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高一数学函数
一、知识结构

二、重点难点
重点：有关映射与函数的概念，要求会求函数的定义域和一些简单函数的值域；幂函数的图象和性质；单调性的概念；反函数的概念；要掌握函数的图象和性质；对数运算与指数运算的关系，对数式与指数式的互化；对数性质和运算法则；
难点：映射的概念；幂函数的应用；用定义判定函数的单调性与确定函数的单调区间；反函数的求法；利用指数函数的性质，结合有关幂函数以及函数的单调性、奇偶性和有关复合函数的知识解决函数值的比较与求值域问题；对数概念与各名称的意义的理解；注意法则应用的条件和推导。
三、知识点解析
1、函数：
（1）定义：1）传统定义：如果在某变化过程中有两个变量，并且对于在某个范围内的每一个确定的值，按照某个对应法则，都有惟一确定的值和它对应，那么就是的函数，记为；2）近代定义：函数是由一个非空数集到另一个非空数集的映射。 ；
上述两个定义实质上是一致的，只不过传统定义是从运动变化的观点出发，而近代定义是从集合、映射的观点出发，侧重点不同，函数实质上是从集合A到集合B的一个特殊的映射，其特殊性在于集合A、B都是非空数集。自变量的取值集合叫做函数的定义域，函数值的集合C叫做函数的值域。这里应该注意的是，值域C并不一定等于集合B，而只能说C是B的一个子集；
（2）三要素：函数是由定义域、值域以及从定义域到值域的对应法则三部分组成的特殊的映射。
2、函数的单调性：
（1）定义：对于给定区间上的函数，1）如果对于属于这个区间的任意两个自变量的值，当时，都有，那么就说在这个区间上是增函数；2）如果对于属于这个区间的任意两个自变量的值，当，都有，那么就说在这个区间上是减函数；
（2）证明函数单调性的方法：1）用定义；2）利用已知函数的单调性；3）利用函数的图像；4）依据符合函数单调性有关结论；5）为增函数，为减函数；
（3）函数的周期性：对于函数，如果存在一个不为零的常数，使得当取定义域内的每一个值时，都成立，那么就把函数叫做周期函数，不为零的常数叫做这个函数的周期；对于一个周期函数，如果在所有的周期中存在着一个最小的正数，就把这个最小的正数叫做最小正周期：1）式子对定义域中的每一个值都成立，即对定义域中的任何，式子都成立，而不能是“一个”或“某些”；2）一个函数是周期函数，它并不一定就有最小正周期，如：（是常数)，显然，对任何一个正数T，都有；这就是说，任何一个正数都是的周期，由于正数中不存在最小的数，所以周期函数不存在最小正周期。③设是的周期，那么且)也一定是的周期。
3、反函数
（1）反函数的意义：一般地，式子表示是自变量的函数，设它的定义域为A，值域为B、我们从式子中解出，得到式子。如果对于在中的任何一个值，通过式子，在A中都有唯一确定的值和它对应，那么式子就表示是自变量的函数，这样的函数，叫做函数的反函数，记作，即，在函数式中，表示自变量，表示函数。习惯上，一般用表示自变量，用表示函数.为此对调函数式中的字母，把它改写成。1）与具有四性：A、互换性；B、对称性；C、奇偶性；D、单调性；2）和互为反函数，即或；3）求反函数的步骤：A、解出 ；B、交换，得；C、解出反函数的定义域(即原函数值域)；4）互为反函数的两个函数图像关于直线对称；
（2）反函数存在的条件：并不是所有函数都存在反函数.根据反函数的定义，只有原象具有唯一性的函数，即对任意的，能推断出成立的函数才具有反函数；
（3）反函数与原函数的关系：1）原函数的定义域是反函数的值域，原函数的值域是反函数的定义域；2）与互为反函数，设的定义域为A，值域为C，则有，；
（4）反函数的求法：可以根据反函数的定义求出已知函数的反函数，其步骤为：1）由解出；2）交换，得；3）根据的值域，写出的定义域。
4、幂函数、指数函数、对数函数
（1）幂、指数、对数式
1）同底数幂的运算性质：
①，②，③；
2）根式的运算性质：
①，②当是偶数时，当是奇数时；
3)分数指数幂与根式的关系规定：
①正分数指数幂，
②正分数指数幂；
4)对数及对数的运算性质：
①定义：如果且)，则数叫做以为底N的对数，记作，
②对数恒等式：(a＞0且a≠1，N＞0)，
③对数的性质：（ⅰ）负数和零没有对数，（ⅱ），（ⅲ）；
④对数的运算法则：（ⅰ），（ⅱ），（ⅲ），（ⅳ）；
⑤换底公式：（ⅰ），（ⅱ），（ⅲ）；
（2）幂函数
1）定义：形如(是常数)的函数叫幂函数；
2)幂函数的图像见图：

3）幂函数的性质：
①都过点(1，1)；
②除原点外，任何幂函数图像与坐标轴都不相交，任何幂函数都不过第四象限；
③时，幂函数图像过(0，0)且在(0，+∞)上是增函数；时，幂函数图像不过(0，0)且在(0，+∞)上是减函数；
④任何两个幂函数图像最多有三个公共点，除(1，1)，(0，0)，(-1，1)外，其它任何一点都不是两个幂函数的公共点；
（3）指数函数
1）定义：形如(且)的函数叫指数函数；
2）指数函数的图像见图：

3）指数函数的性质
①都过(0，1)点；
②定义域为，值域为；
③时，在(-∞，+∞)上是增函数；时，在(-∞，+∞)上是减函数；
④时，；时，。
（4）对数函数
1）定义：形如(且)的函数叫对数函数；
2）对数函数图像见图。对数函数图像和指数函数图像关于直线对称(互为反函数)；

3）对数函数的性质：
①都过(1，0)点；
②定义域为，值域为；
③时，在(0，+∞)上是增函数；时，在(0，+∞)上是减函数；
④时，；时，。
四、例题
1、函数
例1  审查下面四个命题：（ⅰ）是函数；（ⅱ）函数是其定义域到值域的映射；（ⅲ）和表示同一函数；（ⅳ）和表示同一函数；其中正确的有  [    ]
A、1个            B、2个 C、3个             D、4个
解  B
注  高中数学中的函数是通过映射来定义的。
例2 函数的图像是[    ]

解 D 函数可化为。
例3  设ak＞0，bc＜0，在同一坐标系中y=ax2+c与y=kx+b的图象应是 [    ]

解  B  由同号排除D；由b，c异号排除A，C。
例4 已知函数满足，则c的               [    ]
A、3          B、-3 C、3或-3         D、不存在
解  B 。对任何成立，所以，即。而，故所求。
例5 函数的定义域是 [ ]
A、 B、 C、 D、无法确定
解  B  解不等式组得，此即所求定义域。
例6 已知函数，则的值               [    ]
A、2        B、-15 C、12          D、以上都不对
解  A  因为，所以，所以。
注  求分段函数的函数值时，首先应清楚自变量的值在定义域的哪一段上。
例7 如果函数的定义域是，那么函数的定义域是______。
解 0解不等式，得，所以所求函数定义域为。
例8 已知，则等于 。
解 15 令，解得。代入得。
例9 若，则满足等式的的值是______。
解 -2 因为，所以。由题设的。
例10 设。若的值域也为A，则b的值为______。
解  3  函数的对称轴为，而，故可令，即，解得，舍去。
例11  已知是的函数，，求函数的解析式及其定义域。
解  。因为，所以，即。所以所求函数为；其定义域为。
例12 设的值域为，求的值。
解 设，则。
因为，所以，即。易知是不等式，即的解。比较系数，得。
例13  求下列函数的值域：
（1） （2） （3） （4）
解 （1）因为，所以值域为。
（2）因为，所以值域为。
注 此题容易误解为。
（3）因为，所以，所以值域为。
（4）令，则，从而。因为，所以。于是，故值域为。
例14  已知是的二次函数，且，求。
解  设，则有，。所以 。又，比较系数，得，所以所求函数为。
例15  已知，且，求。
解  令，代入，得。又，所以。
2、函数单调性
例1  下列函数中，属于增函数的是 [    ]
A、 B、 C、 D、
解  D
例2  若一次函数在上是单调递减函数，则点在直角坐标平面的  [    ]
A、上半平面         B、下半平面 C、左半平面         D、右半平面
解  C  因为。
例3  函数在区间上是减函数，则实数a的取值范围是   [    ]
A、         B、 C、        D、
解  B  因抛物线开口向上，对称轴方程为，所以，即。
例4  已知，如果，那么 [    ]
A、在区间(-1，0)内是减函数 B、在区间(0，1)内是减函数
C、在区间(-2，0)内是增函数 D、在区间(0，2)内是增函数
解  A  。画出草图可知在(-1，0)上是减函数。
例5 若在上都是减函数，则在(0，+∞)上是______函数(选填“增”或“减”)。
解 减函数
由条件知，所以。
例6 函数的单调递增区间是 。
解  [-2，1]
已知函数的定义域是。设，可知当时，随增大时，也增大但值减小；当时，随增大时，减小，但值增大，此时是的单调增函数，即时，是增函数。
注  在求函数单调区间时，应先求函数的定义域。
例7  在定义域上是单调递增函数，且，那么在同一定义域上，是单调 函数；是单调 函数；y=[f(x)]2是单调______函数。
解  递减；递减；递增。
例8  已知，证明是定义域上的减函数，且满足等式的实数值至多只有一个。
解  设，且，则，所以。所以是上的减函数。
假设使成立的的值有两个，设为，且，则。但因为上的减数，故有。矛盾。所以使成立的的值至多有一个。
例9  定义域为的函数，对任意，都有，其中为常数。又知时，该函数为减函数，判断当时，函数的单调状况，证明自己的结论。
解  当时，函数是增函数。设，则。
因为函数在上是减函数，所以，注意到对任意，都有，可见对于实数，也有，即。
同理。所以，所以函数在上是增函数。
例10 是定义在上的递增函数，且。
（1）求证；(2)若，且，求的取值范围。
解（1）因为，所以。
(2)因为，，
于是。由题设有，解得。
3、反函数
例1  求下列函数的反函数
（1） （2） （3）
解 （1）由得，。原函数的反函数为。
（2）由，得。∵，∴。
又∵ ∴，即，
所求函数的反函数为。
（3）由，得。∴，∴。 ，故。又当时，，故。∴，所求函数的反函数为。
评注  对于用解析法表示的函数，求其反函数，实际上只要做三件事：①把给出的函数解析式中的自变量当作未知数，因变量当作系数的方程而解之；②求给出函数的值域，③把①②中的互换。
例2 如果点既在函数的图像上，又在函数的反函数的图象上，那么____ ____。
分析  确定，只要列出关于的两个方程，而由可得一方程，但直接用则需先求出反函数，应注意。
解 依题意可有：且，即，解得。
例3 给定实数，设函数，求证：这个函数的图象关于成轴对称图形。
分析  本题证明可有两种思路：①证明任何一点在这个函数图象上，则点关于直线的对称点也在这个函数的图象上。②证明此函数与反函数是同一个函数，下面只写出一种。
证明：先求所给出函数的反函数：由得：      ①
若，由，故得，此时又由①可有，于是得，即，这与已知矛盾，故。。即函数的反函数是。由于函数与的图像关于直线对称，故函数的图像关于直线成轴对称图像。
4、幂函数、指数函数、对数函数
（Ⅰ）幂函数
例1 函数的大致图像是 [    ]

分析  当函数中，当n＜1时，在第一象限的图象特征是上升上凸的，因而可排除A、C，而当取x的两个互为相反数自变量时，经计算结果y值也互为相反数，从而可排除B，故应选D。
例2 若上述函数中是幂函数的个数为[    ]
A、1个  B、2个 C、3个      D、4个
分析  幂函数是形如的函数，其结构特征是：函数右边为单项式，幂指数为常数，底数为自变量，前面的系数为1。从这四个特点，我们可以判数：中，前的系数为4，故不为幂函数，为二项式，底数为，而中自变量x在指数位置，故只有，为幂函数，应选B。
例3  下列函数中，以作为定义域的函数是                   [    ]
A、 B、 C、 D、
解 ，定义域为：；，定义域为：；，定义域为：；，定义域为：。
故应选D。
评注  幂函数定义域求法分两步，首先化为根式或分式形式，然后考虑分式中分母不为零，开偶次根时被开方数不能为负两个方面求出函数的定义域。
例4 设，且，则整数的值应为   [    ]
A、        B、 C、      D、不能确定
解 考察，当时，即在第一象限内，值随值增大而减小，而，即，而，。∴，故，选C。
例5 试比较的大小。
解 。
评注  多个数的大小比较问题是要观察数与数之间异同点，将它们进行分类(与1和0比)粗比，然后在每一类中利用有关结论进行细比，最后得出大小关系。
（Ⅱ）指数函数
例1 函数的图像是                                            [    ]

解  A
例2  ，则的定义域是                    [    ]
A、    B、 C、         D、
解  B  因为，即的值域为，故的定义域为。
例3  下列函数中，值域是(0，+∞)的一个函数是                 [    ]
A、 B、 C、 D、
解  B。
例4  函数在上是减函数，则的取值范围是       [    ]
A、 B、 C、 D、
解 D。 由题设，有，所以。
例5  已知，审查下列不等式。
（ⅰ） （ⅱ） （ⅲ） （ⅳ） （ⅴ）
其中恒成立的                             [    ]
A、1个            B、2个          C、3个             D、4个
解  C。
例5 使函数递减的的取值范围是______。
解
因为的递增区间，而为增函数，故所求范围是。
例7  根据不等式确定正数a的取值范围：
（1），则∈______；（2），∈______；（3） 。
解  (1)   (2)   (3) 。
例8 已知
(1)指出函数的奇偶数，并予以证明；
(2)求证：对任何(且)，都有。
解 （1）的定义域为，关于原点对称。
又，
所以是偶函数。
（2）)当时，，所以。当时，由为偶函数，有，所以对一切，，恒有。
注  利用函数的奇偶性常可使解法简化。如本例(2)，当时，证明较繁。若注意到为偶函数，则只须证明，当时，而这是显然的。
例11 比较与的大小。
解 ，。
因为，所以。
由指数函数单调性，知当时， ；当时，。
（Ⅲ）对数函数
例1 函数的定义域是   [    ]
A、 B、 C、 D、
解  A。 解不等式，得或。
例2 函数的值域是          [    ]
A、        B、 C、       D、
解  B。 。
例3  若在内，则      [    ]
A、在单调递增 B、在内单调递减
C、在内单调递减 D、在内单调递增
解  D。  依题设，的图象关于直线对称，且，画出图象(略)即知D正确。
例4  函数，则的定义域为 。
解 。 由题设知，所以。
例5 函数的奇偶性是 。
解 奇函数。，为奇函数；
例6 已知
(1)判断的奇偶性；
(2)已知存在反函数，若，求的取值范围。
解 （1）因为，所以。由，得的定义域为。
另一方面，有，所以是奇函数。
（2）设，则，解得。所以。由得，而，故，所以。故当时，；当时，。
例7  已知常数满足，若，
(1)求的定义域；
(2)证明在其定义域内是增函数；
(3)若恰在上恒取正值，且，求的值。
解 （1）由，得。
因为，所以，所以是增函数。而由得，即函数的定义域是。
（2）任取，且。因为，所以是增函数，所以，于是，
即，故在内是增函数。
（3）因为在内为增函数，所以对于内每一个值，都有。要使恰在上恒取正值，即，只须，于是，得。
又，所以，所以，即，而，所以。由，解得。经检验知，为所求。
例8  设对所有实数，不等式恒成立，求的取值范围。
解  根据题意，可知原不等式(关于的二次不等式)应满足下列条件：

由（ⅲ）得，所以。又由（ⅱ），得，所以。由及解得。
例9 设函数，求使在内单调递减，而在内单调递增的所有实数组成的集合。
解 令。由题意知，在上，必须有，，且的图象的对称轴与x轴的交点的横坐标必须属于。于是确定于不等式组

所以 。
例14  在函数的图象上有A，B，C三点，它们的横坐标分别是。
(1)若面积为，求；(2)判断的增减性；(3)求的最大值。
解  (1)由A，B，C三点分别向轴作垂线，设垂足依次为，则
（2）当时，递增。又由，故为减函数。
（3）因为，所以，即，即，所以，所以所求最大值为。

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