上海市宝山区上海大学附中2024-2025学年高一数学第二学期期末统考模拟试题含解析.doc

上海市宝山区上海大学附中2024-2025学年高一数学第二学期期末统考模拟试题
注意事项
1．考生要认真填写考场号和座位序号。
2．试题所有答案必须填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效。第一部分必须用2B 铅笔作答；第二部分必须用黑色字迹的签字笔作答。
3．考试结束后，考生须将试卷和答题卡放在桌面上，待监考员收回。

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的
1．已知圆和两点，，．若圆上存在点，使得，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
2．已知，则使得都成立的取值范围是( ).
A． B． C． D．
3．在中，角对应的边分别是，已知，，则等于（ ）
A． B． C． D．
4．为了调查某工厂生产的一种产品的尺寸是否合格，现从500件产品中抽出10件进行检验，先将500件产品编号为000，001，002，…，499，在随机数表中任选一个数开始，例如选出第6行第8列的数4开始向右读取（为了便于说明，下面摘取了随机数表附表1的第6行至第8行)，即第一个号码为439，则选出的第4个号码是（ )

A．548 B．443 C．379 D．217
5．已知圆，直线，点在直线上．若存在圆上的点，使得（为坐标原点），则的取值范围是
A． B． C． D．
6．已知函数 f (x)＝Asin(ωx＋φ)(A＞0， ω＞0，≤)的图象如下，则点的坐标是( )

A．(，) B．(，)
C．(，) D．(，)
7．若，则的概率为（ ）
A． B． C． D．
8．在中，若，，，则（ ）
A．， B．，
C．， D．，
9．如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某几何体的三视图，则该几何体的体积为（ ）

A． B．
C． D．
10．设是两条不同的直线，是两个不同的平面，则下列命题不正确的是（ ）
A．若，则 B．若，则
C．若，则 D．若，则
二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。
11．点关于直线的对称点的坐标为_____．
12．某企业利用随机数表对生产的800个零件进行抽样测试，先将800个零件进行编号，编号分别为001,002,003，…，800从中抽取20个样本，如下提供随机数表的第行到第行： 若从表中第6行第6列开始向右依次读取个数据，则得到的第个样本编号是_______.

13．△ABC中，，，则=_____．
14．如图，正方体中，的中点为，的中点为，为棱上一点，则异面直线与所成角的大小为__________．

15．已知向量，，且，点在圆上，则等于 ．
16．在△中，三个内角、、的对边分别为、、，若，，，则________
三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．已知向量（），向量，，
且.
（Ⅰ）求向量；
（Ⅱ）若，，求.
18．如图，在△ABC中，A（5，–2），B（7，4），且AC边的中点M在y轴上，BC的中点N在x轴上．

（1）求点C的坐标；
（2）求△ABC的面积．
19．在直角坐标系中，，，点在直线上.
（1）若三点共线，求点的坐标；
（2）若，求点的坐标.
20．如图，为了测量河对岸、两点的距离，观察者找到一个点，从点可以观察到点、；找到一个点，从点可以观察到点、；找到一个点，从点可以观察到点、．并测量得到以下数据，，，，，米，米．求、两点的距离．

21．已知，函数，，
（1）证明：是奇函数；
（2）如果方程只有一个实数解，求a的值.
参考答案

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的
1、D
【解析】
因为，所以点的轨迹为以为直径的圆，故点是两圆的交点，根据圆与圆的位置关系，即可求出．
【详解】
根据可知，点的轨迹为以为直径的圆，故点是圆和圆的交点，
因此两圆相切或相交，即，亦即．
故的最小值为．
故选：D．
本题主要考查圆与圆的位置关系的应用，意在考查学生的转化能力，属于基础题．
2、B
【解析】
先解出不等式的解集，得到当时，不等式的解集，最后求出它们的交集即可.
【详解】
因为，所以，
因为，所以，要想使得都成立，所以取值范围是，故本题选B.
本题考查了一元二次不等式的解法，考查了不等式的性质应用，考查了数学运算能力.
3、A
【解析】
根据正弦定理求得，根据大边对大角的原则可求得.
【详解】
由正弦定理得：

本题正确选项：
本题考查正弦定理解三角形，易错点是忽略大边对大角的特点，属于基础题.
4、D
【解析】
利用随机数表写出每一个数字即得解.
【详解】
第一个号码为439，第二个号码为495，第三个号码为443，第四个号码为217.
故选：D
本题主要考查随机数表，意在考查学生对该知识的理解掌握水平.
5、B
【解析】
根据条件若存在圆C上的点Q,使得为坐标原点),等价即可,求出不等式的解集即可得到的范围
【详解】

圆O外有一点P,圆上有一动点Q,在PQ与圆相切时取得最大值.
如果OP变长,那么可以获得的最大值将变小.可以得知,当,且PQ与圆相切时,,
而当时,Q在圆上任意移动,存在恒成立.
因此满足,就能保证一定存在点Q,使得,
否则,这样的点Q是不存在的，
点在直线上, ,即
,
,
计算得出,,
的取值范围是，
故选B.
考点：正弦定理、直线与圆的位置关系.
6、C
【解析】
由函数f（x）的部分图象求得A、T、ω和φ的值即可．
【详解】
由函数f（x）＝Asin（ωx+φ）的部分图象知，
A＝2，T＝2×（4﹣1）＝6，
∴ω，
又x＝1时，y＝2，
∴φ2kπ，k∈Z；
∴φ2kπ，k∈Z；
又0＜φ，∴φ，
∴点P（，）．
故选C．
已知函数的图象求解析式
(1).
(2)由函数的周期求
(3)利用“五点法”中相对应的特殊点求.
7、C
【解析】
由，得，当时，即可求出的范围，根据几何概型的公式，即可求解．
【详解】
由，得，当，即当时，，所以的概率为.
本题考查几何概型的公式，属基础题
8、A
【解析】
利用正弦定理列出关系式，把与代入得出与的关系式，再与已知等式联立求出即可.
【详解】
∵在中，，，，
∴由正弦定理得：，即，
联立解得：.
故选：A.
本题考查了正弦定理，以及特殊角的三角函数值，熟练掌握定理是解本题的关键，属于基础题.
9、C
【解析】
先通过三视图找到几何体原图，再求几何体的体积得解.
【详解】

由题得该几何体是一个边长为4的正方体挖去一个圆锥（圆锥底面在正方体上表面上，圆锥顶部朝下），
所以几何体体积为.
故选：C
本题主要考查三视图还原几何体原图，考查组合体体积的计算，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.
10、D
【解析】
对于A，利用线面平行的判定可得A正确.对于B，利用线面垂直的性质可得B正确.对于C，利用面面垂直的判定可得C正确.根据平面与平面的位置关系即可判断D不正确.
【详解】
对于A，根据平面外的一条直线与平面内的一条直线平行，
则这条直线平行于这个平面，可判定A正确.
对于B，根据垂直于同一个平面的两条直线平行，判定B正确.
对于C，根据一个平面过另一个平面的垂线，则这两个平面垂直，
可判定C正确.
对于D，若，则或相交，所以D不正确.
故选：D
本题主要考查了线面平行和面面垂直的判定，同时考查了线面垂直的性质，属于中档题.

二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。
11、
【解析】
设关于直线的对称点的坐标为,再根据中点在直线上,且与直线垂直求解即可.
【详解】
设关于直线的对称点的坐标为,则中点为,
则在直线上,故①.
又与直线垂直有②,
联立①②可得.故.
故答案为：
本题主要考查了点关于直线对称的点坐标,属于基础题.
12、1
【解析】
根据随机数表法抽样的定义进行抽取即可．
【详解】
第6行第6列的数开始的数为808，不合适，436，789不合适，535，577，348，994不合适，837不合适，522，535重复不合适，1合适
则满足条件的6个编号为436，535，577，348，522，1，
则第6个编号为1，
故答案为1．
本题考查了简单随机抽样中的随机数表法，主要考查随机抽样的应用，根据定义选择满足条件的数据是解决本题的关键．本题属于基础题．
13、
【解析】
试题分析：三角形中，,由，得又,所以有正弦定理得即即A为锐角，由得，因此
考点：正余弦定理
14、
【解析】
根据题意得到直线MP运动起来构成平面，可得到面，进而得到结果.
【详解】
取的中点O连接，，

根据题意可得到直线MP是一条动直线，当点P变动时直线就构成了平面，
因为MO均为线段的中点，故得到，四边形 为平行四边形， 面，故得到，又 面，
进而得到 .故夹角为.
故答案为.
这个题目考查的是异面直线的夹角的求法；常见方法有：将异面直线平移到同一平面内，转化为平面角的问题；或者证明线面垂直进而得到面面垂直，这种方法适用于异面直线垂直的时候.
15、
【解析】
试题分析：因为且在圆上，所以，解得，所以．
考点：向量运算．
【思路点晴】平面向量的数量积计算问题，往往有两种形式，一是利用数量积的定义式，二是利用数量积的坐标运算公式，涉及几何图形的问题，先建立适当的平面直角坐标系，可起到化繁为简的妙用．利用向量夹角公式、模公式及向量垂直的充要条件，可将有关角度问题、线段长问题及垂直问题转化为向量的数量积来解决．列出方程组求解未知数．
16、
【解析】
利用正弦定理求解角,再利用面积公式求解即可.
【详解】
由,因为,故,
.故.
故答案为：
本题主要考查了解三角形的运用,根据题中所给的边角关系选择正弦定理与面积公式等.属于基础题型.

三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17、（Ⅰ）；（Ⅱ）．
【解析】
（Ⅰ）∵,，
∵，∴，即，①
又，②
由①②联立方程解得，，．
∴；
（Ⅱ）∵，即，，
∴，，
又∵，
，
∴
.
18、（1）（–5，–4） （2）
【解析】
（1）设点，根据题意写出关于的方程组，得到点坐标；（2）由两点间距离公式求出，再由两点得到直线的方程，利用点到直线的距离公式，求出点到的距离，由三角形面积公式得到答案.
【详解】
（1）由题意，设点，
根据AC边的中点M在y轴上，BC的中点N在x轴上，
根据中点公式，可得，解得，
所以点的坐标是．
（2）因为，
得．
，
所以直线的方程为，即，
故点到直线的距离，
所以的面积．
本题考查中点坐标公式，两点间距离公式，点到直线的距离公式，属于简单题.
19、（1）；（2）.
【解析】
（1）三点共线，则有与共线，由向量共线的坐标运算可得点坐标；
（2），则，由向量数量积的坐标运算可得
【详解】
设，则，
（1）因为三点共线，所以与共线，
所以，，点的坐标为.
（2）因为，
所以，即，，点的坐标为.
本题考查向量共线和向量垂直的坐标运算，属于基础题．
20、米
【解析】
在中，求出，利用正弦定理求出，然后在中利用锐角三角函数定义求出，最后在中，利用余弦定理求出.
【详解】
由题意可知，在中，，
由正弦定理得，所以米，
在中，米，
在中，由余弦定理得
，
所以，米.
本题考查利用正弦、余弦定理解三角形应用题，要将实际问题转化为三角形的问题，并结合已知元素类型选择正弦、余弦定理解三角形，考查分析问题和解决问题的能力，属于中等题.
21、（1）证明见解析（1）1
【解析】
（1）运用函数的奇偶性的定义即可得证（1）由题意可得有且只有两个相等的实根，可得判别式为0，解方程可得所求值．
【详解】
（1）证明：由函数，，可得定义域为，
且，可得为奇函数；
（1）方程只有一个实数解，
即为，
即△，
解得舍去），
则的值为1．
本题考查函数的奇偶性的判断和二次方程有解的条件，考查方程思想和定义法，属于基础题．