高中数学解析几何知识点总结4953.pdf
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1、.WORD 格式整理.专业知识分享.07.直线和圆的方程直线和圆的方程直线和圆的方程直线和圆的方程 知识要点知识要点知识要点知识要点一、直线方程一、直线方程.1.直线的倾斜角:一条直线向上的方向与x轴正方向所成的最小正角叫做这条直线的倾斜角,其中直线与x轴平行或重合时,其倾斜角为 0,故直线倾斜角的范围是)0(1800ppoo.注:当o90或12xx 时,直线l垂直于x轴,它的斜率不存在.每一条直线都存在惟一的倾斜角,除与x轴垂直的直线不存在斜率外,其余每一条直线都有惟一的斜率,并且当直线的斜率一定时,其倾斜角也对应确定.2.直线方程的几种形式:点斜式、截距式、两点式、斜切式.特别地,当直线经
2、过两点),0(),0,(ba,即直线在x轴,y轴上的截距分别为)0,0(,baba时,直线方程是:1byax.注:若232xy是一直线的方程,则这条直线的方程是232xy,但若)0(232xxy则不是这条线.附:直线系:对于直线的斜截式方程bkxy,当bk,均为确定的数值时,它表示一条确定的直线,如果bk,变化时,对应的直线也会变化.当b为定植,k变化时,它们表示过定点(0,b)的直线束.当k为定值,b变化时,它们表示一组平行直线.3.两条直线平行:1l212kkl两条直线平行的条件是:1l和2l是两条不重合的直线.在1l和2l的斜率都存在的前提下得到的.因此,应特别注意,抽掉或忽视其中任一个
3、“前提”都会导致结论的错误.(一般的结论是:对于两条直线21,ll,它们在y轴上的纵截距是21,bb,则1l212kkl,且21bb 或21,ll的斜率均不存在,即2121ABBA是平行的必要不充分条件,且21CC)推论:如果两条直线21,ll的倾斜角为21,则1l212l.两条直线垂直:两条直线垂直的条件:设两条直线1l和2l的斜率分别为1k和2k,则有.WORD 格式整理.专业知识分享.12121kkll这里的前提是21,ll的斜率都存在.0121kll,且2l的斜率不存在或02k,且1l的斜率不存在.(即01221BABA是垂直的充要条件)4.直线的交角:直线1l到2l的角(方向角);直
4、线1l到2l的角,是指直线1l绕交点依逆时针方向旋转到与2l重合时所转动的角,它的范围是),0(,当o90时21121tankkkk.两条相交直线1l与2l的夹角:两条相交直线1l与2l的夹角,是指由1l与2l相交所成的四个角中最小的正角,又称为1l和2l所成的角,它的取值范围是2,0,当o90,则有21121tankkkk.5.过两直线0:0:22221111CyBxAlCyBxAl的交点的直线系方程(0)(222111CyBxACyBxA为参数,0222CyBxA不包括在内)6.点到直线的距离:点到直线的距离公式:设点),(00yxP,直线PCByAxl,0:到l的距离为d,则有2200B
5、ACByAxd.注:1.两点 P1(x1,y1)、P2(x2,y2)的距离公式:21221221)()(|yyxxPP.特例:点 P(x,y)到原点 O 的距离:22|OPxy2.定比分点坐标分式。若点 P(x,y)分有向线段1212PPPPPPuuu ruuu r所成的比为即,其中P1(x1,y1),P2(x2,y2).则 1,12121yyyxxx特例,中点坐标公式;重要结论,三角形重心坐标公式。3.直线的倾斜角(0180)、斜率:tank4.过两点1212222111),(),(xxyykyxPyxP的直线的斜率公式:.12()xx当2121,yyxx(即直线和 x 轴垂直)时,直线的倾
6、斜角90,没有斜率学 学学 学学 学 学.WORD 格式整理.专业知识分享.两条平行线间的距离公式:设两条平行直线)(0:,0:212211CCCByAxlCByAxl,它们之间的距离为d,则有2221BACCd.注;直线系方程1.与直线:Ax+By+C=0 平行的直线系方程是:Ax+By+m=0.(mR,Cm).2.与直线:Ax+By+C=0 垂直的直线系方程是:Bx-Ay+m=0.(mR)3.过定点(x1,y1)的直线系方程是:A(x-x1)+B(y-y1)=0 (A,B 不全为 0)4.过直线 l1、l2交点的直线系方程:(A1x+B1y+C1)+(A2x+B2y+C2)=0(R)注:该
7、直线系不含 l2.7.关于点对称和关于某直线对称:关于点对称的两条直线一定是平行直线,且这个点到两直线的距离相等.关于某直线对称的两条直线性质:若两条直线平行,则对称直线也平行,且两直线到对称直线距离相等.若两条直线不平行,则对称直线必过两条直线的交点,且对称直线为两直线夹角的角平分线.点关于某一条直线对称,用中点表示两对称点,则中点在对称直线上(方程),过两对称点的直线方程与对称直线方程垂直(方程)可解得所求对称点.注:曲线、直线关于一直线(bxy)对称的解法:y 换 x,x 换 y.例:曲线 f(x,y)=0 关于直线 y=x2 对称曲线方程是 f(y+2,x 2)=0.曲线 C:f(x,
8、y)=0 关于点(a,b)的对称曲线方程是 f(a x,2b y)=0.二、圆的方程二、圆的方程.1.曲线与方程:在直角坐标系中,如果某曲线C上的 与一个二元方程0),(yxf的实数建立了如下关系:曲线上的点的坐标都是这个方程的解.以这个方程的解为坐标的点都是曲线上的点.那么这个方程叫做曲线方程;这条曲线叫做方程的曲线(图形).WORD 格式整理.专业知识分享.曲线和方程的关系,实质上是曲线上任一点),(yxM其坐标与方程0),(yxf的一种关系,曲线上任一点),(yx是方程0),(yxf的解;反过来,满足方程0),(yxf的解所对应的点是曲线上的点.注:如果曲线 C 的方程是 f(x,y)=
9、0,那么点 P0(x0,y)线 C 上的充要条件是 f(x0,y0)=0 2.圆的标准方程:以点),(baC为圆心,r为半径的圆的标准方程是222)()(rbyax.特例:圆心在坐标原点,半径为r的圆的方程是:222ryx.注:特殊圆的方程:与x轴相切的圆方程222)()(bbyax ),(),(,bababr或圆心与y轴相切的圆方程222)()(abyax ),(),(,babaar或圆心与x轴y轴都相切的圆方程222)()(aayax ),(,aaar圆心3.圆的一般方程:022FEyDxyx.当0422fFED时,方程表示一个圆,其中圆心2,2EDC,半径2422FEDr.当0422FE
10、D时,方程表示一个点2,2ED.当0422pFED时,方程无图形(称虚圆).注:圆的参数方程:sincosrbyrax(为参数).方程022FEyDxCyBxyAx表示圆的充要条件是:0B且0 CA且0422fAFED.圆的直径或方程:已知0)()(),(),(21212211yyyyxxxxyxByxA(用向量可征).4.点和圆的位置关系:给定点),(00yxM及圆222)()(:rbyaxC.M在圆C内22020)()(rbyaxpM在圆C上22020)()rbyax(.WORD 格式整理.专业知识分享.M在圆C外22020)()(rbyaxf5.直线和圆的位置关系:设圆圆C:)0()()
11、(222frrbyax;直线l:)0(022BACByAx;圆心),(baC到直线l的距离22BACBbAad.rd 时,l与C相切;附:若两圆相切,则002222211122FyExDyxFyExDyx相减为公切线方程.rd p时,l与C相交;附:公共弦方程:设有两个交点,则其公共弦方程为0)()()(212121FFyEExDD.rd f时,l与C相离.附:若两圆相离,则002222211122FyExDyxFyExDyx相减为圆心21OO的连线的中与线方程.由代数特征判断:方程组0)()(222CBxAxrbyax用代入法,得关于x(或y)的一元二次方程,其判别式为,则:l0与C相切;l
12、0f与C相交;l0p与C相离.注:若两圆为同心圆则011122FyExDyx,022222FyExDyx相减,不表示直线.6.圆的切线方程:圆222ryx的斜率为k的切线方程是rkkxy21过圆022FEyDxyx上一点),(00yxP的切线方程为:0220000FyyExxDyyxx.0:0:222222111221FyExDyxCFyExDyxC.WORD 格式整理.专业知识分享.一般方程若点(x0,y0)在圆上,则(x a)(x0 a)+(y b)(y0 b)=R2.特别地,过圆222ryx上一点),(00yxP的切线方程为200ryyxx.若点(x0,y0)不在圆上,圆心为(a,b)则
13、1)()(2110101RxakybRxxkyy,联立求出k切线方程.7.求切点弦方程:方法是构造图,则切点弦方程即转化为公共弦方程.如图:ABCD 四类共圆.已知O的方程022FEyDxyx 又以 ABCD 为圆为方程为2)()(kbxyyaxxxAA 4)()(222byaxRAA,所以 BC 的方程即代,相切即为所求.三、曲线和方程1.曲线与方程:在直角坐标系中,如果曲线 C 和方程 f(x,y)=0 的实数解建立了如下的关系:1)曲线 C 上的点的坐标都是方程 f(x,y)=0 的解(纯粹性);2)方程 f(x,y)=0 的解为坐标的点都在曲线 C 上(完备性)。则称方程 f(x,y)
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