高一数学必修1各章知识点总结.pdf

高中高一数学必修1各章知识点总结第一章集合与函数概念一、集合有关概念1、集合的含义：某些指定的对象集在一起就成为一个集合，其中每 一个对象叫元素。2、集合的中元素的三个特性：1.元素的确定性；2.元素的互异性；3.元素的无序性说明：(1)对于一个给定的集合，集合中的元素是确定的，任何一个 对象或者是或者不是这个给定的集合的元素。(2)任何一个给定的集合中，任何两个元素都是不同的对象，相同的 对象归入一个集合时，仅算一个元素。(3)集合中的元素是平等的，没有先后顺序，因此判定两个集合是否 一样，仅需比较它们的元素是否一样，不需考查排列顺序是否一样。第1页共30页(4)集合元素的三个特性使集合本身具有了确定性和整体性。3、集合的表示：如我校的篮球队员,太平洋,大西洋，印度洋,北冰洋1.用拉丁字母表示集合：A=我校的篮球队员,B=123,4,52.集合的表示方法：列举法与描述法。注意啊：常用数集及其记法：非负整数集(即自然数集)记作：N正整数集 N*或N+整数集Z有理数集Q 实数集R关于“属于”的概念集合的元素通常用小写的拉丁字母表示，如：a是集合A的元素，就 说a属于集合A记作aA,相反，a不属于集合A记作alA列举法：把集合中的元素一一列举出来，然后用一个大括号括上。第2页共30页描述法：将集合中的元素的公共属性描述出来，写在大括号内表示集 合的方法。用确定的条件表示某些对象是否属于这个集合的方法。语言描述法：例：不是直角三角形的三角形数学式子描述法：例：不等式x-32的解集是仅同x-32或x|x-324、集合的分类：1.有限集 含有有限个元素的集合2.无限集 含有无限个元素的集合3.空集 不含任何元素的集合例：x|x2=5二、集合间的基本关系1.“包含”关系一子集注意：有两种可能（1）A是B的一部分，；（2）A与B是同一集合。第3页共30页反之：集合A不包含于集合B,或集合B不包含集合A,记作A B或B A2.“相等”关系（5N5,且545,则5=5）实例：设 A=x|x2-1=0 B=-1,1“元素相同”结论：对于两个集合A与B,如果集合A的任何一个元素都是集合B 的元素，同时，集合B的任何一个元素都是集合A的元素，我们就说 集合A等于集合B,即：A=B任何一个集合是它本身的子集。AIA真子集:如果AiB,且A1 B那就说集合A是集合B的真子集，记作AB 域 B A）如果AIB,BiC,那么AIC如果AiB同时BIA那么A=B3.不含任何元素的集合叫做空集，记为第4页共30页规定：空集是任何集合的子集，空集是任何非空集合的真子集。三、集合的运算1.交集的定义：一般地，由所有属于A且属于B的元素所组成的集 合，叫做A,B的交集.记作 ACB（读作“A 交 B）,即 AAB=x|xA,且 xB.2、并集的定义：一般地，由所有属于集合A或属于集合B的元素所 组成的集合，叫做A,B的并集。记作：AUB（读作A并B），即AU B=x|xeA,或 xB.3、交集与并集的性质：AAA=A,An（p=（p,APB=BAA,AUA=A,AU（p=A,AUB=BUA.4、全集与补集（1）补集：设S是一个集合，A是S的一个子集（即），由S中 所有不属于A的元素组成的集合，叫做S中子集A的补集（或余集）第5页共30页记作：CSA 即 CSA=x|xIS 且 xIASCsAA(2)全集：如果集合S含有我们所要研究的各个集合的全部元素,这个集合就可以看作一个全集。通常用U来表示。(3)性质：(DCU(C UA)=A(2)(C UA)AA=0(3)(CUA)UA=U二、函数的有关概念1.函数的概念：设A、B是非空的数集，如果按照某个确定的对应 关系f,使对于集合A中的任意一个数x,在集合B中都有唯一确定 的数f(x)和它对应，那么就称f：A-B为从集合A到集合B的一个函 数.记作：y=f(x),xeA.其中，x叫做自变量，x的取值范围A叫第6页共30页做函数的定义域；与x的值相对应的y值叫做函数值，函数值的集合f（x）|xA叫做函数的值域.注意：2如果只给出解析式y=f（x）,而没有指明它的定义域，则函数 的定义域即是指能使这个式子有意义的实数的集合；3函数的定义 域、值域要写成集合或区间的形式.定义域补充能使函数式有意义的实数x的集合称为函数的定义域，求函数的定义 域时列不等式组的主要依据是：（1）分式的分母不等于零；（2）偶次方 根的被开方数不小于零；（3）对数式的真数必须大于零；（4）指数、对 数式的底必须大于零且不等于1.（5）如果函数是由一些基本函数通 过四则运算结合而成的.那么，它的定义域是使各部分都有意义的x 的值组成的集合.（6）指数为零底不可以等于零（6）实际问题中的函 数的定义域还要保证实际问题有意义.（又注意：求出不等式组的解集即为函数的定义域。）构成函数的三要素：定义域、对应关系和值域第7页共30页再注意：(1)构成函数三个要素是定义域、对应关系和值域.由于 值域是由定义域和对应关系决定的，所以，如果两个函数的定义域和 对应关系完全一致，即称这两个函数相等(或为同一函数)(2)两 个函数相等当且仅当它们的定义域和对应关系完全一致，而与表示自 变量和函数值的字母无关。相同函数的判断方法：表达式相同；定义域一致(两点必须同时具备)(见课本21页相关例2)值域补充(1)、函数的值域取决于定义域和对应法则，不论采取什么方法求函 数的值域都应先考虑其定义域.(2).应熟悉掌握一次函数、二次函 数、指数、对数函数及各三角函数的值域，它是求解复杂函数值域的 基础。3.函数图象知识归纳(1)定义：在平面直角坐标系中，以函数y=f(x),(xA)中的x为横坐 标，函数值y为纵坐标的点P(x,y)的集合C,叫做函数y=f(x),(x e A)的图象.第8页共30页C上每一点的坐标(x,y)均满足函数关系y=f(x),反过来，以满足y=f(x)的每一组有序实数对x、y为坐标的点(x,y),均在C上.即记为 C=P(x,y)|y=f(x),xeA图象C 一般的是一条光滑的连续曲线(或直线),也可能是由与任意平 行与丫轴的直线最多只有一个交点的若干条曲线或离散点组成。(2)画法A、描点法：根据函数解析式和定义域，求出x,y的一些对应值并列 表，以(x,y)为坐标在坐标系内描出相应的点P(x,y),最后用平滑的曲 线将这些点连接起来.B、图象变换法(请参考必修4三角函数)常用变换方法有三种，即平移变换、伸缩变换和对称变换(3)作用：1、直观的看出函数的性质；2、利用数形结合的方法分析解题的思路。提高解题的速度。第9页共30页发现解题中的错误。4.快去了解区间的概念(1)区间的分类：开区间、闭区间、半开半闭区间；(2)无穷区间;(3)区间的数轴表示.5.什么叫做映射一般地，设A、B是两个非空的集合，如果按某一个确定的对应法则 f,使对于集合A中的任意一个元素X,在集合B中都有唯一确定的 元素y与之对应，那么就称对应f：AB为从集合A到集合B的一个 映射。记作“f：AB”给定一个集合A到B的映射，如果aA,bB.且元素a和元素b对 应，那么，我们把元素b叫做元素a的象，元素a叫做元素b的原 象说明：函数是一种特殊的映射，映射是一种特殊的对应，集合A、B及对应法则f是确定的；对应法则有“方向性”，即强调从集合A 到集合B的对应，它与从B到A的对应关系一般是不同的；对于 映射f：AB来说，则应满足：(I)集合A中的每一个元素，在 第10页共30页集合B中都有象，并且象是唯一的；（II）集合A中不同的元素，在集合B中对应的象可以是同一个；（III）不要求集合B中的每一 个元素在集合A中都有原象。常用的函数表示法及各自的优点：1函数图象既可以是连续的曲线，也可以是直线、折线、离散的点等 等，注意判断一个图形是否是函数图象的依据；2解析法：必须注明 函数的定义域；3图象法：描点法作图要注意：确定函数的定义域；化简函数的解析式；观察函数的特征；4列表法：选取的自变量要有 代表性，应能反映定义域的特征.注意啊：解析法：便于算出函数值。列表法：便于查出函数值。图象 法：便于量出函数值补充一：分段函数（参见课本P24-25）在定义域的不同部分上有不同的解析表达式的函数。在不同的范围里 求函数值时必须把自变量代入相应的表达式。分段函数的解析式不能 写成几个不同的方程，而就写函数值几种不同的表达式并用一个左大 括号括起来，并分别注明各部分的自变量的取值情况.（1）分段函 第11页共30页数是一个函数，不要把它误认为是几个函数；(2)分段函数的定义 域是各段定义域的并集，值域是各段值域的并集.补充二：复合函数如果 y=f(u),(uM),u=g(x),(xA),贝ij y=fg(x)=F(x),(xeA)称为 f、g的复合函数。例如：y=2sinX y=2cos(X2+1)7.函数单调性(1).增函数设函数y=f(x)的定义域为I,如果对于定义域I内的某个区间D内的 任意两个自变量x1,x2,当X1VX2时,都有f(x1)vf(x2),那么就说 f(x)在区间D上是增函数。区间D称为y=f(x)的单调增区间(睇清楚 课本单调区间的概念)如果对于区间D上的任意两个自变量的值x1,x2,当x1vx2时，都 f(x2),那么就说f(x)在这个区间上是减函数.区间D称为 y二f(x)的单调减区间.第12页共30页注意：1函数的单调性是在定义域内的某个区间上的性质，是函数的 局部性质；2必须是对于区间D内的任意两个自变量x1,x2；当x1vx2时，总 有 f(x1)vf(x2)。(2)图象的特点如果函数y=f(x)在某个区间是增函数或减函数，那么说函数y=f(x)在 这一区间上具有(严格的)单调性，在单调区间上增函数的图象从左到 右是上升的，减函数的图象从左到右是下降的.(3).函数单调区间与单调性的判定方法(A)定义法：1 任取 x1,x2D,且 x1vx2；2 作差 f(x1)f(x2)；3 变形(通常 是因式分解和配方)；4定号(即判断差f(x1)f(x2)的正负)；5下 结论(指出函数f(x)在给定的区间D上的单调性).(B)图象法(从图象上看升降)_第13页共30页(C)复合函数的单调性复合函数fg(x)的单调性与构成它的函数u=g(x),y=f(u)的单调性密切相关，其规律如下：函数单调性u=g(x)增增减减y=f(u)增减增减y=fg(x)第14页共30页增减减增注意：1、函数的单调区间只能是其定义域的子区间，不能把单调性 相同的区间和在一起写成其并集.2、还记得我们在选修里学习简单易 行的导数法判定单调性吗？8.函数的奇偶性(1)偶函数一般地，对于函数f(x)的定义域内的任意一个X,都有f(一X)=f(x),那么f(x)就叫做偶函数.(2).奇函数一般地，对于函数f(x)的定义域内的任意一个x,都有f(一x)=一f(x),那么f(x)就叫做奇函数.第15页共30页注意：1函数是奇函数或是偶函数称为函数的奇偶性，函数的奇偶性 是函数的整体性质；函数可能没有奇偶性，也可能既是奇函数又是偶 函数。2由函数的奇偶性定义可知，函数具有奇偶性的一个必要条件是，对 于定义域内的任意一个x,则一x也一定是定义域内的一个自变量(即 定义域关于原点对称).(3)具有奇偶性的函数的图象的特征偶函数的图象关于y轴对称；奇函数的图象关于原点对称.总结：利用定义判断函数奇偶性的格式步骤：1首先确定函数的定义 域，并判断其定义域是否关于原点对称；2确定f(一x)与f(x)的关系;3作出相应结论:若f(x)=f(x)或f(-x)-f(x)=O,则f(x)是偶函 数;若 f(x)=f(x)或 f(x)+f(x)=0,则 f(x)是奇函数.注意啊：函数定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的必要条件.首 先看函数的定义域是否关于原点对称，若不对称则函数是非奇非偶函 数.若对称，(1)再根据定义判定；(2)有时判定f(-x)二f(x)比较困难，可 考虑根据是否有f(-x)f(x)=0或f(x)/f(-x)=1来判定;(3)利用定理，或 借助函数的图象判定.第16页共30页9、函数的解析表达式(1).函数的解析式是函数的一种表示方法，要求两个变量之间的函 数关系时，一是要求出它们之间的对应法则，二是要求出函数的定义 域.(2).求函数的解析式的主要方法有：待定系数法、换元法、消参法 等，如果已知函数解析式的构造时，可用待定系数法；已知复合函数 fg(x)的表达式时，可用换元法，这时要注意元的取值范围；当已知 表达式较简单时，也可用凑配法；若已知抽象函数表达式，则常用解 方程组消参的方法求出f(x)10.函数最大(小)值(定义见课本P36页)1利用二次函数的性质(配方法)求函数的最大(小)值2利用图 象求函数的最大(小)值3利用函数单调性的判断函数的最大(小)值：如果函数y=f(x)在区间a,b上单调递增，在区间b,c上单调递 减则函数y=f(x)在x=b处有最大值f(b)；如果函数y=f(x)在区间a,b上单调递减，在区间b,c上单调递增则函数尸f(x)在x=b处有最 小值f(b)；第17页共30页第二章 基本初等函数一、指数函数(一)指数与指数幕的运算1.根式的概念：一般地，如果，那么 叫做 的 次方根(nth root),其中1,且*.当是奇数时，正数的 次方根是一个正数，负数的次方根是一个负 数.此时，的次方根用符号表示.式子叫做根式(radical),这 里 叫做根指数(radical exponent),叫做被开方数(radicand).当是偶数时，正数的次方根有两个，这两个数互为相反数.止匕时，正数的正的次方根用符号 表示，负的 次方根用符号一表示.正 的次方根与负的次方根可以合并成土(0).由此可得：负数没 有偶次方根；。的任何次方根都是0,记作。注意：当 是奇数时，当是偶数时,2.分数指数届第18页共30页正数的分数指数幕的意义，规定:0的正分数指数属等于0,0的负分数指数属没有意义指出：规定了分数指数幕的意义后，指数的概念就从整数指数推广到 了有理数指数，那么整数指数幕的运算性质也同样可以推广到有理数 指数事.3.实数指数幕的运算性质(1);(2)；(3),(二)指数函数及其性质1、指数函数的概念：一般地，函数 叫做指数函数(exponential),其中x是自变量，函数的定义域为R.第19页共30页注意：指数函数的底数的取值范围，底数不能是负数、零和1.2、指数函数的图象和性质 a10a10a1第25页共30页图象特征函数性质函数图象都在y轴右侧函数的定义域为（0,+0,方程 有两不等实根，二次函数的图象与轴有两个交点,二次函数有两个零点.第29页共30页2)=(),方程 有两相等实根(二重根)，二次函数的图象与 轴有 一个交点，二次函数有一个二重零点或二阶零点.3)A0,方程无实根，二次函数的图象与轴无交点，二次函数无 零点.第30页共30页