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数学思想在高考解题中的应用(一)
一、函数与方程思想
(1)函数思想就是用运动和变化的观点，分析和研究具体问题中的数量关系，并通过函数形式建立函数关系，然后利用函数有关的知识(定义域、值域、最值、单调性、奇偶性、周期性、对称性、图象、导数)使问题得以解决．函数思想贯穿于高中数学教学的始终，不仅在函数各章的学习，而且在研究方程、不等式、数列、解析几何等其他内容时也起着十分重要的作用．
(2)方程的思想是分析数学问题中变量间的等量关系，从而建立方程或方程组，通过解方程或方程组，或者运用方程的性质去分析、转化问题，使问题获得解决．在实际问题的解决过程中，函数、方程、不等式等常常互相转化．因此，函数与方程的思想是高考考查的重点知识．
二、数形结合思想
(1)数形结合就是根据数与形之间的对应关系，通过数与形的相互转化来解决数学问题的一种重要思想方法．数形结合思想通过“以形助数，以数解形”，使复杂问题简单化，抽象问题具体化，能够变抽象思维为形象思维，有助于把握数学问题的本质，它是数学规律性与灵活性的有机结合．
(2)数形结合的思想方法应用广泛，如解方程、不等式问题，求函数的值域、最值问题、三角函数问题，运用数形结合思想，不仅直观易发现解题途径，而且能避免复杂的计算与推理，大大简化了解题过程．

关问题
常考查：利用构造函数的方法解决方程根的分布、数列的最值和证明不等式的成立等问题．　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
【例1】► 证明：x3－x2＋x＋1＞sin x(x＞0，x∈R)．
[审题视点] 　可构造函数，利用函数的单调性进行证明

根据所证不等式的结构特征构造相应的函数，研究该函数的单调性是解决这一类问题的关键，本题并没有千篇一律的将不等式右边也纳入到所构造函数中，而是具体问题具体分析，使问题得解，体现了导数的工具性以及函数、方程的数学思想．
【突破训练1】 设f(x)＝ln x＋－1，证明：
(1)当x＞1时，f(x)＜(x－1)；(2)当1＜x＜3时，f(x)＜.

问题
常考查：以方程的角度来观察、分析问题，运用数学语言将问题中的条件转化为方程模型加以解决，如有关直线与圆、直线与圆锥曲线的位置关系问题．　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
【例2】► (2012·湖南)在直角坐标系xOy中，已知中心在原点，离心率为的椭圆E的一个焦点为圆C：x2＋y2－4x＋2＝0的圆心．
(1)求椭圆E的方程；(2)设P是椭圆E上一点，过P作两条斜率之积为的直线l1，l2.当直线l1，l2都与圆C相切时，求P的坐标．
[审题视点] 　(1)将圆的一般方程化为标准方程，然后根据条件列出关于a，b，c，e的方程，解方程(组)即可；(2)设出点P的坐标及直线方程，根据直线与圆相切，圆心到直线的距离等于半径，构造一元二次方程，利用根与系数的关系及P在椭圆上列出方程组，求解得P点的坐标．

答案　(1) ＋＝1. (2) (－2,3)或(－2，－3)或或.
直线与圆锥曲线的位置关系中渗透着函数与方程的思想，在解决解析几何问题时常常用到函数与方程的思想．
【突破训练2】 (2012·安徽)如图，F1，F2分别是椭圆C：＋＝1(a＞b＞0)的左、右焦点，A是椭圆C的顶点，B是直线AF2与椭圆C的另一个交点，∠F1AF2＝60°.
(1)求椭圆C的离心率；
(2)已知△AF1B的面积为40 ，求a，b的值．
答案　(1) .(2) a＝10，b＝5.

常考查：方程解的个数可构造两个函数，使求方程的解的问题转化为讨论两曲线交点的问题，但用图象法讨论方程的解，一定要注意图象的精确性、全面性．　　　　　　　　　　　　　　　　
【例3】► 方程x－sin x＝0在区间[0,2π]上的实根个数为(　　)．
A．1 B．2 C．3 D．4
[审题视点] 　转化为两函数y＝x与y＝sin x图象的交点个数．
答案　B　
用函数的图象讨论方程(特别是含参数的指数、对数、根式、三角等复杂方程)的解的个数是一种重要的思想方法，其基本思想是先把方程两边的代数式看作是两个熟悉函数的表达式(不熟悉时，需要作适当变形转化为两熟悉的函数)，然后在同一坐标系中作出两个函数的图象，图象的交点个数即为方程解的个数．
【突破训练3】设函数f(x)＝若f(－4)＝f(0)，f(－2)＝－2，则关于x的方程f(x)＝x的解的个数为(　　)．　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
A．1 B．2 C．3 D．4
答案　C　

或求最值
常考查：在解含有参数的不等式时，由于涉及到参数，往往需要讨论，导致演算过程繁琐冗长．如果题设与几何图形有联系，那么利用数形结合的方法，问题将会简练地得到解决．　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
【例4】► (2012·潍坊模拟)不等式|x＋3|－|x－1|≤a2－3a对任意实数x恒成立，则实数a的取值范围为(　　)．
A．(－∞，－1]∪[4，＋∞) B．(－∞，－2]∪[5，＋∞) C．[1,2] D．(－∞，1]∪[2，＋∞)
[审题视点] 　去掉绝对值化为分段函数，画出函数图象找到这个函数的最大值再求解．

答案　A　
本题的知识背景涉及函数、不等式、绝对值“题目中的某些部分都可以使用图形”表示，在解题时我们就是把这些可以用图形表示的部分用图形表示出来，借助于图形的直观获得了解决问题的方法，这就是以形助数，是数形结合中的一个主要方面．在解答选择题的过程中，可以先根据题意，做出草图，然后参照图形的作法、形状、位置、性质，并综合图象的特征得出结论．
【突破训练4】 (2012·山东)设函数f(x)＝，g(x)＝ax2＋bx(a，b∈R，a≠0)．若y＝f(x)的图象与y＝g(x)的图象有且仅有两个不同的公共点A(x1，y1)，B(x2，y2)，则下列判断正确的是(　　)．　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
A．当a＜0时，x1＋x2＜0，y1＋y2＞0 B．当a＜0时，x1＋x2＞0，y1＋y2＜0
C．当a＞0时，x1＋x2＜0，y1＋y2＜0 D．当a＞0时，x1＋x2＞0，y1＋y2＞0
答案　B　

解答函数试题，很多时候函数图象是隐形的，即在试题中没有出现函数图象，在答题中一般也不要画出函数图象，但在寻找解题思路时必须借助于函数图象，这就是数形结合思想的深刻体现，而很多学生常常在解题中对这种隐形的数形结合意识不到，导致解题错误．

随堂训练　(时间：45分钟　满分：75分)
一、选择题(每小题5分，共25分)
1．(2012·北京东城模拟)已知向量a＝(3,2)，b＝(－6,1)，而(λa＋b)⊥(a－λb)，则实数λ等于
A．1或2 B．2或－ C．2 D．0
2．公差不为零的等差数列{an}的前n项和为Sn，若a4是a3与a7的等比中项，S8＝32，则S10等于
A．18 B．24 C．60 D．90
3．(2012·临沂模拟)函数y＝的图象大致是

4．已知集合A＝{(x，y)|x、y为实数，且x2＋y2＝1}，B＝{(x，y)|x，y为实数，且x＋y＝1}，则A∩B的元素个数为
A．0 B．1 C．2 D．3
5．若关于x的方程x2＋2kx－1＝0的两根x1、x2满足－1≤x1＜0＜x2＜2，则k的取值范围是
A. B. C. D.
二、填空题(每小题5分，共15分)
6．(2012·合肥模拟)AB是过椭圆b2x2＋a2y2＝a2b2(a＞b＞0)的中心弦，F(c,0)为它的右焦点，则△FAB
面积的最大值是________．
7．长度都为2的向量，的夹角为，点C在以O为圆心的劣弧上，＝m＋n，
则m＋n的最大值是________．
8．(2012·厦门模拟)已知F是双曲线－＝1的左焦点，定点A(1,4)，P是双曲线右支上的动点，则|PF|＋|PA|的最小值为________．
三、解答题(本题共3小题，共35分)
9．(11分)(2012·天津)已知椭圆＋＝1(a＞b＞0)，点P在椭圆上．
(1)求椭圆的离心率；(2)设A为椭圆的左顶点，O为坐标原点．若点Q在椭圆上且满足|AQ|＝|AO|，求直线OQ的斜率的值．

10．(12分)已知函数f(x)＝x3＋ax2＋bx.
(1)若函数y＝f(x)在x＝2处有极值－6，求y＝f(x)的单调递减区间；
(2)若y＝f(x)的导数f′(x)对x∈[－1,1]都有f′(x)≤2，求的范围．

11．(12分)已知函数f(x)＝2x3＋px＋r，g(x)＝15x2＋qln x(p，q，r∈R)．
(1)当r＝－35时，f(x)和g(x)在x＝1处有共同的切线，求p，q的值；
(2)已知函数h(x)＝f(x)－g(x)在x＝1处取得极大值－13，在x＝x1和x＝x2(x1≠x2)处取得极小值，求的取值范围．

参考答案：
1．B　2．C　3．A　4．C　5．B　6．Bc 7． 8．9 9．(1) . (2)±.
10．(1) .(2) (－∞，－2)∪[1，＋∞)．11．(1) p=48，q=24 (2) .
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