常微分方程习题答案2章.pdf

常微分方程习题答案2.1虫=2xv1.公一,并求满足初始条件：x=O,y=L的特解.解：对原式进行变量分离得 dy=2 xdx,两边同时积分得：ln|y|=/+j即y=c 把X=0,j=1代入得c=1,故它的特解为 y=e。22.yd%+(%+l)dy=0,并求满足初始条件：乂=0,丫=1的特解.解：对原式进行变量分离得：-dx=,当y w 0时，两边同时积分得；In卜十=工+c,即y=-J-r x+1 y2 y c+ln|x+1|当y=0时显然也是原方程的解。当x=0,y=1时，代入式子得 c=1,故特解是1y=;r o1+In|1+x|2dy=1+y3 dx+x y解：原式可化为：2 2丝+y j显然i.工o,故分离变量得 口内=dx y x+x y i+y x+x两边积分得 yin|1+y 2|=In|x|-yin|1+2|+In|c|（c w 0）,即（1+？）（1+X）=c X故原方程的解为（1+y 2）（1+%2）=c124:(1+x)ydx+(1-y)xdy=0解：由y=0或x=0是方程的解，当xywO时，变量分离1 dx=-dy=0 1 y两边积分ln|M+x+-y=c,BPln|x)；|+x-y-c.故原方程的解为ln|xy|=xy=c;y=O;%=O.5:(y+x)dy+(y-x)dx=0dy_ _ y x 令工 丫一心 L-u+x dx y+x x dx dxdu m+1*日八4/口 u+1 1 r贝U +x-=-,变星刀曷，倚：一-du dxdx u+1”+1 x两边积分得：arctgu+-ln(1+2)=-In|x|+c o解：令-u,y-ux,包-=u+x包-,则原方程化为:x dx dxx dxX两边积分得：arcsin u=sgn x In|x|+c代回原来变量，得 arcsin =sgn x In x +c x另外，y 2=x之也是方程的解。7：tgydx-ctgxdy=0解：变量分离，得：ctgydy=tgxdx两边积分得：In|sin y|=-In|cos x+c.8:生 dxy+3 x ey解：变量分离，得1 3xp+C3&dy 二 e y9:x(ln x-In y)dy-ydx-0解：方程可变为:yIn dyxJx=0 x令u=工，则有:Xdx xIn u代回原变量得:1+In o x1。：生 dxx-y e1+In w6?In w解：变量分离两边积分 eC 丫 dy-X dxX e+cyx-y二二e ax解：变量分离，e 办=e x dx两边积分得：ey=ex+C11(X ax+yYarctgt解：令 1+y二二/，贝1+1dx dx原方程可变为：dt二 jdxt变量分离得：12-dt=dx,两边积分/+1代回变量得：arctg(x+y)=x cdy=112.dx(%+y)2解13.电=2-丁-1 dx x-2y+令X+y=b则虫=包1,原方程可变为 8=%dx dx dx t一 t2变量分禺方-dt=dx,两边积分-arc侬=x+c,代回变量r+1x+y-arctg(x+y)=x+c解：方程组2x y 1=0,x 2y+1=0;的解为x=一5 丁=g人 V 1 AZ 1 dY 2X-y,令x=X-,y=Y+,则有二-3 3 dX X-2Y2令L=U,则方程可化为：X也=2 +2uX变量分离dX1-2U-x+dy=x-y+5dx x-y-2解：令x-y=5=钉则=1-力，dx dx原方程化为：1-=，变量分离0-7)力-72%dx t-l两边积分1/一 7:-7x+c2c、,1 2代回变量 2(Xy+5)-7(x-y+5)=-7x+c.电=(x+l)2+(4y+l)2+8冲+1 dx15.解：方程化+2x+l+16y2+8y+l+8xy+l=(x+4j+l)2+2 dx 令l+x+4y=，则关五求导得+4电=女，所以，四=/+2,dx dx 4 dx 4i 2 2 8分离变量一 du=dx,两边积分得rc次(一+-x+-y)=6x+c,是4M+9 3 3 3原方程的解。dy=y6_2/6 dx 2xy5+x2 y2牧=(：3*)2：2，上 3(.)2,令y3=，则原方程化为解.dx y(2xy+x dx 2xy+x3/$du 3u2-6x2 _ x2dx 2xu+x1 2 1】这是齐次方程，令2=z,贝比=z+x%,所成*=z+，y,x%=三R,(1)x dx dx 2z+l dx dx 2z+l%2_z_6=0,得=3医=2是Q)方程的解。即=3x或y3=2x是方程的解。当6wO0寸，变量分禺2z+l dz=dx,两边积分的z63)&+2)3=1，z-z-d x即(y3-3x)y3+2x)3=x5c,又因为?=3x或y3=_2包含在通解中洋00寸。故原方才 的解为 y3_3x)7(y3+2x)3=/。dy _ 2x3+3xy+x 7 dx 312y+2y3 ydy _ x(2x2+3y2+l)dy?2，+3y2+i解：原方程化为区一声+2/-1)矛一 3/+一1令”2.du 2y+3+1w,;x=v;WU-=-(1)dv 3v+-1H不解为令z=i，i 方程组2+3),变量分离得：dU 3=1 dx dx x 2u+u x2 2两边同时积分得：a=cx即=cx2,y=0也包含在此通解中。U+2 x2y+22故原方程的解为原丫2=cx；x=0.X2y+2解(2)令xy=u,则原方程化为mJ(/+：+)J 4K dx x 2-u2 x2-u2Q _ 2 1 2 2分离变量得 du=dx,两边积分得+c,这也就是方程的解。4u x x 4习题2.2求下列方程的解dy1.dx=y+sin x解：y=e (21nxe m dx+c)=e-2 e x(sinx+cosx)+c1=C ex-2(sini+cosx)是原方程的解。dx2.+3x=e2zdx解：原方程可化为：dt=-3x+e2r1 1所以：x=e dt(J 力+。)=e-3(5 e5r+c)=c e+5 e2r是原方程的解。ds 13.dt=-gcosr+2 sin Itr 1.左力 f-cosr/Hrsin2 3dt、解：s=eJ(J2 eJ dt+c)一 一sm方(Jsin t cos te 1 dt+c)一-sin?(sin tcsinz sin?+c)一 霞-sinr+sin t 是原方程的解。4.dx n,n为常数.解：原方程可化为：dnyPx r-dxy小小,）是原方程的解.dy 1 一 2x 1；-y-I5.dx+x2=0dy 1-2x解：原方程可化为：加二-丁 尹 e用二/号，+0）=6。斗（卜皿二+。）二/（1+3）是原方程的解.6.dy dxx4+x3孙2解:dy dxx4+x3町2y2-+Xz 令XIl则y=uxdydx 二 udu+X dxdu,_t r r u+x因此：dxdu1u1dx II2u2 du=dx-u3=x+c 3u3-3x=x c2将X=K带入（*）中得：V-3/=是原方程的解.7(hIPdx x+1解:包=2L+(x+1)3dx x+1尸(x)=C，Q(x)=(x+1)3J3=e1a=(x+1)2方程的通解为：fp(x)dx-pxdxy=eJ(Ie J Q(x)dx+c)=(x+l)2(*(x+l)3dx+c)即：8史 dxdx解左 dy=(x+1)2(11+c)2y=c(x+l)2+(x+l)4为方程的通解。x+y3x+y3 1 2-=x+yy y.则 P(y)=L&y)=y2 yfP(y)dyeJ=e=y方程的通解为：(P(y)dy x=eJ=y(f-*y2y+c)Jy3即+cy是方程的通解，且尸。也是方程的解。96=砂+兄+1为常数dx x x解：p(x)=,Q(x)=+l匕 一匕 一A方程的通解为：y二e公(e肚“Q(x)dx+c)=xa(11 x+Jx+c)J x X当”=o时，方程的通解为y=x+ln/x/+c当。=1时，方程的通解为y=cx+xln/x/-l当qwO,1时，方程的通解为a X 1y=cx+-l-a a10.x+y=x3dxI?：=-y+x3dx x1 aP(%)=,Q(x)=%Xp(x)dx x 1e2=e x=x方程的通解为：p(x)dx p-y=eJ(Ie J Q(x)dx+c)=(+x J_x3 c二-1-4方程的通解为：y=xX3 C-1-4 x11 dy 3 311.十孙二元ydx解*=一芍+凸3 ax两边除以/dy y3dx dy1 dx 令尸_?3一孙+x=2(xy 2+%3)z=-2(-xz+x3)dxP(x)=2x,Q(x)=-2x3J%.Jj/方程的通解为：z=ePdxQ(x)dx+c)二 e(卜”(-2%3)dx+c)=x2+cex2+1故方程的通解为：y2(x2+cZ+1)=1,且丁=0也是方程的解。,c/i 八、7 7 c 2 In x 112.(y In x-2)ydx=xdy+2+4解。Jn、/_2ydx x x两边除以产dy Inx 2/y2dx x xdyx _ In x 2厂1dx x x令U=zdz 2 In x=z 一dx x x尸(x)=X X方程的通解为：z=e(卜-，0(x)dx+c)Z=ed e(-)dx+c)=x2()dx+c)J X J X Xc 2 In x 1=-X H-1-4 2 4方程的通解为：y(|x2+等+；)=L且尸。也是解。132xydy=(2y2-x)dx dy _ 2y2)1dx 2xy x 2y这是T时的伯努利方程。两边同除以，,y虫=区dxx 2dz _ g dyA 2 =2y 令 y=z dx dxdz _ 2y2 _ 2z 1=-1=-idx x x2P(x)=x Q(x)=-1由一阶线性方程的求解公式i-dx z=e x(c 2 2x+x2c,=x+%cdy _ ey+3x14 dx x2y dy _(e，)2+3xey dz _ y dy两边同乘以*dx x2，令/=z dx 6 dxdz=z2+3xz=3z%?/-九/这是n=2时的伯努利方程。=A+L=t两边同除以z2 dx xz、2 令zdT 1 dz dT-3T 1-3-1-|-dx z2 dx dx x x2,P(X)=x Q(x)二/由一阶线性方程的求解公式dx 广11 9 1 _1 aT=e x(j x dx+c)x-3(-x2+c)-x-1+cx-3z(-x-1+cx-3)=1 ey(-xi+cx_3)=12,2x2ey+cey=x3 x2-x3ey=c2,2dy _ 115 dx xy+x3y3dx 3 3=yx+y xdy 这是3时的伯努利方程。1 dx y 3-F y两边同除以心dy x2,令一=z:dz 小,3 dx=-2x dy dy在=_益_2丁3S/二一2yz-2y3 P(y)二2y Q(y)=2y由一阶线性方程的求解公式Z=/一22(/2y30卜2助力+。)_ e-y2(-j2y3ey2dy+c)_ _y2+i+ce x2(-y2+1+cey2)=1,x2ey2(-y2+1+cey2)=ey2,ey2(1-x2+x2y2)-ex16 y二e+卜山=ex+y(x)=y+exdx,dxp(x)=l Q(x)二,由一阶线性方程的求解公式(idx r ldx Cy e(JeZ dx+c)_ ex(exexdx+c)_ exx+c)ex+c)=ex+ex+cdx,yex(x+c)2、设函数9(t)于-8代+8上连续，。(0)存在且满足关系 式。(t+s)=。(t)。(S),试求此函数。令 t=s=O 得。(0+0)=。(0)。(0)即。(0)二夕(。)2 故 9(0)=0 或 9(0)=1(1)当 0(0)=0 时 0(。=0+0)=0(。0(0)即 0(。=0 Vr e(-oo?+8（2）当 9（。）=1 时e二hm-工-_limAf0。）一。Ar_limA/f 0。(X-1)Ntg+0)9(0)二蚣尚)二 o（。）。一女=0（0）0、一姐=9（0）力 7ov于是由2g变量分离得。积分由于（0）=1,即 t=0 时。=1,l=ce c=l,故。0）=习题2.31、验证下列方程是恰当方程，并求出方程的解。(x2+y)dx+(九一2y)dy=0加 N-=i 解：，小二1.8M _ 8N则不;菽，所以此方程是恰当方程。J_y34 _ 2=凑微分，2My+(ydx+无dy)=O，得：-2(y 一 3九之)dx (4y-x)dy=0SM _ N 1-=1解：,-dM _ dN则可二菽.所以此方程为恰当方程。凑微分,ydx+xdy-3x2dx-ydy-0,得 x3-xy+2y2=C-2+-=03.(无一)尤 y(九一y)M=2yo y)2 2.2(元一、)(一1)=2xy解：2y(光一疗(%_8N _ 2x(x-y)2-2x2(x-y)_ 2xy3x(%yL(x jdM _ dN则入二百.因此此方程是恰当方程。du _ y2 1 dx(x-y)2 xdu _ 1 x2 y(-y)2 对（i）做工的积分，则-y）-dx-+e(y)二 九一 y lnx+o(y)(3)包=一（一（一必+幽”对（3）做丁的积分，则（犬-4 dy-2xy+y1 2 d(p(y)=(九丁尸 dy1 x2二 y(%-了d(p(y)_ 1 x2 y2-2xy _ 1 x2-2xy+y2 _ 1贝|J dy y(x-y)2(x-y)2 y(1一丁丁 y0(y)=J(；-l)dy=lny y2 2 2_ y i y y+y-y y 芝yu-lnjv+lny-y=ln-=In-九一y x x-y%犬y1/+上=。故此方程的通解为无元74、解:2(3xy2+2x3)dx+3(2x2y+y2)dy-0dMSy-12y=12xy,dx.dM8Ndy dx则此方程为恰当方程。凑微分,6xy2dx+dx+6x2 ydy+3y2dy=03d(%2y2)+d(无 4)+(无 3)=0,得1 2上 25.(，sincos%+1)dx+(1 二上 2解：M=，sin-炉 cosx+1.x4+3x2y2 y3-C1 y 工 九 1 2 2%cos，sin)dy=01 y 二.1 2 2N二 cos，sin1 X X X|y y y力二一V sin 丁 一 丁3 cos)一/cos-+sin8N _J_ 2 JL/i y y y3x=-J sin cos-%2 cos 犬+%3 sin%dM GN所以，不二菽，故原方程为恰当方程 X y y 1yx 九1因为 y sin 丁 dx一九2 cos 犬 dx+dx+x cos 兀 dy-，sin,dy+，dy=O2-d(-cos 山+d(sin%)+dx+d(-)=0_ 2-所以，d(sin%-cos，+x-，)=0_ 2-故所求的解为sin%-cos v+x-，二C求下列方程的解：6.2x(y J T)dx+J dy=O8M N dM N解：二 2xe,dx=2xe?,所以=dx,故原方程为恰当方程 又2xyedx-2xdx+edy=0所以，d(ye?-x2)=0,故所求的解为yJ-xz二C7.(ex+3y2)dx+2xydy=0解：exdx+3y2dx+2xydy=0,exx2dx+3x2y2dx+2x3ydy=0所以，d ex(x2-2x+2)+d(x3y2)=0即 d ex(x2-2x+2)+x3y2=0故方程的解为e*(x2-2x+2)+x3y2=C8.2xydx+(x2+l)dy=0解：2xydx+x2dy+dy=0，d(x2y)+dy=0即d(x2y+y)=0,故方程的解为x?y+y=C9、ydx-xdy=(x2+y2解:两边同除以ydx-xdy _x2+y2 得/+/cd arctg-dx，即 I y)arg tg =x+c故方程的通解为 I110、ydx-(x+y3)dy=o（、d 一ydx-xdy _解：方程可化为：，即ydyX 1 2=y+c/9 故方程的通解为：,2 即：2x=y(yc)同时，y二0也是方程的解。、(y-1-xy)dx+xdy=0解：方程可化为：ydx+xdy=l+xy)dx,d(q)=(l+町)dx(孙)一公即：1+肛 故方程的通解为：W+M=+c2、x2)dx-xdy=0解：方程可化为:ydx-xdy 7-二 dxx)=_故方程的通解为：I-7即：=乩7)3、(4+2y)dx+xdy-0dM 8N-w 解：这里=x+2y,N=x,dy dxdM8NSydxf-Jx方程有积分因子J二Nx两边乘以4得：方程山+2“公+/力=0是恰当方程故方程的通解为:j(x2+Ixyx+j，-j(x2+2xydx dy=/3 _-X y=C 3 c23,即：4+3%,=。4、xcos(x+y)+sin(x+y)dx+xcos(x+y)dy-0解：这里M=%。dM dN/./-=coslx+y l-xsin(x+y)因为&,故方程的通解为:jxcos(x+y)+sin(x+y)dx+j xcos(x+y)-jxcos(x+y)+sin(x+y)dx dy=即：xsin(x+y)=cc15、(ycsx+xsin%)d%+(y sinx+xcosx)dy=odM dN-w 解.这里=ycosx xsinx,N=ysinx+xcosx dy dxdM dN。0=1 cd-M 方程有积分因子：=两边乘以得:方程 e，(ycosx-xsinx)dx+e，(ysin%+jvcosx)dy=0 为,恰当方程故通解为：Je，(ycos 九一九 sin(ax)dx+j N-J/(ydycosx-x sin x)dx dy=)gp.ey sinx(y-l)+y cosx=c16、M4yd九+2My)+y3(3ydx+5xdy)-0解：两边同乘以心得：(xiy2dx+2x4yy)+ix2y5dx+Sxydyj=0,rf(x4y2)+rf(x3y5)=0故方程的通解为：xV+x3y5=c习题2.4求解下列方程1、孙=l+y，-=yr=n=-X=解：令dx t,贝Iji+-V=t3+t2从而 y=jpdx+c=+J)+c=j(3r+2)dt+c=-t2+2t+c2,3?x=t+t=-=一,2yc=c x+4.c 2x 22。1-徐 1M星：令虫=p=sin。，贝lly2 _(sin 6)2=1,y=-,dx=-=-dd=fdx cos d p sin d sin d cos 8 cos c元=-+c=Lee?M。+c=%。+。所以方程的解为 J?=(%+。)2+,另外由 p=。得)=|J cos JX XY21.(1+ey)dx+ey(l-)dy=0y解：令=Z则X=yz,-=z+y立方程为(1+ez)dx=(z-l)eMy,y dy dydx(z-l)ez zez+z-z-ez z+ez dz 1+ez 7 dy=-=-=z-=z+y,-dz=-dy 1+1 1+ez 1+ez dy z+ez yX Xln|z+e=Tn|y|,y(z+eZ)=gy(土+/)=c所以方程的解为 x+yey=ccc 2%,y2-3x2 7 八22.dx H-dy 0y y解：2%yd%+(y2-3x2)dy=0dM 8N”=2x,亭=6x3一生=-3所以方程有积分因子=y-4dy ox-2xy-2xy y&2 2 1 2 12xy3dx+(厂2)dy=Q,d-r-d=。所以方程的解为 j-=。即/一/=Cy3y y y y y23.ydx-(1+x+y2)dy=0解：ydx-xdy=(1+y2)dy,两边同除以/得岫:dy=1+：dy,d 上=1+dy y y y y_ X 1所以方程的解为一=-by+c即(%+1)=y(y+。),另外y=0也是解。y y24.y-x(x2+y2)-xdy=0解：方程可化为 出|芈=限日=xdx所以方程的解为 arctg =+c.x+y y y 225.空+京-x=0dx解：令虫=p=+由dy=右得了=卜(1+e)力+c=L+,一 +0dx J 225.虫+e%-x=0dx解：令牛=P=贝h=+/由dy=pdx得y=p(l+e)力+c=g+e)，+c 所以方程的解为：x=t+e y=p(l+e)力+c=万+e)e+c326.(2孙+会+:3(尤2+/=。dM dN解:也=2x+/+旦辿=2x,g笠=1所以方程有积分因子/方程两边同乘/得 dy dx x2+y2d3-y+d-y3=0所以方程的解为=0dy _ 2x+3y+427 dx 4x+6y+5解：du C dy-_ 2+3-令=2x+3y,dx dxc c +4=2+3-2+5,则du7 it+222M+5 7 7-au=dx,7+22,一I-7,-ax 22 2dx2+53,两边积分得22 39In 2x+3y+y=14(3y-x)+c即为方程的通解。.一t,r II 2x+3y H=0 r I、,.另外，7+22=。，即 7 也是万程的解。28.x-y=2x2y(y2-x2)ax虫=，2(2-2)解：两边同除以3方程可化为：原1A =u t X-F =+2炉，)令X,贝lj dx=2x3(z13-u)=2x3dx即 dx,u-u(-+-)du=2x3dx2Q+1)2Q1)u两边积分得 T 即if常 为方程的解。29.dx xIn w y-解：令*=,贝|J X,x du i,-Inwdy _ k dxdx x21 du In w Inw-1-那么 ux dx x2 x2 x2+exy 两边积分得2即du 7二xdx u，即为方程的解。dy _ 4x3-2xy3+2x30.dx 3x2j2-6y5+3y2解：方程可化为(4-2xy3+2x)dx-(3x2y2-6y5+3y2)dy=06?(x4+x2)-(y3t/x2 x2dy3)-d(y6-y3)=0两边积分得宜+/+y6 y3 _%2y3=0 即宜+%6+o=(%2+吊(3一吊为方程的解。3 y2(xdx+ydy)+xydx-xdy)=0解：方程可化为y2xdx+y3dy+xydx-x2dy=0两边同除以产，得xdx+ydx+xydx-xdy)d(x2+y2)即2dx 八+x=0 dy令1二pcosd,y 二/sin 8,则pdp+p cos OdctgO=0 gp7 d sin 9 八*夕一击二o两边积分得1P=-F Csin。1=P 将如二y代入得,p=-+c y即 py+l)2=c2y2故(x2+/)(/+1)2=c2/32.电+=o dx 1+x ydy _-1-xy3解：方程可化为dx 1+凸两边同加上i,得d(x+y)=xy，一y2)dx l+13y(*)再由d(xy)=xdy+必，可知3=x+y=dx dx(xy)(x2y 2-1)l+x3y(*)将(*)/(*)得du uv即疝二百 整理得d(x+y)=xyO+y)d(xy)x2y2-1du uv v2-ldv两边积分得i 二9 即 c(x+y)=J、V-1另外，x+y=。也是方程的解。求一曲线，使其切线在纵轴上之截距等于切点的横坐标。解：设py)为所求曲线上的任一点，则在p点的切线/在y_ dy_轴上的截距为：,7%dy由题意得 yx=x虫-1即 dx xy 也即-ydx+xdy=-dx-ydx+xdy _ dx两边同除以一,得 一一工即 吟=-dl 中|即 y=cx+xln|x|为方程的解。