圆内接四边形的性质与判定定理导学案.doc

1.2 圆内接四边形的性质与判定定理
【高效学习指导案】
分层学习目标
A级了解圆内接多边形和多边形外接圆的概念，了解穷举法的概念.
‚掌握圆内接四边形的概念及其性质定理.
B级掌握圆内接四边形判定定理及其推论，会用定理判定四点共圆.
‚会推导圆内接四边形的性质和判定定理.
C级熟练运用圆内接四边形的性质与判定定理进行计算和证明．
‚通过定理的应用，培养逻辑推理能力．
自我确定目标：____________（级别）理由___________学习方式________

重点学习内容
1、圆内接四边形的性质与判定定理及其推论.
2、知识回顾：圆周角与圆心角及其关系、多边形内角和定理.

难点问题预设
用穷举法证明圆内接四边形的判定定理.难在何处？_____________

预习思考选题
1.什么是圆内接三角形？什么是圆内接四边形？
2.圆内接四边形又怎样的性质？怎么证明？
3.圆内接四边形性质定理的逆命题是什么？是否成立？
4.是否所有的四边形都有外接圆？
5.圆内接四边形的判定定理是什么？有怎样的推论？用穷举法如何证明定理？
6.如何判定四点共圆？

重难点合作探究
1. 如图1,⊙O的内接四边形BCED,延长ED,CB交于点A,若BD⊥AE,AB=4,BC=2,AD=3,
则DE=_______;CE=__________.
2. 如图2，AD、BE是△ABC的两条高,求证:∠CED=∠ABC.（∆ABC∽∆DEC）

3. 如图3,D,E分别为△ABC的边AB,AC上的点,且不与△ABC的顶点重合.已知AE的长为m,AC的长为n,AD,AB的长是关于方程x2-14x+mn=0的两个根.
(1)证明:C,B,D,E四点共圆;（割线定理）
(2)若∠A=90°,且m=4,n=6,求C,B,D,E所在圆的半径.

4. 如图4,A,B,C,D四点在同一圆上,AD的延长线与BC的延长线交于E点,且EC=ED.
(1)证明:CD∥AB;
(2)延长CD到F,延长DC到G,使得EF=EG,证明A,B,G,F四点共圆.

5. 如图5,已知△ABC的两条角平分线AD和CE相交于H,∠B=60°,F在AC上,且AE=AF.
(1)证明:B,D,H,E四点共圆;
(2)证明:CE平分∠DEF.

预习探究自我评价
1. 如图，四边形ABCD内接于⊙O，若∠BOD＝140°，则∠BCD ＝ ( )
A．140° B．110° C．70° D．20°

2. 如图，四边形内接于，它的对角线把四个内角分成八个角，其中相等的角有（ ）
A．2对 B．4对 C．6对 D．8对

T1
Ａ
Ｄ
Ｃ
Ｏ
Ｂ

T2

3. 如图,已知PA、PB是圆O的切线,A、B分别是切点,C为圆O上不与A、B重合的另一点,若∠ACB=120°,则∠APB=_________.

4. 如图,已知AP是⊙O的切线,P为切点,AC是⊙O的割线,与⊙O交于B,C两点,圆心O在∠PAC的内部,点M是BC的中点.∠OAM+∠APM=________.

T3

T4

5.如图,在Rt△ABC中,∠BCA=90°,以BC为直径的⊙O交AB于E点,D为AC的中点,连结BD交⊙O于F点.求证:= .

T6

6. 如图,已知△ABC中,AB=AC,D是△ABC外接圆劣弧上的点(不与A,C重合),延长BD到E.
(1)求证:AD的延长线平分∠CDE;
(2)若∠BAC=30°,△ABC中 ,BC边上的高
为2+,求△ABC外接圆的面积.

自我小结

质疑问难

拓展训练一

1. 下列关于圆内接四边形叙述正确的有（ ）
①圆内接四边形的任何一个外角都等于它的内对角；②圆内接四边形对角相等；③圆内接四边形中不相邻的两个内角互补；④在圆内部的四边形叫圆内接四边形.
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
2.如图，圆内接四边形ABCD中，，AC与BD交于点E，在下图中全等三角形的对数为（ ）
A.2对 B.3对 C.4对 D.5对
3.圆内接四边形ABCD中，,则圆的直径为（ ）
A.62 B.63 C.65 D.66

T2

T4
4.如图，四边形ABCD为圆内接四边形，AC为BD的垂直平分线，，则（ ）
A. B. C. D.
5.圆内接四边形ABCD中， .
6.三角形三边长为5,12,13,则它的外接圆圆心到顶点的距离为 .
7.圆内接四边形ABCD中，，则 .
8.如图，AB为半圆O的直径，C、D为半圆上的两点，，则 .

T8

T9
9.如图，锐角三角形ABC中，，BC为圆O的直径，⊙O交AB、AC于D、E，求证：.

10.求证：在圆内接四边形ABCD中，.

11.探究题
如图，矩形ABCD中，AD=8,DC=6,在对角线AC上取一点O,以OC为半径的圆切AD于点E,交BC于点F,交CD于点G.
(1)求⊙O的半径；
(2)设，请写出之间关系式，并证明.

达标自查一

1.如图，圆内接四边形ABCD中，BA与CD的延长线交于点P,AC与BD交于点E,则图中相似三角形有（ ）
A.5对 B.4对 C.3对 D.2对

T1

T3

T4
2. 若圆内接四边形ABCD中，∠A，∠B，∠C的度数的比是2∶3∶6，则该四边形内角中最大度数是（ ）
A.1200 B.1350 C.900 D.450
3.如图，已知圆内接四边形ABCD的边长为，则四边形ABCD面积为（ ）

A. B.8 C. D.

4.如图，在以BC为直径的半圆上任取一点P,过弧BP的中点A作于D.连接BP交AD于点E,交AC于点F,则（ ）
A.1:1 B.1:2 C.2:1 D.以上结论都不对
5.直线与与两坐标轴围成的四边形内接于一个圆，则实数（ ）
A.-3 B.3 C.-6 D.6
6．如图，四边形ABCD对角线AC与BD交于点O，△AOD∽△BOC，AD与BC不平行，∠ABD=45°，则∠ACD=____．

T6
T7

7．如图，在△ABC中，∠AEF=45°，BE⊥AC于E，CF⊥AB于F，∠EFC=20°，则∠ABE=____．

8．如图，在△ABC中，∠B=50°，BE⊥AC于E，CF⊥AB于F，则∠AEF=____．
9．如图，四边形ABCD内接于圆，∠DCE=50°，则∠BOD=____．

T8

T9

10．已知：如图，四边形ABCD中，∠ABC=∠ADC=90°，∠DAB=60°，BD=6cm．求：对角线AC的长．

T10

T11

11．已知：如图，四边形ABCD中，∠DAB=60°，CB⊥AB于B，CD⊥AD于D，BC=2cm，DC=11cm．求AC的长．

12．如图，△ABC内接于⊙O，D点在⊙O上，AD平分∠BAC，DE⊥AB于E，DF⊥AC交AC延长线于F．求证：BE=CF．

T12

T13
挑战题
13．如图，在△ABC中，AB=AC，BD是∠ABC的角平分线，△ABD的外接圆交BC于E．求证：AD=EC．

参考答案
预习探究自我评价
1、B 2、B 3、600 4、900
5、略
6、提示：（1）∠EDF=∠ADB=∠ACB =∠ABC=∠CDF （等腰三角形兩底角相等）
（2）∠BOC=2∠BAC=600 R=BC R+R=2+ R=2
S==4

拓展训练一
1、B 2、B 3、C 4、A 5、0 6、 7、900 8、1100
9、法一：

法二：连接BE,的度数为即为正

10、在AC上取点E,使
①

②

①+②即可
11.(1)
(2)

达标自查一
1、 B 2、B 3、D 4、A 5、B
6、450 7、250 8、500 9、1000

11．14 cm．提示：作BE⊥CD于E，则∠BCE=60°，所以CE=1，
=7，所以AC=14（cm）．
12．提示：连接BD，DC．只需证明：Rt△BDE≌Rt△CDF．
13．提示：AD=DE．又∠CDE=∠ABC=∠C，所以EC=DE，从而AD=EC．