常微分方程考研讲义第二章 一阶微分方程的初等解法.pdf

第二章、一阶微分方程的初等解法教学目标1.理解变量分离方程以及可化为变量分离方程的类型（齐次方程），熟练掌握变量分 离方程的解法。2.理解一阶线性微分方程的类型，熟练掌握常数变易法及伯努力方程的求解。3.理解恰当方程的类型，掌握恰当方程的解法及简单积分因子的求法。4.理解一阶隐式方程的可积类型，掌握隐式方程的参数解法。教学重难点重点是一阶微分方程的各类初等解法，难点是积分因子的求法以及隐式 方程的解法。教学方法讲授，实践。教学时间14学时教学内容变量分离方程，齐次方程以及可化为变量分离方程类型，一阶线性微分方 程及其常数变易法，伯努利方程，恰当方程及其积分因子法，隐式方程。考核目标1.一阶微分方程的初等解法：变量分离法、一阶线性微分方程的常数变易法、恰当方 程与积分因子法、一阶隐方程的参数解法。2.会建立一阶微分方程并能求解。1变量分离方程与变量变换1、变量分离方程1）变量分离方程形如?=/（x）g（y）（或叫（x）Ni（y）dx+M2（x）N2（y）dy=0）（2.1）dx的方程,称为变量分离方程,其中函数“X）和g（y）分别是的连续函数.2）求解方法如果g(y)wO,方程(2.1)可化为,=f(x)dx g(y)这样变量就分离开了，两边积分彳导到j今丁 fxdx+c(2.2)把J盒,公分别理解为京 J的某一个原函数.容易验证由(2.2)所确定的隐函数=火工,。)满足方程(2.1).因而(2.2)是(2.1)的通解.如果存在为使g(%)=0,可知y=%也是(2.1)的解.可能它不包含在方程的通解(22)中，必须予以补上.3)例题例1求解方程序=-土dx y解将变量分离，得到ydy=-xdx两边积分，即得2 22 2 2因而，通解为/+y 2=。这里的c是任意的正常数.或解出显式形式例2解方程-=y 2 cos x dx并求满足初始条件：当%=0时r=1的特解.解 将变量分离，得到dy,r-=cos xdx y两边积分，即得1.-=sin x+c y因而，通解为1y=一：-sin jc+c这里的c是任意的常数.此外,方程还有解y=0.为确定所求的特解,以=1代入通解中确定常数。，得到c=-l因而，所求的特解为1y-1 一 sin x例3求方程手=尸(小(2.3)ax的通解,其中尸(x)是x的连续函数.解将变量分离，得到=Pxdx y两边积分，即得ln|y|=j*P(x)dx+c这里的Z是任意常数.由对数的定义，即有即令士j=。，得到y=(2.4)此外，y=0也是(2.3)的解.如果在(2.4)中允许。=。，则y=0也就包括在(2.4)中，因而，(2.3)的通解为(2.4),其中。是任意常数.注：1.常数。的选取保证(2.2)式有意义.2.方程的通解不一定是方程的全部解，有些通解包含了方程的所有解，有些通解不 能包含方程的所有解.此时，还应求出不含在通解中的其它解，即将遗漏的解要弥补上.3.微分方程的通解表示的是一族曲线,而特解表示的是满足特定条件y(%)=%的 一个解,表示的是一条过点(为,%)的曲线.2、可化为变量分离方程的类型1).形如(2.5)的方程，称为齐次方程，这里的g()是的连续函数.另外，i)对于方程 dy _ M(x,y)dx N(x,y)其中函数M(x,y)和N(x,y)都是x和y的加次齐次函数，即对。有M(比,ty)=tmM(x,y)N(tx,ty)=tmN(x,y)事实上，取=工，则方程可改写成形如(2.5)的方程.xay=x=xdx 廿 N(L)x xii)对方程 手=/(羽y)dx其中右端函数y)是x和y的零次齐次函数,即对，。有/(二“)=)则方程也可改写成形如(2.5)的方程ax x对齐次方程（2.5）利用变量替换可化为变量分离方程再求解.令二）x(2.6)即y=X,于是dy du-=X-F Udx dx(2.7)将（2.6）、（2.7）代入（2.5），则原方程变为du.、X-F U=gU)dx整理后，得到du gu)-u dx x(2.8)方程（2.8）是一个可分离变量方程，按照变量分离法求解，然后将所求的解代回原变 量,所得的解便是原方程（2.5）的解.例4求解方程手=上+次2dx x x解 这是齐次方程,以上=,半半+代入，则原方程变为 x dx dxduX-F =+tgUdx即du tgu dx x分离变量，即有7 dxctguau=x(2.9)两边积分，得到ln|sinw|=ln|x|+c这里的C是任意的常数，整理后，得到(2.10)sin u-cx此外，方程(2.9)还有解3=。，即sin=0.如果(2.10)中允许c=0,则 sin=0就包含在(2.10)中，这就是说，方程(2.9)的通解为(2.10).代回原来的变量，得到原方程的通解为.ysm =ex x例5求解方程x半+2历=y(x0).dx解将方程改写为手=小+)(x0)(2.12)这里的c是任意常数.此外，(2.11)还有解u=0注意,此解不包括在通解(2.12)中.代回原来的变量，即得原方程的通解y=xln(-x)+c2(ln(-x)+c 0)及解 y=0.原方程的通解还可表为 y=1xln(-x)+c2,ln(-x)+c 0,o,它定义于整个负半轴上.注：1.对于齐次方程半=g的求解方法关键的一步是令=)后，解出 dx yx J xy=ux,再对两边求关于x的导数得半=+x半，再将其代入齐次方程使方程变为 dx dx关于的可分离方程.2.齐次方程也可以通过变换v=二而化为变量分离方程.这时x=vy,再对两边 y求关于y的导数得手=v+,将其代入齐次方程”=二使方程变为v,y的可ay ay ay J分离方程小结：这一讲我们主要讲解了一阶微分方程的可分离变量法和齐次方程的 手=且2形状的解法.而这一齐次方程通过变量替换任然可化为可分离方程，因而，dx yx J一定要熟练掌握可分离方程的解法.2)形如dy=+(213)dx a2x+b2y+c2的方程经变量变换化为变量分离方程,这里的内,出片也，。1，。2均为常数.分三种情况来讨论(1)q=Q=情形这时方程(2.13)属齐次方程，有dy%元+幻_dx a2x+b2y2此时，令=2,即可化为变量可分离方程.X(2)/，=0,即幺的情开么。2。2。2 02设幺=2=左，则方程可写成包/1+姐)+。=令+3)dx(6Z2x+Z72y)+c2令出九+%,二，则方程化为这是一变量分离方程.（3）%,。0及,。2不全为零的情形.%b2 这时方程（2.13）右端的分子、分母都是的一次式，因此尸+3+=0（214）a2x+b2y+c2=0代表孙平面上两条相交的直线，设交点为（。,4）.显然，或，。0，否则必有C1=Q=0，这正是情形（1）（只需进行坐标平 移，将坐标原点（0,0）移至（6就行了，若令则（2.14）化为/+印=0a2X+b2y-0从而（2.13）变为dY _ 4X+印dX a2X+/?2yY(2.16)因此，得到这种情形求解的一般步骤如下：解联立代数方程（2.14）,设其解为1=%,=刀；（2）作变换（2.15）将方程化为齐次方程（2.16）；Y（3）再经变换=巳将（2.16）化为变量分离方程；X（4）求解上述变量分离方程,最后代回原变量可得原方程（2.13）的解.上述解题的方法和步骤也适用于比方程（2.13）更一般的方程类型ay ax+b1y=qT=J-；-dx ya2x+b2y+c2 J此外，诸如dy 7、y(xy)dx+xg(xy)dy=0/半=/(盯)dx去7f7以及M(x,yxdx+ydy)+N(x,y)(xdy-ydx)=0（其中M,N为的齐次函数,次数可以不相同）等一些方程类型,均可通过适当的 变量变换化为变量分离方程.例6求解方程dy _ x-y+1dx x+y-3解解方程组一,+得x=l,y=2.%+y3=0令元二 X+1y=Y+2代入方程（2.17），则有dY X-YdX X+Y(2.17)(2.18)再令Y u=即 Y=uX则(2.18)化为XdX1+U 7-du 1 2 u两边积分，得In X2=-ln|z/2+2w-1|+c因此X2(i?+21)=土/记士/=%并代回原变量，就得Y2+2XY-X2=c.(-2)2+2(%-1)(-2)-(%-1)2此外，易验证+2M 1=0即Y2 2XY-X2=0也就是(2.18)的解.因此方程(2.17)的通解为y2+2xy-x2-6y-2x=c其中。为任意的常数.3、应用举例例7电容器的充电和放电如图(2.1)所示的H-C电路，开始时电容C上没有 电荷，电容两端的电压为零才巴开关K合上1后，电池石就对电容。充电，电容C 两端的电压气逐渐升高，经过相当时间后，电容充电完毕，再把开关K合上2，这时电容就开始放电过程，现在要求找出充、放电过程中，电容C两端的电压先随时 间用勺变化规律.解 对于充电过程，由闭合回路的基尔霍夫第二定理,uc+RI-E(2.19)对于电容。充电时,电容上的电量。逐渐增多,根据。=C%，得到t dQ d,_、I=(Cwc)=C-dt dt dt(2.20)将（2.20）代入（2.19），得到/满足的微分方程RC 皿+%=E（2.21）dt c这里氏、。、E都是常数.方程（2.21）属于变量分离方程.将（2.21）分离变量，得 到duc dtUq E RC两边积分，得到lnuc-E=-t+c1即1 1uc-E-eCie RC-c2e RC这里为任意常数.将初始条件：。时，%=。代入，得到心二-.1所以 4=（1-/正）（2.22）这就是R-C电路充电过程中电容。两端的电压的变化规律.由（2.22）知道,电压 先从零开始逐渐增大，且当rf+8时，4 一 ,在电工学中,通常称r=H。为时 间常数,当3时,uc=0.95E,就是说，经过3的时间后,电容C上的电压已达 到外加电压的95%.实用上，通常认为这时电容。的充电过程已基本结束.易见充电结 果“=E.对于放电过程的讨论，可以类似地进行.例8探照灯反射镜面的形状在制造探照灯的反射镜面时，总是要求将点光源射出的光线平行地射出去，以保证照灯有良好的方向性，试求反射镜面的几何形状.解 取光源所在处为坐标原点，而X轴平行于光的反射方向，设所求曲面由曲线y=/(%)z=0(2.23)绕由旋转而成，则求反射镜面的问题归结为求孙平面上的曲线y=/的问题，仅考 虑y 0的部分过曲线y=/（x）上任一点（九丁）作切线NT,则由光的反射定律：入 射角等于反射角，容易推知%二%从而注意到OM=ONdy dx=tga?MPKP及丽二%,MP=y,OM=J?+/就得到函数y=所应满足的微分方程式dy=ydx x+J2+y2(2.24)这是齐次方程.由2.12知引入新变量内可将它化为变量分离方程.再经直接积分即 可求得方程的解.对于方齐次方程（2.24）也可以通过变换v=-而化为变量分离方程也可由x=9 y得手=v+代入（224）得至Idy dydv&2v+y=v+sgn y a/1+v dy于是dy ydvsgnrVw(2.25)积分(2.25)并代回原来变量，经化简整理，最后得y2=c(c+2x)(2.26)其中。为任意常数.(2.26)就是所求的平面曲线，它是抛物线，因此，反射镜面的形状为旋转抛物 面y2+z2=c(c+2x)(2.27)小结:本节我们主要讨论了一阶可分离微分方程和齐次微分方程的求解问题.将各 种类型的求解步骤记清楚的同时要注意对解的讨论.2线性方程与常数变易法1、一阶线性微分方程a(x)+b(x)y+c(x)=0 dx在q(x)w 0的区间上可以写成手=尸(小+如)(2.28)ax对于Q(X)有零点的情形分别在q(x)w 0的相应区间上讨论.这里假设尸(x),QM在考虑 的区间上是x的连续函数.若。(X)三0,(2.28)变为?=P(x)y dx称为一阶齐线性方程.若Q(x)w 0,(2.28)称为一阶非齐线性方程.2、常数变易法(2.3)是变量分离方程，已在例3中求得它的通解为y=ceJ 这里。是任意的常数.(2.3)下面讨论一阶非齐线性方程(2.28)的求解方法.方程3)与方程(2.28)两者既有联系又有区别,设想它们的解也有一定的联系,在4)中c恒为常数时，它不可能是(2.28)的解，要使(2.28)具有形如(2.4)的解，。不再 是常数，将是x的待定函数c(x),为此令y=(2.29)两边微分，得到包=小/3尸)(2.30)dx dx将(229)、(2.30)代入(2.28),得到dc(X)PMdx/、Pdx、Pdx-eJ+c(x)尸(九)=P(jc)c(x)ej+Q(x)dx积分后得到c(x)=J。e0%x+c(2.31)这里Z是任意的常数.将(2.31)代入(2.29)，得到I)(2.32)p(x)dx pxdx f-pxdx=ceJ+eJ J。(%)e J dx这就是方程(2.28)的通解.这种将常数变易为待定函数的方法，通常称为常数变易法.实际上常数变易法也是一种变量变换的方法.通过变换(2.29)可将方程(2.28)化为变量分离方程.注:非齐线性方程的通解是它对应的齐线性方程的通解与它的某个特解之和.例1求方程(X+1)半-0=6严的通解，这里的为常数.dx解将方程改写为先求对应的齐次方程手-4 5+D(2.33)dx x+1微分之，得到虫-3y=0dx x+1的通解，得y=c(x+l)令y=c(x)(x+l)(2.34)将其代入公式（2.34）,即得原方程的通解以(2.34)、=(尤+1)+h(x+1)c(x)(2.35)dx dx(2.35)代入(2.33),再积分，得c(x)=e+c这里。是任意的常数.y=(x+l)(+c)例2求方程?=一二的通解.dx 2x-y解原方程改写为dx 2.T=xy(2.36)dy y_ dx把X看作未知函数，y看作自变量，这样，对于X及早来说，方程（2.36）就是一个 dy线性方程了.先求齐线性方程dx 2二X dy y的通解为元二2(2.37)令%=c(y)y2,于是dx dyy2+2c(y)y ay代入(2.36),得到c(y)=-ln|y|+c从而，原方程的通解为x=y2（c-ln|y|）这里Z是任意的常数另外y=0也是方程的解.特别的，初值问题手口尸(x)y+Q)0和y 0和y)y+Q(x),N=l,而dM 8Ndy 8xN=P(x)则线性方程只有与x有关的积分因子-(%)公N=e)方程(2.55)两边乘以=黑网，得n/-卜()公-卜(%)dxxPx)e,ydx-e J ay+Q(x)e J dx=O(2.56)(2.56)为恰当方程，又分项分组法d(ye 网)-Q(x)e P(x)dxdx=0因此方程的通解为即y=e 网jg(x)e J飞+d与前面所求得的结果一样.注：积分因子一般不容易求得可以先从求特殊形状的积分因子开始，或者通过观察 法进行分项分组法求得积分因子.4 一阶隐方程与参数表示1、一阶隐方程一阶隐式微分方程的一般形式可表示为：F(x,y,yr)=0如果能解出y=f(x,y),则可化为显式形式，根据前面的知识求解.例如方程(行 一(%+盯=0,可化为 y，=或 y=y但难以从方程中解出y，或即使解出乂而其形式比较复杂，则宜采用引进参数的方法 求解.一般隐式方程分为以下四种类型：1)=/()2)X=f(y,yr)3)F(x,yr)=0 4)尸(y,y)=。2、求解方法I)可以解出y(或)x的方程1)讨论形如=/)(2.57)的方程的解法，假设函数有连续的偏导数，弓I进参数y=2,则方程(2.57)变为y=f(x,p)(2.58)将(2.58)的两边对x求导数彳导到df df dp p=+-(2.59)dx dy dx方程(2.59)是关于x,p的一阶微分方程,而且属于显式形式.若求得(2.59)的通解形式为p=双羽c)，将其代入(2.58),于是得到(2.57)通解为=/(九,。(羽 c)若求得(2.59)的通解形式为x=(p,c),于是得到(2.57)的参数形式的通解为%=(p,c)其中P为参数，。是任意常数.若求得(2.59)的通解形式为(羽？,c)=0,于是得至1(2.57)的参数形式的通解为 O,p,c)=。y=f(x,p)其中？为参数，。是任意常数.例1 求方程(坐P+2x字y=。的解dx dx解令?=p，于是有y=p3+2xp(2.60)dx两边对元求导数彳导到p=3p2 加+2X业+2P dx dxBP 3 p2dp+2xdp+pdx=0当？w 0时，上式有积分因子=p，从而3 p3 dp+2xpdp+p2 dx=0由此可知3P4 2-+xp=C得到c 3 2将其代入(2.60),即得3.2(c-1/2)y=p+-p故参数形式的通解为c 3X=-PP 42c 1y=不 pP 22。0)3当P=0时，由(2.60)可知y=。也是方程的解.例2求方程y=(半)2x乎+工的解.ax dx 2解令手=p 彳导至Uy=p2xp+=(2.61)dx 2两边对x求导数彳导到p=2p-x-p+x 或(2/7-x)(-1)=0 dx dx dx由半一1=。,解得p=x+j于是得到方程的通解为y=-cx+c1dx 2(2.62)r y2由2-x=0解得p=；，于是得到方程的一个解为y=一 2 4(2.63)特解(2.63)与通解(2.62)中的每一条积分曲线均相切，因此称为方程的奇解.2)讨论形如x=(2.64)ax的方程的求解方法，方程(2.64)与方程(2.57)的求解方法完全类似，假定函数/(y,yr)有 连续偏导数.引进参数半=p，则(2.64)变为 axx=f(y,p)(2.65)将(2.65)的两边对y求导数彳导到1 df df dp-(2.66)p dy dx dy方程(2.66)是关于y,p的一阶微分方程,而且属于显式形式.设其通解为(y,p,c)=。则(2.64)的通解为(y,p,c)=。%=/(y,p)H)不显含y(或)x的方程3)讨论形如Fyf)=O 67)的方程的解法.记P=、，=孚，此时方(羽P)=0表示的是印平面上的一条曲线，设曲线用参数形式 dx表示为x=(p3，P-(2.68)由于dy=pdx，进而dy=y/(p(t)dt两边积分彳导到y=Jd力+c于是得到方程(2.67)参数形式的解为x=(p(t)y 二 J(。力+c。是任意常数.例3求解方程丁+j/33盯=0解令y，=?=比，则由方程得3t 3产X=T j P=T1+r3 1+/于是(1+g3积分得到9产(1 2/)3 1+4-y 二a a 出+C=-rr+Cj(1+r3)3 2(l+/)2故原方程参数形式的通解为：3tX-T1+r3 1+4-y=-+c2(l+/)24)讨论形如尸山)二0(2.69)的方程，其解法与方程(2.67)的求解方法类似.记=J=半，此时/(y,p)=。表示的是yp平面上的一条曲线，设曲线用参数形 dx式表示为y=。,p=由关系式dy=pdx可知(pt)dt=i/(tdx，于是p 时，有dx=dt,x=dt+c故方程(2.69)的参数形式的通解X-t+cy=0(。是任意常数.此外，不难验证，若尸(0)=0有实根y=ky=k也是方程的解.例4求解方程/(i-y)=(2-y)2.解令2-y=，则有y2(l-y)=y2产由此可以得，1 2 1y=1产，y=-+t t代入d九二,得到Pdx=-(+Y)dt=dt1 /产 产积分得到ct故原方程参数形式的通解为f 1X-+C t 1 yI t其中c是任意常数.此外，当y=。时原方程变为产=4,于是y=2也是方程的解.例5求解方程Wl+yJy角星令y，=P 厕有xj+p?=，取=吆/1(一,),贝jjx=飞_=_L=siin 2 2，l+p2 sec/由dy=pdx得到dy=tgt cos tdt=sin tdt所以y=-cos1+c故原方程参数形式的通解为x=sin t y=-cost+c其中。是任意常数.