高中数学双曲线抛物线知识点总结.doc
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1、双曲线 平面内到两个定点,的距离之差的绝对值是常数2a(2a)的点的轨迹。方程简图_x_O_y_x_O_y范围顶点焦点渐近线离心率对称轴关于x轴、y轴及原点对称关于x轴、y轴及原点对称准线方程a、b、c的关系考点 题型一 求双曲线的标准方程1、给出渐近线方程的双曲线方程可设为,与双曲线共渐近线的方程可设为。2、注意:定义法、待定系数法、方程与数形结合。【例1】求适合下列条件的双曲线标准方程。(1) 虚轴长为12,离心率为;(2) 焦距为26,且经过点M(0,12);(3) 与双曲线有公共渐进线,且经过点。解:(1)设双曲线的标准方程为或。由题意知,2b=12,=。b=6,c=10,a=8。标准
2、方程为或。(2)双曲线经过点M(0,12),M(0,12)为双曲线的一个顶点,故焦点在y轴上,且a=12。又2c=26,c=13。标准方程为。(3)设双曲线的方程为在双曲线上 得所以双曲线方程为题型二 双曲线的几何性质方法思路:解决双曲线的性质问题,关键是找好体重的等量关系,特别是e、a、b、c四者的关系,构造出和的关系式。【例2】双曲线的焦距为2c,直线l过点(a,0)和(0,b),且点(1,0)到直线l的距离与点(-1,0)到直线l的距离之和s。求双曲线的离心率e的取值范围。解:直线l的方程为,级bx+ay-ab=0。 由点到直线的距离公式,且a1,得到点(1,0)到直线l的距离, 同理得
3、到点(-1,0)到直线l的距离,。由s,得,即。于是得,即。解不等式,得。由于e10,所以e的取值范围是。【例3】设F1、F2分别是双曲线的左、右焦点,若双曲线上存在点A,使,且AF1=3AF2,求双曲线的离心率。解:又AF1=3AF2,即,即。题型三 直线与双曲线的位置关系方法思路:1、研究双曲线与直线的位置关系,一般通过把直线方程与双曲线方程组成方程组,即,对解的个数进行讨论,但必须注意直线与双曲线有一个公共点和相切不是等价的。 2、直线与双曲线相交所截得的弦长:yxOBAC【例4】如图,已知两定点,满足条件的点P的轨迹是曲线E,直线y=kx-1与曲线E交于A、B两点,如果,且曲线E上存在
4、点C,使,求(1)曲线E的方程;(2)直线AB的方程;(3)m的值和ABC的面积S。解:由双曲线的定义可知,曲线E是以为焦点的双曲线的左支, 且,a=1,易知。故直线E的方程为,(2)设, ,由题意建立方程组消去y,得。又已知直线与双曲线左支交于两点A、B,有解得。又 依题意得,整理后得,或。但,。故直线AB的方程为。(3)设,由已知,得,。又,点。将点C的坐标代入曲线E的方程,的,得,但当时,所得的点在双曲线的右支上,不合题意。,C点的坐标为,C到AB的距离为,ABC的面积。一、 抛物线高考动向:抛物线是高考每年必考之点,选择题、填空题、解答题皆有,要求对抛物线定义、性质、直线与其关系做到了
5、如指掌,在高考中才能做到应用自如。(一) 知识归纳 方程 图形顶点 (0,0)对称轴 x轴 y轴焦点离心率 e=1准线(二)典例讲解题型一 抛物线的定义及其标准方程方法思路:求抛物线标准方程要先确定形式,因开口方向不同必要时要进行分类讨论,标准方程有时可设为或。【例5】根据下列条件求抛物线的标准方程。(1)抛物线的焦点是双曲线的左顶点;(2)经过点A(2,3);(3)焦点在直线x-2y-4=0上;(4)抛物线焦点在x轴上,直线y=-3与抛物线交于点A,AF=5.解:(1)双曲线方程可化为,左顶点是(-3,0)由题意设抛物线方程为且,p=6.方程为(2)解法一:经过点A(2,3)的抛物线可能有两
6、种标准形式:y22px或x22py 点A(2,3)坐标代入,即94p,得2p点A(2,3)坐标代入x22py,即46p,得2p所求抛物线的标准方程是y2x或x2y解法二:由于A(2,-3)在第四象限且对称轴为坐标轴,可设方程为或,代入A点坐标求得m=,n=-,所求抛物线的标准方程是y2x或x2y(3)令x=0得y=2,令y=0得x=4, 直线x-2y-4=0与坐标轴的交点为(0,-2),(4,0)。焦点为(0,-2),(4,0)。抛物线方程为或。(4)设所求焦点在x轴上的抛物线方程为,A(m,-3),由抛物线定义得,又,或,故所求抛物线方程为或。题型二 抛物线的几何性质方法思路:1、凡设计抛物
7、线上的点到焦点距离时,一般运用定义转化为到准线l的距离处理,例如若P(x0,y0)为抛物线上一点,则。2、若过焦点的弦AB,则弦长,可由韦达定理整体求出,如遇到其他标准方程,则焦半径或焦点弦长公式可由数形结合的方法类似得到。【例6】设P是抛物线上的一个动点。(1) 求点P到点A(-1,1)的距离与点P到直线的距离之和的最小值;(2) 若B(3,2),求的最小值。解:(1)抛物线焦点为F(1,0),准线方程为。P点到准线的距离等于P点到F(1,0)的距离,yxAOPF问题转化为:在曲线上求一点P,使点P到A(-1,1)的距离与P到F(1,0)的距离之和最小。显然P是AF的连线与抛物线的交点,最小
8、值为(2)同理与P点到准线的距离相等,如图:过B做BQ准线于Q点,交抛物线与P1点。,。的最小值是4。题型三 利用函数思想求抛物线中的最值问题方法思路:函数思想、数形结合思想是解决解析几何问题的两种重要的思想方法。【例7】已知抛物线yx2,动弦AB的长为2,求AB的中点纵坐标的最小值。分析一:要求AB中点纵坐标最小值,可求出y1y2的最小值,从形式上看变量较多,结合图形可以观察到y1、y2是梯形ABCD的两底,这样使得中点纵坐标y成为中位线,可以利用几何图形的性质和抛物线定义求解。解法一:设A(x1,y1),B(x2,y2),AB的中点为M(x,y)由抛物线方程yx2知焦点,准线方程,设点A、
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