切线的判定(含答案).doc

一、证明题
1. 已知：三角形内接于，过作直线
（1）如图，为直径，要使得是的切线，还需添加的条件是（只需写出三种情况）
①_______________②_______________③_______________
（2）如图，为非直径的弦，已知
求证：是的切线

2. 如图，是的直径，交的中点于，
（1）求证：；（2）求证：是的切线．

3. 如图，是的切线，切点是，过点作于点，交于点．
求证：是的切线．

4. 如图，A、B为⊙O上的点，AC是弦，CD是⊙O的切线，C为切点，AD⊥CD于点D．若AC为∠BAD的平分线．
求证：（1）AB为⊙O的直径（2）AC2＝AB·AD

5. 如图，是的直径，为延长线上的一点，交于点，且．
（1）说明是的切线；
（2）请你写出线段和之间的数量关系，并说明理由．

6. 已知：如图，AB是⊙O的直径，AD是弦，OC垂直AD于F交⊙O于E，连结DE、BE，且∠C=∠BED．
（1）求证：AC是⊙O的切线；
（2）若OA=10，AD=16，求AC的长．
C
E
D
A
F
O
B

7. 如图，切于点直线交于点、，弦求证：
M
P
A
O
C
B
第16题图

8. 如图，是的外接圆，点在上，，点是垂足，，连接．
D
B
A
O
C

求证：是的切线．

9. 如图，点在的直径的延长线上，点在上，，，
（1）求证：是的切线；A
O
B
D
C

（2）若的半径为3，求弧BC的长．（结果保留）

10. 如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，以BC为直径作⊙O交AB于点D，取AC的中点E，连结DE、OE．
（1）求证：DE是⊙O的切线；B
A
D
O
C
E

（2）如果⊙O的半径是cm，ED=2cm，求AB的长．

11. 已知：如图，为的直径，，交于，于．
（1）请判断与的位置关系，并证明；

O
A
B
D
C
E
（2）连结，若的半径为，，求的长．

12. 如图，是的外接圆，，过点作，交的延长线于点．
（1）求证：是的切线；（2）若的半径，求线段的长．
O
C
P
A
B

O
B
P
D
A
C
l
图
13. 如图，直线l切⊙O于点A，点P为直线l上一点，直线PO交⊙O于点C、B，点D在线段AP上，连结DB，且AD=DB．
（1）求证：DB为⊙O的切线．（2）若AD=1，PB=BO，求弦AC的长．

14. 如图，中，，以为直径作交边于点，是边的中点，连接．
C
E
B
A
O
F
D
（1）求证：直线是的切线；
（2）连接交于点，若，求的值．

15. 如图，是RtABC的外接圆，ABC=90，点P是圆外一点，PA切于点A，且PA=PB．
（1）求证：PB是的切线； O
A
B
C
P
（图）
（2）已知PA=，BC=1，求的半径．

16. 已知是⊙的直径，是⊙的切线，是切点，与⊙交于点.
（Ⅰ）如图①，若，，求的长（结果保留根号）；
A
B
C
O
P
图①
A
B
C
O
P
D
图②

（Ⅱ）如图②，若为的中点，求证直线是⊙的切线.

17. 已知：如图，在△中，是边上一点，⊙过三点，．
（1）求证：直线是⊙的切线；（2）如果，⊙的半径为，求的长．

18. 如图，A、B是上的两点，，点D为劣弧的中点.
（1）求证：四边形AOBD是菱形；
（2）延长线段BO至点P，交于另一点C，且BP=3OB，求证：AP是的切线.
O
第21题
C
P
A
D
B

19. 如图，点在的直径的延长线上，点在上，，，
（1）求证：是的切线；
（2）若的半径为2，求图中阴影部分的面积.

20. 已知：如图，在△ABC中，∠A=45°，以AB为直径的⊙O交AC于点D，且AD=DC，CO的延长线交⊙O于点E，过点E作弦EF⊥AB，垂足为点G.
（1）求证：BC是⊙O的切线. （2）若AB=2，求EF的长.

B
A
C
D
E
G
O
F

21. 如图，在△ABC中，AB=AC，D是BC中点，AE平分∠BAD交BC于点E，点O是AB上一点，⊙O过A、E两点, 交AD于点G，交AB于点F．
（1）求证：BC与⊙O相切； （2）当∠BAC=120°时，求∠EFG的度数．

22. 如图，的直径的长为2，在的延长线上，且.
（1）求的度数； （2）求证：是的切线；
（参考公式：弧长公式，其中是弧长，是半径，是圆心角度数）

23. 如图，AB是⊙Ｏ的直径，∠A＝，延长OB到D，使BD＝OB．
（1）△OCB是否是等边三角形？说明你的理由；
（2）求证：DC是⊙Ｏ的切线．
A
B
O
D
C

4. 如图，为的直径，劣弧，连接并延长交于．
求证：（1）是的切线； （2）．
O
A
E
D
B
C

一、证明题
1. （1）①　②　③　④
⑤以上答案均可选择，与序号无关
（2）证明：连结并延长交于，连结　

，　　
又是直径，　　

又

又是半径，是的切线　

2. 解：（1）是的半径，
，
又，，，
，

（2）连接，
，，
，
又，
，所以是的切线

3. 连结，（图略） 1分
是的切线，， 2分
，， 4分
又，
6分
，
是的切线． 8分
说明：本题也可根据垂径定理得，通过证明，得．

4. 证明：（1）连结BC
AC平分∠BAD
∴∠DAC＝∠CAB
又CD切⊙O于点C
∴∠ACD＝∠B(弦切角定理)
∵AD⊥CD
∴∠ACD+∠DAC＝90°
即∠B+∠CAB＝90°
∴∠BCA＝90°
∴AB是⊙O的直径（90°圆周角所对弦是直径）
（2）∵∠ACD＝∠B
∠DAC＝∠CAB
∴△ACD∽△ABC
∴
∴AC2＝AB·AD

5. 解：（1）连结．
是直径，．
，
，是等边三角形．
而，
，
，
即，故是的切线．
（2）．
，且，．
又在中，，
，，
．

6. （1）证明：∵∠BED=∠BAD，∠C=∠BED
∴∠BAD=∠C
∵OC⊥AD于点F
∴∠BAD+∠AOC=90o
∴∠C+∠AOC=90o
∴∠OAC=90o
∴OA⊥AC
∴AC是⊙O的切线.
（2）∵OC⊥AD于点F，∴AF=AD=8
在Rt△OAF中，OF==6
∵∠AOF=∠AOC，∠OAF=∠C
∴△OAF∽△OCA
∴
即 OC=
在Rt△OAC中，AC=．

7. 证：∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB＝90°
∵MP为⊙O的切线，∴∠PMO＝90°
∵MP∥AC，∴∠P＝∠CAB
∴∠MOP＝∠B
从而，MO∥BC．

8. 证明：连接

又．

，即是的切线

9. （1）证明：连结，
A
O
B
D
C

1
2
，

，
，
，
．
是的切线．
（2），
的长=．
答：的长为

10. 证明：（1）连结OD．
由O、E分别是BC、AC中点得OE∥AB．
∴∠1=∠2，∠B=∠3，又OB=OD．
∴∠2=∠3．
而OD=OC，OE=OE
B
A
D
O
C
E

1
2
3
∴△OCE≌△ODE．
∴∠OCE=∠ODE．
又∠C=90°，故∠ODE =90°．
∴DE是⊙O的切线．
（2）在Rt△ODE中，由，DE=2
得
又∵O、E分别是CB、CA的中点
∴AB=2·
∴所求AB的长是5cm．

11. 解:(1)DE与⊙O相切．
证明：连结OD．
∵OB=OD∴∠B=∠1∵AB=AC∴∠B=∠C∴∠C=∠1∴OD∥AC(同位角相等，两直线平行)
∵DE⊥AC∴∠DEC=90°∴∠ODE=∠DEC=90°(两直线平行，内错角相等)∴OD⊥DE
∵OD为⊙O半径∴DE是⊙O的切线（过半径外端且垂直于半径的直线是圆的切线）
（2）∵AB为⊙O直径∴∠ADB=90°
∴在Rt△BDA中，∠ADB=90°∴BD=4
∵AB=AC∴BD=CD=4
∵DE⊥AC∴S△ADC = S△ADC=
∴=∴
∴DE=

12. 解：（1）证明：过点作，交于点．
O
C
P
A
B

E
，平分．
点在上．
又，
．
为的切线．
（2），
．
又，
．
． 即．
．

13. （1）证明： 连结OD
∵ PA 为⊙O切线 ∴ ∠OAD = 90°
∵ OA=OB，DA=DB，DO=DO， ∴ΔOAD≌ΔOBD
∴ ∠OBD=∠OAD = 90°， ∴PA为⊙O的切线
（2）解：在RtΔOAP中， ∵ PB=OB=OA ∴ ∠OPA=30°
∴ ∠POA=60°=2∠C ， ∴PD=2BD=2DA=2
∴ ∠OPA=∠C=30°
∴ AC=AP=3

14. 证明：（1）连接．
是的直径，，
点是的中点，．
．
直线是的切线．
（2）作于点，
C
E
B
A
O
F
D
H
由（1）知，，．
，且．
．
，，．
．
．
．

15. （图）
O
A
B
C
P
D
解：（1）证明：连接

　　　　．
即
又是的切线，

又是的半径，
是
说明：还可连接、，利用来证明
（2）解：连接，交于点
点在线段的垂直平分线上．
点在线段的垂直平分线上．
垂直平分线段

又

即解得
　　　　 在中，即的半径为1．

16. 解：（Ⅰ）∵ 是⊙的直径，是切线，
∴ .
在Rt△中，，，
∴ .
由勾股定理，得. ．．．．．．．．．．．．．．．．．．5分
(Ⅱ)如图，连接、，
A
B
C
O
P
D
∵ 是⊙的直径，
∴ ，有.
在Rt△中，为的中点，
∴ .
∴ .
又 ∵，
∴.
∵ ，
∴ .
即 .
∴ 直线是⊙的切线. ．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．8分

17. （1）证明：∵ ，，
∴ ．
∵ ，
∴ ．
∴ ．
∵ 点在⊙上，
∴ 直线是⊙的切线． 2分
（2）解：∵ ，，
可求 ．
∵ ，，
∴ ．
作于点．
∴ ．
∴ ．
∵ ，
∴ ． 5分

18. O
第21题
C
P
A
D
B

证明：（1）连接OD. 1分
是劣弧的中点，
2分
又∵OA=OD，OD=OB
∴△AOD和△DOB都是等边三角形 3分
∴AD=AO=OB=BD
∴四边形AOBD是菱形 4分
（2）连接AC.
∵BP=3OB，OA=OC=OB
∴PC=OC=OA 5分
为等边三角形
∴PC=AC=OC 6分
∴∠CAP=∠CPA
又∠ACO=∠CPA+∠CAP

7分
又是半径
是的切线 8分

19. （1）证明：连结. ………………1分
∵ ，，
∴ . ………………2分
∵ ,
∴ . ………………3分
∴ . …………………………………………………4分
∴ 是的切线. ……………………………………………………………5分
（2）解:∵∠A=30o， ∴ . ……………………………6分
∴ . …………………………………………………7分
在Rt△OCD中, ∵ , ∴ . …………………………8分
∴ . …………………………9分
∴ 图中阴影部分的面积为. ………………………………………10分

20. （1）证法一、
连接OD，则OD=OA ………………………（1分）
∴∠ADO= ∠A=45°
∴∠AOD=180°-45°-45°=90°
∵O为AB中点，D为AC中点
∴OD∥BC
∴∠ABC=∠AOD=90°
∴直径AB⊥BC
∴BC是⊙O的切线 ……………………………（5分）
证法二、
连接BD ……………………………（1分）
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ADB=90°
又∵AD=DC，∴AB=CB
∴∠ACD=∠CAB=45°
∴∠ABC=180°-∠ACB-∠CAB=90°
又∵AB为AB是⊙O的直径
∴BC是⊙O的切线 …………………………… （5分）
（2）解：在Rt△ABC中，BC=AB·tan∠A=2×tan45°=2
在Rt△OBC中，∴OC=== ……………（7分）
∵AB⊥EF ∴∠EGO=90°
∴∠EGO=∠ABC
又∠EOG=∠COB
∴△OEG∽△OCB …………………………（8分）
∴=
∴=
EG=
∵直径AB⊥EF
∴EF=2EG= ………………………… （10分）

21. （1）证明：连接OE，------------------------------1分
B
A
C
D
E
G
O
F
∵AB=AC且D是BC中点，
∴AD⊥BC．
∵AE平分∠BAD，
∴∠BAE=∠DAE．------------------------------3分
∵OA=OE，
∴∠OAE=∠OEA．
∴∠OEA=∠DAE．
∴OE∥AD．
∴OE⊥BC．
∴BC是⊙O的切线．---------------------------6分
（2）∵AB=AC，∠BAC=120°，
∴∠B=∠C=30°．----------------------------7分
∴∠EOB =60°．------------------------------8分
∴∠EAO =∠EAG =30°．-------------------9分
∴∠EFG =30°．------------------------------10分

22. （1）解：设，
据弧长公式，得，
. 2分
据圆周角定理，得. 4分
（2）证明：连接，

，

是等边三角形. 6分
.
，
.
. 8分
.
.
是的切线. 10分

23. （1）解法一：∵∠A＝，∴∠COB＝． ………………2分
　　　　　　　 又OC＝OB，　
∴△OCB是等边三角形． ………………4分
　　　 解法二：∵AB是⊙Ｏ的直径，∴∠ACB＝．
　　　　　　　 又∵∠A＝，　∴∠ABC＝． ………………2分
　　　　　　　 又OC＝OB，　∴△OCB是等边三角形． ………………4分
（2）证明：由（1）知：BC＝OB，∠OCB＝∠OBC＝．
又∵BD＝OB，∴BC＝BD． ………………6分
∴∠BCD＝∠BDC＝∠OBC＝．
∴∠OCD＝∠OCB＋∠BCD＝，
故DC是⊙Ｏ的切线． ………………8分

24. O
A
E
D
B
C
1
2
证明：（1），
， 2分
． 3分
． 4分
是的切线． 5分

（2）连接．
是的直径，． 6分
． 7分
． 8分
． 9分
（证法二，连接，证明略）

１６