高考数学专题复习函数与方程思想教案.doc
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1、专题三 函数与方程思想函数是中学数学的一个重要概念,它渗透在数学的各部分内容中,一直是高考的热点、重点内容。函数的思想,就是用运动变化的观点,分析和研究具体问题中的数量关系,建立函数关系,运用函数的知识,使问题得到解决这种思想方法在于揭示问题的数量关系的本质特征,重在对问题的变量的动态研究,从变量的运动变化,联系和发展角度拓宽解题思路和函数有必然联系的是方程,方程f(x)0的解就是函数yf(x)的图像与x轴的交点的横坐标,函数yf(x)也可以看作二元方程f(x)y0通过方程进行研究,要确定变化过程的某些量,往往要转化为求出这些量满足的方程,希望通过方程(组)来求得这些量这就是方程的思想,方程思
2、想是动中求静,研究运动中的等量关系就中学数学而言,函数思想在解题中的应用主要表现在两个方面:一是借助有关初等函数的性质,解有关求值、解(证)不等式、解方程以及讨论参数的取值范围等问题:二是在问题的研究中,通过建立函数关系式或构造中间函数,把所研究的问题转化为讨论函数的有关性质,达到化难为易,化繁为简的目的中学数学问题中的很多条件经常是互相联系、互相制约,可表现为相应变量的互相联系、互相制约,这种变量的互相联系、互相制约常可用变量间的等量关系式或不等量关系式表示。这时,若将变量间的等量关系看成函数关系,则可以将等量关系式转化成函数解析式,这时妙用函数的有关性质(值域、与坐标轴交点情形等)就可解决
3、问题;若将等量关系式看成关于某个未知量的方程,则利用解方程或考虑根的情形可求得变量;若可将变量间的不等量关系式看成关于某个未知量的不等式 ,则解这个不等式可求得这个变量的取值范围。因此我们在数学的教学中应注重培养下列两种意识。一、在解题中形成方程意识将所求的量(或与所求的量相关的量)设成未知数,用它表示问题中的其它各量,根据题中的等量关系,列出方程,通过解方程或对方程进行研究,以求得问题的解决。例:设点P内分有向线段MN,且,求点M分有向线段PN的比。分析:将转移成关于MP=PN的方程,设点M分有向线段PN的比为k,则PM=kMN,PM=k(MP+PN)(*)将 MP=PN带入(*)即可得k的
4、值。同样也可求N点分有向线段PM的比。例:设双曲线的半焦距为C,直线L过(a,0)、(0,b)两点。已知原点到直线L的距离为,则双曲线的离心率为: ( ) A、2 B、 C、 D、该等量关系转换成等于a、b、c的关系等式,即可转换得关于未知量e的方程,解方程即得e的取值。二、在解题中形成函数意识在解题中,要对所给的问题观察、分析、判断并善于挖掘题目中的条件,构造出恰当的函数解析式、妙用函数的性质。例:对于满足0p4的一切实数,不等式x2px4xp3恒成立,试求x的取值范围一例,我们习惯上把x当作自变量,构造函数yx2(p4)x3p,于是问题转化为:当p0,4时,y0恒成立,求x的取值范围解决这
5、个等价的问题需要应用二次函数以及二次方程的区间根原理,可想而知,这是相当复杂的如果把p看作自变量,x视为参数,构造函数y(x1)p(x24x3),则y是p的一次函数,就非常简单即令 f(p)(x1)p(x24x3)函数f(p)的图象是一条线段,要使f(p)0恒成立,当且仅当f(0)0,且f(4)0,解这个不等式组即可求得x的取值范围是(,1)(3,)本题看上去是一个不等式问题,但是经过等价转化,我们把它化归为一个非常简单的一次函数,并借助于函数的图象建立了一个关于x的不等式组来达到求解的目的。巩固练习(一)一、选择题1、不等式在区间内恒成立,则a的取值范围是 ( )A B C D 2、方程lg
6、xx3的解所在的区间为_。A. (0,1) B. (1,2) C. (2,3) D. (3,+)3、如果函数f(x)xbxc对于任意实数t,都有f(2t)f(2t),那么_。A. f(2)f(1)f(4) B. f(1)f(2)f(4) C. f(2)f(4)f(1) D. f(4)f(2)f(1)4、已知函数yf(x)有反函数,则方程f(x)a (a是常数) _。A.有且仅有一个实根 B.至多一个实根 C.至少一个实根 D.不同于以上结论5、已知sincos,(,),则tan的值是_。A. B. C. D. 6、已知函数f(x)|21|,abf(c)f(b),则_。A. a0,b0 B. a
7、0,c0 C. 22 D. 220,S0,S13a78d13(122d)78d15652d0。 解得:d3。 Snan(n11)dn(122d)n(n1)dn(5)(5)因为d0,故n(5)最小时,S最大。由d3得6(5)6.5,故正整数n6时n(5)最小,所以S最大。18、【分析】 异面直线PB和AC的距离可看成求直线PB上任意一点到AC的距离的最小值,从而设定变量,建立目标函数而求函数最小值。 P MA H B D C【解】 在PB上任取一点M,作MDAC于D,MHAB于H,设MHx,则MH平面ABC,ACHD 。MDx(2rx)sin(sin1)x4rsinx4rsin(sin1)x即当
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