件7、等于零，稳定中心二、求下列方程的解、(6 分)解：-3x2dx+(ydx+xdy)-4ydy=0或-3+dxy-d(2y1 2)=0故方程的通解为-/+-2y 2=ydx-xdy2、（8分）解：两边除以广：）/2-X、7+1 dx7 x d 一-dxy变量分离:两边积分:xarctg =x+c yX/、-=tg(x+c)y3、（8 分）解：令27=”,贝2-*于是产（2 W 1）=（w）2得1-t2y=-y=2 =2(1产)=1+/即兴4-1-r2-t2-1/dy dT t2 i dx=-=dt=dt1+t 1+t 1+t t 1.t x -c两边积分 t1x=-+c t1-t2y=-于是，通解为4、5、dy=cXy _xy=xeXy-y(8 分)解：dx xxdy=(x*-y)dxxdy+ydx=xexy dx dxy=xexy dx dxy 7-二xdxexy积分:6-孙=X2+C 21 91-X2+e-xy+c=0故通解为：2（6分）解：齐线性方程K+645x=0的特征方程为矛+62+5=0,4=T，4=-5,故通解为（。=。避一+c2e-5t几=2不是特征根，所以方程有形如x）=A把代回原方程 4A/+12A/+5A/=/A=21,_.、.、r x（/）CaC t+Cr.c 5t H-e2于是原万程通解为 216、（8分）解：齐线性方程的特征方程为川+1=0,解得2=，于是齐线性方程通解为%。）=G cos t+c2 sin t令x(t)=gcos t+c2(0 sin t为原方程的解，则c/(0 cos r+c2(0 sin%=0+dy=O空2 25.dx=6-x.(-)26.y=2 x+y-l7.已知f(x)I7力=l,x#O,试求函数f(x)的一般表达式。8.一质量为m质点作直线运动，从速度为零的时刻起，有一个和时间成正比(比 例系数为匕)的力作用在它上面，此外质点又受到介质的阻力，这阻力和速 度成正比(比例系数为七)。试求此质点的速度与时间的关系。二,证明题(10%*2=20%)1.证明：如果已知黎卡提方程的一个特解，则可用初等方法求得它的通解。2.试证：在微分方程Mdx+Ndy=O中，如果M、N试同齐次函数，且xM+yNwO,1则(xM+yN)是该方程的一个积分因子。试题答案：1.解：将方程改写为了+X(*)令X,得至U X二X+U,贝11(*)du _变为X 小)1-,变量分离并两边积分得arcsinu=lnH+lnC5故方程2的解为arcsin犬=lnCxo2.解：变量分离 ctgxdy=tgydx,两边积分得 ln(siny)=-lnlcosxl+C 或 sinycosx=C(*)另外，由 tgy=O 或 ctgx=O 得 y=k(k=0 1)，71x=t+2(t=0 1)也是方程的解。tgy=O或ctgx=O的解是(*)当C=0 时的特殊情况，故原方程的解为sinycosx=Co2 2 2 23.ydx-xdy-x(%+丁)dx=O,两边同除以4+得ydx-xdyF 九 1 犬12 2 _ 2 一 2X 十 丁-xdx=O,即 d(arctg V)-2 dx=0,故原方程的解为 arctg J-2 X=CO8M 8NdM BN Qy Qx 2xln y 14.解：为二2xlny+2x,=2x,则-M 一二-2町Iny=_ y,故方jL 工-程有积分因子=厂二不，原方程两边同乘以得2xyIny F+y Jl+V _y dx+y dy=0是恰当方程.d(x Iny)+y J1+-dy=0,两边积分得3方程的解为flny+他+/)5.解：1)y=0是方程的特解。2)当ywO时，令z=得2dz _6 c xdx=x z+x.这是线性方程，解得它的通解为z二九6 81 2代回原来的变量y得方程解为y=、6 8；y=0.6.解：令 x=u+3,y=v-2,dv可将原方程变为五二U+V)v再令Z-U/Z Y gdz 2-dz/1 2得到 z+二 U+Z),即I=U+Zj,分离变量并两端积分得(1 2(z 1+z)dzduu+lnC即 In月+2arctgz=-山时+lnC,lnlzwl=-2arctgz+lnC2 arctg一代回原变量得y+2-2 arctg-所以，原方程的解为y+2=ce 一39.解：令f(x)=y,7W=两边求导得1 1-ly 一冲即y=y,即y=dx,12两边求积得y=2x+C,从而 y=2x+C,故 f(x)=-Jlx+C.dv10.解：因为 F=ma=md%,又 F=F、F 2=k/k,dv dv 即 前二k-k/(v(o)=o),即7二1/一晨(v(o)=o),解得v二左2 em+左2 左2).11.解：1)先找到一个特解厂2)令y+z,化为n=2的伯努利方程。证明：因为y=为方程的解，%2 所以公二p(x)+q(x)+r(x)(i)令y=)+z,则有dy dz 2 dx+dx-P(x)(歹+Z)+Q(x)(歹+Z)+R(x)(2)dz 2-得 dx=P(x)(29Z+Z)+Q(x)z即 dx-2P(x),+Q(x)z+P(x)Z此为n=2的伯努利方程。12.证明：如M、N都是n次齐次函数，则因为xAf%+yM y=nM,xN%+yNy二口.故有a m _ a ndy xM+yN dx xM+yN-+N+NM+yN)N(xMx+M+yN)(xM+yN)?(xM+yN)2M(xN、+yN)N(xMx+yN)=(xM+yNfM(nN)N(nM)=(xM+yN)2-=0.故命题成立。常微分方程期终试卷(9)、填空题（每小题5分，本题共30分）dy%1.方程瓦+“mx=e的任一解的最大存在区间必定是.2.方程y+分=0的基本解组是.3.向量函数组匕，匕（x），匕a）在区间I上线性相关的 条件是在区间I上它们的朗斯基行列式w（）=.4.李普希兹条件是保证一阶微分方程初值问题解惟一的 条件.5.阶线性齐次微分方程的所有解构成一个 维线性空间.6.向量函数组匕，匕（%），1在其定义区间/上线性相关的 条件是它们的朗斯基行列式W（x）=，X.二、计算题（每小题8分，本题共40分）求下列方程的通解一+317.dx8（x3+xy2）x+（x2y+y3）dy=09.e，+y一元=010.求方程y-5y=sin5x的通解.11.求下列方程组的通解.dx电=4x+ydt三、证明题（每小题15分，本题共30分）12.设厂内和y2（x）是方程y+q尸。的任意两个解，求证：它们的朗斯 基行列式卬三J其中C为常数.13.设。在区间（一-+上连续.试证明方程=0(光)sin y dx的所有解的存在区间必为(-*+0).常微分方程期末试卷参考答案一、填空题(每小题5分，本题共30分)1.(-00,+00)2.sin 2x,cos 2x3.必要4.充分5.n6.必要二、计算题(每小题8分，本题共40分)7.解齐次方程的通解为令非齐次方程的特解为y=C(x)e-3%代入原方程，确定出C(X)=5e5%+C原方程的通解为le2xdM c dN-2xy-8.解 由于力 泳,所以原方程是全微分方程.取(x,y)=(0,0),原方程的通积分为/(J+%y2)dx+二 y3dy=G即 x4+2x2/+/=C o9.解令则原方程的参数形式为x=+e y=t由基本关系式dy=yfdx=r(l+er)dr积分有y=$2+e(_i)+c得原方程参数形式通解x=1+ey=2+era-i)