《1.3.2-利用导数研究函数的极值》教学案3.doc

《1.3.2 利用导数研究函数的极值》教学案3
教学目的：
1.理解极大值、极小值的概念.
2.能够运用判别极大值、极小值的方法来求函数的极值.
3.掌握求可导函数的极值的步骤
教学重点：极大、极小值的概念和判别方法，以及求可导函数的极值的步骤.
教学难点：对极大、极小值概念的理解及求可导函数的极值的步骤
授课类型：新授课
教学过程：
一、复习引入：
1. 函数的导数与函数的单调性的关系：

2.用导数求函数单调区间的步骤：

二、讲解新课：
1.极大值： 一般地，设函数f(x)在点x0附近有定义，如果对x0附近的所有的点都有f(x)＜f(x0)，就说f(x0)是函数f(x)的一个极大值，记作y极大值=f(x0)，x0是极大值点
2.极小值：一般地，设函数f(x)在x0附近有定义，如果对x0附近的所有的点，都有f(x)＞f(x0).就说f(x0)是函数f(x)的一个极小值，记作y极小值=f(x0)，x0是极小值点
3.极大值与极小值统称为极值
在定义中，取得极值的点称为极值点，极值点是自变量的值，极值指的是函数值
函数的单调性与极值的关系
x

(符号)

(符号)

(单调性)

(单调性)
x

(符号)

(符号)

(单调性)

(单调性)

请注意以下几点：
(ⅰ)极值是一个局部概念由定义，极值只是某个点的函数值与它附近点的函数值比较是最大或最小并不意味着它在函数的整个的定义域内最大或最小
(ⅱ)函数的极值不是唯一的即一个函数在某区间上或定义域内极大值或极小值可以不止一个
(ⅲ)极大值与极小值之间无确定的大小关系即一个函数的极大值未必大于极小值，如下图所示，是极大值点，是极小值点，而>
(ⅳ)函数的极值点一定出现在区间的内部，区间的端点不能成为极值点而使函数取得最大值、最小值的点可能在区间的内部，也可能在区间的端点

4. 求可导函数f(x)的极值的步骤:
(1)确定函数的定义区间，求导数； (2)求方程=0的根
(3)用函数的导数为0的点，顺次将函数的定义区间分成若干小开区间，并列成表格.检查在方程根左右的值的符号，如果左正右负，那么f(x)在这个根处取得极大值；如果左负右正，那么f(x)在这个根处取得极小值；如果左右不改变符号，那么f(x)在这个根处无极值
三、例题：
例1求y=x3－4x+的极值并画出草图

变式：
(1)在x = 2处有极大值，则常数c 的值为________
(2)方程有3解，则的取值范围是______________________.
例2．已知函数，当时，有极大值3；
(1)求的值 (2)求函数的极小值

例3. 设函数+1既有极大值，又有极小值，求a的取值范围。

例4．已知函数，其中．
(Ⅰ)当时，求曲线在点处的切线方程；
(Ⅱ)当时，求函数的单调区间与极值．

四、课堂练习：(第31页练习1)
1．求下列函数的极值及单调区间
(1) (2)

五、课后作业：
1．f/(x)是f(x)的导函数，f/(x)的图象如右图所示，则f(x)的图象只可能是

(A) (B) (C) (D)
2．求下列函数的极值：(第34页习题3)
(1) (2)
(3) (4)
3．已知函数的极大值为6，极小值为2，求的递减区间

4.求下列函数的单调区间及极值；
(1) ； (2)

5.已知函数在x=1处有极小值为—1，求f(x)的表达式及f(x)的单调区间

6.已知函数在x=1处有极值，且f(1)= -1
试求a，b，c的值(2)断x=1时函数有极小值还是极大值，并说明理由。

7.已知函数在x=1和 x=处都有极值，试求a，b的值及f(x)的单调区间，(2)若对，不等式<恒成立，求实数c的取值范围