王淑华固体答案五市公开课金奖市赛课一等奖课件.pptx

第五章,能带理论,第1页,第1页,5.1,一维周期场，电子波函数,，电子波函数为,应当满足布洛赫定理。,若晶格常数为,（,1,）,（,2,）,（,3,）,（为某一拟定函数）,试求电子在这些状态波矢。,解：,由式,可知，在一维周期势场中运动电子波函数满足,第2页,第2页,由此得,（,1,）,于是,因此得,因此,第3页,第3页,（,2,）,即,得,因此,第4页,第4页,（,3,）,令,得,由上知,可知,因此,第5页,第5页,5.2,电子在周期场中得势能,且,是常数。,试画出此势能曲线，并求此势能平均值。,解：,O,a,2a,3a,x,V(x),如图所表示，由于势能含有周期性，因此只在一个周期内求平均,第6页,第6页,即可，,于是得,第7页,第7页,5.3,用近自由电子模型求解上题，拟定晶体第一及第二个禁带,宽度。,解：,在布里渊区边界上，电子能量出现禁带，禁带宽度表示,式为,其中,是周期势场,V(x),付里叶级数系数，,求得。,第一禁带宽度为,该系数可由式,第8页,第8页,第二禁带宽度为,第9页,第9页,5.4,用紧束缚办法导出体心立方晶体,s,态电子能带,并求能带宽度。,解：,用紧束缚办法处理晶格,s,态电子，当只计及最近邻格点,互相作用时，,对体心立方晶格，取参考格点坐标为,（,0,，,0,，,0,）,，,则,8,个,最近邻格点坐标为,其能带表示式为,第10页,第10页,将上述,8,组坐标代入能带表示式，得,第11页,第11页,由余弦函数性质，用观测法即可断定，,当,时，,能带中能量取最小值,第12页,第12页,当,时，,能量取最大值,因而能带宽度为,第13页,第13页,5.5,由,N,格原子构成三维晶体（简朴晶格,),其孤立原子中,为正常数。,（,1,）试写出该晶体紧束缚近似波函数；,（,2,）证实上面写出紧束缚近似波函数含有布洛赫波函数,（,3,）对比阐明孤立原子电子和晶体中电子波函数及,电子基态波函数为,性质；,能量特性。,解：,（,1,）按紧束缚近似，三维晶体电子波函数为,第14页,第14页,一维晶体情况下，晶格常数,，,因此,又,得,（,2,）,按正交化平面波办法，三维晶体电子波函数为,第15页,第15页,对于一维晶体情况下，晶格常数,，,，,第16页,第16页,此处,若只取一项，则,第17页,第17页,5.6,一矩形晶格，原胞边长,，,（,1,）画出倒格子图；,（,2,）以广延图和简约图两种形式，画出第一布里渊区和,第二布里渊区；,（,3,）画出自由电子费密面。,(,设每个原胞有两个电子。）,解：,倒格子基矢为,(1),由于,第18页,第18页,以,如图,6-11,所表示,图中,“,。,”,代表倒格点。由图可见，,矩形晶格倒格子也是,矩形格子。,为基矢构成倒格子,第一区,第二区,第19页,第19页,（,2,）,其结果如图所表示。,、次近邻,连线中垂线可围成第一、第二布里渊区,(,如上图,),，这,是布里渊区广延图。,取任意倒格点,o,作为原点，由原点至其最近邻,如采用简约形式，将第二区移入第一区，,第20页,第20页,（,3,）,简约布里渊区面积,便有,2N,个状态。,而状态密度,当每个原胞有两个电子时，晶体电子总数为,设晶体共有,N,个原胞，计入自旋后，在简约布里渊区中,第21页,第21页,因此,这就是费米圆,半径，据此做出,费米圆如图所表示。,第22页,第22页,5.7,有一平面正六角形晶格，六角形两个平行对边间距为,（见图），试画出此晶体第一、第二、第三布里渊区。若,每个原胞有,2,个电子试画出其费米圆周。,解：,如图所表示，平面六角晶格,取六角形中心为坐标原点，,原胞也如图中画出。,每个原胞中包括有两个原子。,是一个复式格子。,基矢,可由下式给出,第23页,第23页,，可得到倒格基矢,在二维晶格下，取,其中,由,给出。,第24页,第24页,因此,依据倒格基矢就能够,画出个倒格点，从而,画出布里渊区如图。,当每个原子有,2,个电子,时，则二维晶格价,电子面密度为,第25页,第25页,可算出费米圆半径,由此能够画出自由电子,费米圆，如图中所表示。,考虑周期势场微扰，对自由电子费米圆作两点修正：,（,1,）在布里渊区边界线处发生分裂。（,2,）费米圆与布里渊区边界线间交角进行钝化。,第26页,第26页,5.8,平面正三角形晶格（见图），相邻原子间距为,a,。试求,（,1,）正格矢和倒格矢；,（,2,）画出第一布里渊区，并求此区域内接圆半径。,解：,（,1,）,正格原胞基矢,如图所表示取为,其中 和 是互相垂直,单位矢量。,第27页,第27页,取单位矢量 垂直于 和 ，则 和 构成体积,倒格原胞基矢为,（,2,）,选定一倒格点为原点，原点最近邻倒格矢有,6,个，它们,是,第28页,第28页,这,6,个倒格矢中垂线围成区间构成了两部分，以原点为对称心正六边形是第一布里渊区。,第一布里渊区内切圆半径为,第29页,第29页,5.9,证实：体心立方晶格第一布里渊区界面相应于,晶面布拉格反射。,证实：,对于一级反射，,n=1,则有,(1),式中，,d,为反射晶面族面间距，,为布拉格角。,在第一布里渊区边界面上，必有,依据布拉格衍射公式,第30页,第30页,此处,为被界面垂直平分倒格矢，,(2),令,(1)(2),两式右边相等，便得,(3),式中,a,为立方晶系晶格常数，,h,k,l,为晶面指数。,对于体心立方结构，其倒格子原胞是边长为,2/a,面心立方,格子，布里渊区则是从坐标原点到最近邻,12,个面心倒,格矢中垂面围成十二面体，这些倒格矢长度,由此得,第31页,第31页,正好等于面对角线长度二分之一，,即,于是从,(3),式给出,(4),依据衍射理论，对于体心立方格子，只有晶面指数之和为偶数,晶面族才干产生,1,级反射，因此从,(3)(4),两式容易看出，与布,里渊区边界面相相应反射晶面族面指数为,.,第32页,第32页,解：,(1),式中,和,分别为参考原子及其最近邻位矢。,在面心立方格子中，有,12,个最近邻。,=0,12,个最近邻坐标分别是,5.10,用紧束缚办法处理面心立方晶格,s,态电子，若只计最,近邻互相作用，试导出其能带表示式。,原点时，,晶体中,s,态电子能量表示为,若只计及最近邻互相作用，按照紧束缚近似所得结果，,当取参考原子为坐标,第33页,第33页,对于,s,态电子，原子与各个最近邻交迭积分皆相等，,，则从,(1),式得,令,第34页,第34页,第35页,第35页,5.11,证实：在三维晶格中，电子能量在,空间中含有,式中,为任一倒格矢。,周期性：,证实：,(1),波函数,含有下列性质：,(2),代表平移算符。,显然，平面波,可写成,按照布洛赫定理，在周期性势场中运动电子波函数,第36页,第36页,满足,(2),式，,为任意倒格矢。,因此，电子波函数应当是所有,线性叠加，即,(3),其中,。,对比,(1)(3),两式可知,(4),第37页,第37页,容易看出，,含有晶格周期性。,由,(4),式还可得到,其中,也为任一倒格矢。,令,，,则上式能够写成,(5),第38页,第38页,由,(1)(5),式，有,(6),即电子波函数在,空间含有平移对称性。,由薛定谔方程,结合,(6),式，马上得到,第39页,第39页,5.12,证实在任何能带中，波矢为,k,和波矢为,k,状态有相同,能量，即,这里,代表简约布里渊区中第,n,个能带态能量。,证实：,表示，电子波函数用,表示，,则薛定谔方程为,从布洛赫定理知道，波函数,若周期性势场用,第40页,第40页,代入薛定谔方程，并由,便可得到决定函数,方程：,(1),取,(1),式共轭复式，得,(2),第41页,第41页,若在,(1),式中用,代替,，则有,(3),比较,(2)(3),式可知，除了满足,之外，,显然有,可见，在任一能带,中，波矢为,相同能量。,和,两状态含有,第42页,第42页,5.13,证实：二维正方格子第一布里渊区角隅处一个自由,电子动能，比该区侧面中点处电子动能大倍。,对三维简朴立方晶格，其相应倍数是多少？,证实：,角隅处,C,和侧边中点处,A,波矢分别为,A,C,o,空间,中一个边长为,1/a,正方形,(,如图,),。,对边长为,a,二维正方格子,其第一布里渊区是,第43页,第43页,相应自由电子能量为,可见，,对于三维简朴立方,晶格，若晶格常数为,a,，,第一布里渊区是一个边,长为,1/a,立方体,(,如图,),，,。,A,C,o,此时,第44页,第44页,相应自由电子能量为,可见，,即对简朴立方晶格，第一布里渊区角隅,处一个自由电子能量等于侧面中点处能量,3,倍。,第45页,第45页,5.14,应用紧束缚近似证实，正交晶系能带可表示为,式中，,对已知晶体可视为常数；,是晶格常数。,证实：,(1),式中,分别代表参考原子及其最近邻原子位矢，,是位矢为,两原子,s,态电子波函数交迭积分。,在紧束缚近似条件下，,s,态布洛赫电子能带可表示为,第46页,第46页,取,，即以参考原子为坐标原点，,其六个最近邻坐标分别为,代入,(1),式，得,(2),注意到,和,两原子与原点距离相等，,应有,则对于简朴正交晶系，,第47页,第47页,同理,代入,(2),式，并应用尤拉公式进行化简即得,或统一表示为,第48页,第48页,5.15,设电子能谱仍和自由电子同样，试采用简约能区图形式，,粗略画出简朴立方晶格第一布里渊区及其六个近邻倒格点区域,内沿,方向电子,图。,解：,空间中一个边长为,1/a,简朴立方格子，如图所表示。,6,个最近邻倒格点，分别位于各邻近区域内，它们相应倒格,矢分别为,简朴立方晶格第一布里渊区是,取立方体中心倒格点为原点，它有,第49页,第49页,在简约能区图式表示法中，,所有电子波矢,都要变,换到第一布里渊区内。,为简,单计，本题计算只取原点,o,和界面上点,A,B,。,这样，,设,可取,方向上所有,也许值，其相应能量为,第50页,第50页,于是，第一区及其邻近区域内沿,方向,Ek,图可分别求出,下列：,(1),第一布里渊区,据此可作略图，如图中,曲线。,图中,取作能量单位。,第51页,第51页,(2),各邻近区域,当,时，则,作略图如曲线,。,第52页,第52页,当,时，则,作略图如曲线,。,第53页,第53页,当,时，则,作略图如曲线,。,当,和,时，,所得曲线,与曲线,重叠。,第54页,第54页,当,时，有,作略图如曲线,。,第55页,第55页,5.16,设有晶格常数为,a,、,2a,、,3a,简朴正交晶格，试求：,（,1,）简约布里渊区图形及体积；,（,2,）在自由电子近似下，费密面与简约布里渊区各边界面相切时所相应价电子数与原子数之比；,（,3,）若该晶体费密面正好是与简约布里渊区各边界面相切椭球面，求该晶体价电子数与原子数之比。,解：,（,1,）令简朴正交晶格三个晶轴分别为,X,、,Y,、,Z,轴，则,它基矢可写成,第56页,第56页,可求出它倒格子基矢,由此倒格矢可写成,而布里渊区边界面由式,给出,第57页,第57页,即,取最短几种倒格矢，得到相应边界面可列表下列：,第58页,第58页,边界面方程,边界面方程,从上面平面方程中，能够看到离原点最近几种面是上表中,列出最前面三个方程所表示六个平面。,这六个平面围成,一个长方体如图所表示，这就是该晶格第一布里渊区，,它,第59页,第59页,体积是,（,2,）在自由电子近似下，费米面为球面。,当费米面与第一布里渊区,三对平面相切时半径分别为,（,1,）,第60页,第60页,由,式可得各情况下相应电子密度,每个原胞体积,依据以上几式可求出各个原胞内所含自由电子数,（,2,）,第61页,第61页,由于简朴正交格子是简朴格子，因此每个原胞中只包括一个,原子，因而上面算得,即分别是三种情况下,自由电子数与原子数之比。,（,3,）,假如费米面是与简约布里渊区各个边界面相切椭球,面，则它费米面方程可写成,第62页,第62页,这里,分别是椭球三个主轴长度，由（,2,）给出。,椭球,中能够有,个轨道状态。,考虑自旋，则在椭球费米面内可容纳电子数为,因此晶体电子密度为,（,3,）,第63页,第63页,每个原胞所含电子数即为,由于简朴正交格子是简朴格子，每个原胞只含一个原子，因此,也即是自由电子数与原子数之比。,为了得到,值，必须,知道椭球体积 。,为此。令,（,5,）,由（,3,）、（,5,）两式可知,（,4,）,第64页,第64页,即变成一个半径为,r,球面方程，它体积为,在作（,5,）式变换时，相相应体积变换关系为,因此,第65页,第65页,把上式代入（,4,）式，并利用（,1,）、（,2,）式，即可得晶体中,自由电子数与原子数之比,第66页,第66页,5.17,体心立方晶格，原子总数为,N,。假设电子等能面为球面，,试求：当费密面正好与第一布里渊区界面相切时，第一布里,渊区实际填充电子数。,解：,因此，在第一布里渊区内实际填充电子数应等于同布里渊区边界面相切费米球内所容纳电子数。,设体心立方晶格常数为,a,，则其倒格子是边长为,2/a,面心立,量相称于等能面和布里渊区边界面相切处能量。,在电子等能面是球面情况下，第一布里渊区内最高能,相切费米球半径,R,将等于布里渊区中心到最近邻面心距离,方格子，,第一布里渊区是一个十二面体，同布里渊区边界面,第67页,第67页,之半，即等于面心立方格子面对角线,1/4,，,因而,另一方面，在体心立方晶格中，每个晶胞包括两个原子，,每个原子平均占有体积,，,包括,N,个原子晶体总体积,由于,空间中状态密度为,2V,，,那么，费米球内容纳电子数,第68页,第68页,(a),(b),5.18 下面两种平面格子是布菲格子还是复式格子,?,其固体物理学原胞如何选取,?,平均每个固体物理学原胞包括几种结点,?,答,:,(a),是布喇菲格子,(b),是复式格子,平均每个固体物理学原胞包括,1,个结点,.,或,第69页,第69页,第70页,第70页,第71页,第71页,二维六方晶格前十个布里渊区,第72页,第72页,二维六方晶格前十个布里渊区简约区图,第73页,第73页,5.19 求自由电子费密半径,k,F,法二,:,设晶体有,N,个原胞,每个原胞有,个价电子,每个布里渊区中波矢状态数为,N,个,每个波矢状态可容纳2个电子,因此在波矢空间电子状态密度,间电子状态数:,在,T=0K,时,自由电子等能面为球面,法一,:,第74页,第74页,二维,:,三维,:,一维,:,第75页,第75页,