工学离散时间信号与离散时间系统.pptx

单击此处编辑母版标题样式,X,2019/10/26,信息学科立体化教材,#,1,第,2,章 离散时间信号与离散时间系统,2.1,离散时间信号,2.2,离散时间系统,2.3,离散时间信号和系统的频域描述,2.4,连续信号的抽样,2.5,离散时间信号的抽样,2.6,序列的抽取与插值,2,2.1,离散时间信号,2.1.1,几种常用序列,2.1.2,序列的周期性,2.1.3,用单位脉冲序列来表示任意序列,2.1.4,序列的运算,2.1.5,序列的能量,3,2.1,离散时间信号,离散时间信号(序列),离散时间信号只在离散时间上给出函数值，是时间上不连续的序列。离散时间信号在数学上可用时间序列,n,来表示，,n,的取值范围为整数，,n,取其他值没有意义。,离散时间信号可以是由模拟信号通过采样得到，例如对模拟信号进行等间隔采样，,在数值上与模拟信号的关系为,4,2.1,离散时间信号,离散时间信号的时域表示,离散时间信号可以用公式表示,离散时间信号还可以用集合符号,.,表示,5,2.1,离散时间信号,离散时间信号也可以用图形表示,x,(,n,),x,(3),x,(1),x,(4),x,(-4),x,(-3),x,(-2),x,(2),x,(-1),x,(0),-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4,n,6,2.1.1,几种常用序列,1.,单位脉冲序列（单位抽样）,(,n,),1,-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4,n,7,2.1.1,几种常用序列,2.,单位阶跃序列,和 的关系为,-3 -2 -1 0 1 2 3 4 5,n,u,(,n,),1,8,2.1.1,几种常用序列,3.,矩形序列,和 、的关系为：,0 1 2 3,N-,1,n,R,N,(,n,),1,9,2.1.1,几种常用序列,4.,实指数序列,式中，,a,为实数。当,|,a,|1,时，序列是发散的。,a,为负数时，序列是摆动的。,a,2,0 1 2 3 4,n,a,n,u,(,n,),a,4,a,3,a,1,10,2.1.1,几种常用序列,5.,复指数序列,或,它具有实部和虚部，,0,是复正弦的数字域频率。,如果用极坐标表示，则,因此,11,2.1.1,几种常用序列,6.,正弦型序列,式中：,A,为幅度，,0,为数字域的频率，它反映了序列变化的速率，,为起始相位。,12,2.1.1,几种常用序列,7.,用,MATLAB,产生离散信号的函数,MATLAB,中许多函数都可用来产生离散信号，例如三角函数、指数函数、,rand,函数等，关于这些函数的用法可参见,MATLAB,中的,help,。这里主要介绍信号处理中的专用函数。,(1),单位脉冲函数,单位脉冲序列的产生函数如下：,13,2.1.1,几种常用序列,function x,n=impseq(n0,n1,n2),%,产生,x(n)=delta(n-n0);n1=n,n0 n2),error(,参数必须满足,n1=n0=n2),end,n=n1:n2;,%x=zeros(1,(n0-n1),1,zeros(1,(n2-n0);,x=(n-n0)=0;,14,2.1.1,几种常用序列,(,2),单位阶跃函数,单位阶跃序列的产生函数如下：,function x,n=stepseq(n0,n1,n2),%,产生,x(n)=u(n-n0);n1=n,n0 n2),error(,参数必须满足,n1=n0=0;,15,2.1.1,几种常用序列,例,2.1,用,MATLAB,产生各种离散序列。,解,MATLAB,程序如下：,n=-5:5;,x1=impseq(0,-5,5);,subplot(2,2,1);stem(n,x1);title(,单位脉冲序列,),xlabel(n);ylabel(x(n);,n=0:10;,x2=stepseq(0,0,10);,subplot(2,2,2);stem(n,x2);title(,单位阶跃序列,);,xlabel(n);ylabel(x(n);,16,2.1.1,几种常用序列,n=0:10;,x3=stepseq(0,0,10)-stepseq(5,0,10);,subplot(2,2,3);stem(n,x3);title(,矩形序列,);,xlabel(n);ylabel(x(n);,n=0:20;,x4=sin(0.3*n);,subplot(2,2,4);stem(n,x4);title(,正弦序列,);,xlabel(n);,ylabel(x(n);,17,2.1.1,几种常用序列,18,2.1.1,几种常用序列,例,2.2,用,MATLAB,产生复指数序列。,解,MATLAB,程序如下：,n=0:1:20;,alpha=-0.1+0.5j;,x=exp(alpha*n);,subplot(2,2,1);,stem(n,real(x);,title(,实部,);,xlabel(n),19,2.1.1,几种常用序列,subplot(2,2,3);,stem(n,imag(x);,title(,虚部,);,xlabel(n),subplot(2,2,2);,stem(n,abs(x);,title(,振幅,);,xlabel(n),subplot(2,2,4);,stem(n,(180/pi)*angle(x);,title(,相位,);,xlabel(n),20,2.1.1,几种常用序列,21,2.1.2,序列的周期性,如果对所有,n,存在一个最小的正整数,N,，使下面等式成立：,则称序列,x,(,n,),为周期性序列，周期为,N,。,下面讨论正弦序列的周期性。设,则,若 为整数时，则,根据周期序列的定义可知，这时正弦序列为周期序列，其周期满足 （,N,、,k,必须为整数）。,22,2.1.2,序列的周期性,（,1,）当 为整数时，,k,=1,，正弦序列是以 为周期的周期序列。,例如，这里,，所以它是一个周期序列，最小周期为,N,=10,，,1,0,n,x,(,n,)=,sin,(,0,n,),23,2.1.2,序列的周期性,（,2,）当 为有理数时，设,其中，,k,，,N,为互素的整数，则 为最小正整数，此时正弦序列为周期序列，其周期将大于 。,（,3,）当 是无理数时，则任何整数,k,都不能使,N,为正整数，这时正弦序列不是周期序列。,24,2.1.3,用单位脉冲序列来表示任意序列,任意序列都可以表示成单位脉冲序列的移位加权和，即,例如,可表示成,25,2.1.4,序列的运算,序列的运算包括移位、反褶、和、积、标乘、累加、差分运算等。,1.,移位,移位序列,y,(,n,),为,当,m,为正时，,x,(,n,-,m,),则是指序列逐项依次延时（右移）,m,位而给出的一个新序列，当,m,为负时，,x,(,n,-,m,),是指依次超前（左移）,m,位。,26,2.1.4,序列的运算,2.,反褶,序列的反褶是将序列以,n,=0,的纵轴为对称轴进行对褶。,27,2.1.4,序列的运算,3.,和,两序列的和是指同序号,n,的序列值逐项对应相加而构成的一个新序列。和序列,y,(,n,),可表示为,28,2.1.4,序列的运算,4.,积,两序列相乘是指同序号,n,的序列值逐项对应相乘。乘积序列,y,(,n,),可表示为,29,2.1.4,序列的运算,5.,标乘,序列,x,(,n,),的标乘是指,x,(,n,),的每个序列值乘以常数,a,。标乘序列,y,(,n,),可表示为,30,2.1.4,序列的运算,6.,累加,设某序列为,x,(,n,),，则,x,(,n,),的累加序列,y,(,n,),定义为,它表示,y,(,n,),在某一个,n,0,上的值,y,(,n,0,),等于在这一个,n,0,上的值,x,(,n,0,),与以前所有,n,上的值,x,(,n,),之和。,31,2.1.4,序列的运算,7.,差分运算,前向差分,后向差分,比较以上两式，显然有,32,2.1.4,序列的运算,8.,用,MATLAB,实现序列的运算,(1),两个序列相加减,function y,n=sigadd(x1,n1,x2,n2),%,实现,y(n)=x1(n)+x2(n),%y,n=sigadd(x1,n1,x2,n2),%y=,在包含,n1,和,n2,的,n,点上求序列和,%x1=,在,n1,上的第一序列,%x2=,在,n2,上的第二序列,(n2,可与,n1,不等,),33,2.1.4,序列的运算,n=min(min(n1),min(n2):max(max(n1),max(n2);,%y(n),的长度,y1=zeros(1,length(n);y2=y1;%,初始化,y1(find(n=min(n1),%,具有,y,的长度的,x1,y2(find(n=min(n2),%,具有,y,的长度的,x2,y=y1+y2;%,序列相加,.,34,2.1.4,序列的运算,(2),两个序列相乘,function y,n=sigmult(x1,n1,x2,n2),%,实现,y(n)=x1(n)*x2(n),%y,n=sigmult(x1,n1,x2,n2),%y=,在,n,区间上的乘积序列,n,包含,n1,和,n2,%x1=,在,n1,上的第一序列,%x2=,在,n2,上的第二序列,(n2,可与,n1,不等,),35,2.1.4,序列的运算,n=min(min(n1),min(n2):max(max(n1),max(n2);%y(n),的长度,y1=zeros(1,length(n);y2=y1;%,初始化,y1(find(n=min(n1)%,具有,y,的长度的,x1,y2(find(n=min(n2)%,具有,y,的长度的,x2,y=y1.*y2;%,序列相乘,36,2.1.4,序列的运算,(3),序列移位运算,function y,n=sigshift(x,m,n0),%,实现,y(n)=x(n-n0),%y,n=sigshift(x,m,n0),n=m+n0;y=x;,37,2.1.4,序列的运算,(4),序列折叠运算,function y,n=sigfold(x,n),%,实现,y(n)=x(-n),%y,n=sigfold(x,n),y=fliplr(x);n=-fliplr(n);,38,2.1.4,序列的运算,例,2.3,用,MATLAB,实现两序列相乘和相加。,解,MATLAB,程序如下：,clc;,clear;,x1=0,1,2,3,4,3,2,1,0;n1=-2:6;,x2=2,2,0,0,0,-2,-2;n2=2:8;,y1,n=sigmult(x1,n1,x2,n2);,y2,n=sigadd(x1,n1,x2,n2);,subplot(2,2,1);stem(n1,x1);title(,序列,x1),xlabel(n);ylabel(x1(n);,39,2.1.4,序列的运算,subplot(2,2,2);stem(n2,x2);title(,序列,x2),xlabel(n);ylabel(x2(n);,subplot(2,2,3);stem(n,y1);title(,两序列相乘,),xlabel(n);ylabel(y1(n);,subplot(2,2,4);stem(n,y2);title(,两序列相加,),xlabel(n);ylabel(y2(n);,40,2.1.4,序列的运算,41,2.1.4,序列的运算,例,2.4,用,MATLAB,实现序列的移位和折叠。,解,MATLAB,程序如下：,x1=0,1,2,3,4,3,2,1,0;n1=-2:6;,y1,n2=sigshift(x1,n1,2);,y2,n3=sigfold(x1,n1);,subplot(3,1,1);stem(n1,x1);title(,序列,x1),xlabel(n);ylabel(x1(n);,subplot(3,1,2);stem(n2,y1);title(,序列移位,),xlabel(n);ylabel(y1(n);,subplot(3,1,3);stem(n3,y2);title(,序列折叠,),xlabel(n);ylabel(y2(n);,42,2.1.4,序列的运算,43,2.1.5,序列的能量,序列,x,(,n,),的能量,E,定义为序列各抽样值的平方和，即,44,2.2,离散时间系统,一个离散时间系统是将输入序列变换成输出序列的一种运算。若以函数来表示这种运算，则一个离散时间系统可由下图来表示：,输出与输入之间关系用下式表示,离散时间系统中最重要、最常用的是线性时不变系统。,T,45,2.2,离散时间系统,2.2.1,线性时不变系统,2.2.2,单位脉冲响应与卷积,2.2.3,系统的因果性和稳定性,2.2.4,线性常系数差分方程,46,2.2.1,线性时不变系统,1.,线性性质,线性性质表现为系统满足线性叠加原理，即若某一输入是由,N,个信号的加权和组成，则输出就是系统对这,N,个信号中每一个的响应的同样加权和组成。设,x,1,(,n,),和,x,2,(,n,),分别作为系统的输入序列，其输出分别用,y,1,(,n,),和,y,2,(,n,),表示，即,若满足 ，则该系统服从线性叠加原理，或者称该系统为线性系统。,47,2.2.1,线性时不变系统,例,2.5,证明 所表示的系统不是线性系统。,证明 因为,显然,故此系统不是线性系统。,48,2.2.1,线性时不变系统,2.,时不变特性,若系统的变换关系不随时间变化，或者说系统的输出随输入的移位而相应移位但形状不变，则称该系统为时不变系统（或称为移不变系统）。对时不变系统，若,则,49,2.2.1,线性时不变系统,例,2.6,证明 所表示的系统不是时不变系统。,证明 因为,及,所以,故此系统不是时不变系统。,同时具有线性和时不变性的离散时间系统称为线性时不变（,Linear Time Invariant LTI,）离散时间系统，简称,LTI,系统。,50,2.2.2,单位脉冲响应与卷积,设系统输入,x,(,n,)=,(,n,),，系统输出的初始状态为零，这时系统输出用,h,(,n,),表示，即,h,(,n,)=,T,(,n,),则称,h,(,n,),为系统的单位脉冲响应。也就是说单位脉冲响应,h,(,n,),是系统对,(,n,),的零状态响应，它表征了系统的时域特征。,对任意输入信号,x,(,n,),，系统输出为,51,2.2.2,单位脉冲响应与卷积,1.,卷积的性质,(1),交换律,由于卷积与两卷积序列的次序无关，故,这说明，对于线性时不变系统，输入和单位脉冲响应两者互换位置后，输出保持不变，如图所示。,y,(,n,),x,(,n,),h,(,n,),y,(,n,),h,(,n,),x,(,n,),=,52,2.2.2,单位脉冲响应与卷积,(2),结合律,可以证明卷积运算服从结合律，即,这说明，两个线性时不变系统级联后仍构成一个线性时不变系统，其单位脉冲响应为原来两个系统的单位脉冲响应的卷积，且与级联次序无关。,53,2.2.2,单位脉冲响应与卷积,(,3),分配律,卷积满足以下关系：,这说明，并联的两个线性时不变系统可以等效成一个系统，其单位脉冲响应等于原来两个系统单位脉冲响应之和。,54,2.2.2,单位脉冲响应与卷积,2.,卷积的计算,卷积可直接按卷积公式来计算，包括以下,4,个步骤。,(1),反褶：先将,x,(,n,),和,h,(,n,),的变量,n,换成,m,，变成,x,(,m,),和,h,(,m,),，再将,h,(,m,),以纵轴为对称轴反褶成,h,(-,m,),。,(2),移位：将,h,(-,m,),移位,n,，得,h,(,n,-,m,),。当,n,为正数时，右移,n,位；当,n,为负数时，左移,n,位。,(3),相乘：将,h,(,n,-,m,),和,x,(,m,),的对应点值相乘。,(4),求和：将以上所有对应点的乘积累加起来，即得,y,(,n,),。,计算线性卷积时，一般要分几个区间分别加以考虑。,55,2.2.2,单位脉冲响应与卷积,例,2.8,已知,x,(,n,),和,h,(,n,),分别为,试求,x,(,n,),和,h,(,n,),分段的线性卷积。,解 卷积的图解表示可见图。分段计算如下：,56,2.2.2,单位脉冲响应与卷积,(,1),当时,n,1,，,h,(,n,-,m,),和,x,(,m,),无交叠，相乘处处为零，故,(2),当,1,n,2,时，,h,(,n,-,m,),和,x,(,m,),有交叠项，从,m,=1,到,m,=,n,，故,(3),当,3,n,5,时，,h,(,n,-,m,),和,x,(,m,),有交叠项，上限为,3,，下限为,n,-2,，故,(4),当,n,6,时，,h,(,n,-,m,),和,x,(,m,),无交叠，相乘处处为零，故,57,h,(-1-,m,),1,-3 -2 -1 0 1 2,m,n,=-10,右移,y,(,n,),3,0 1 2 3 4 5 6,n,58,2.2.2,单位脉冲响应与卷积,3.,用,MATLAB,实现序列的卷积,用,MATLAB,实现序列卷积的函数如下：,function y,ny=conv_m(x,nx,h,nh),%,信号处理的改进卷积程序,%y,ny=conv_m(x,nx,h,nh),%y=,卷积结果,%ny=y,的基底,(support),%x=,基底,nx,上的第一个信号,%nx=x,的支架,%h=,基底,nh,上的第二个信号,%nh=h,的基底,nyb=nx(1)+nh(1);nye=nx(length(x)+nh(length(h);,ny=nyb:nye;,y=conv(x,h);,59,2.2.2,单位脉冲响应与卷积,例,2.9,用,MATLAB,实现例,2.8,。,解,MATLAB,程序如下：,x=0 0.5 1 1.5 0;nx=0:4;,h=1 1 1 0 0;nh=0:4;,y,ny=conv_m(x,nx,h,nh);,subplot(2,2,1);stem(nx,x);title(,序列,x),xlabel(n);ylabel(x(n);,subplot(2,2,2);stem(nh,h);title(,序列,h),xlabel(n);ylabel(h(n);,subplot(2,2,3);stem(ny,y);title(,两序列卷积,),xlabel(n);ylabel(y(n);,60,2.2.2,单位脉冲响应与卷积,61,2.2.3,系统的因果性和稳定性,1.,系统的因果性,系统的因果性即系统的可实现性。如果系统,n,时刻的输出取决于,n,时刻及,n,时刻以前的输入，而和,n,时刻以后的输入无关，则该系统是可实现的，是因果系统。如果,n,时刻的输出还和,n,时刻以后的输入有关，在时间上违背了因果性，系统无法实现，该系统是非因果系统。,除了利用因果性的概念判断系统是否是因果系统外，还可以用系统的单位脉冲响应判断。系统具有因果性的充要条件是,62,2.2.3,系统的因果性和稳定性,2.,系统的稳定性,稳定系统是指有界输入产生有界输出（,BIBO,）的系统。如果对于输入序列,x,(,n,),，存在一个不变的正有限值,M,，对于所有,n,值满足,则称该输入序列是有界的。稳定性要求对于每个有界输入存在一个不变的正有限值,K,，对于所有,n,值，输出序列满足,系统稳定的充分必要条件是系统的单位脉冲响应绝对可和，用公式表示为,63,2.2.3,系统的因果性和稳定性,例,2.10,若一个线性时不变系统的单位脉冲响应为,讨论系统的因果性和稳定性。,解,(1),因果性,因为在,n,0,时，,h,(,n,)=0,，故此系统为因果系统。,(2),稳定性,所以,|,a,|1,时此系统稳定，,|,a,|,1,时此系统不稳定。,64,2.2.4,线性常系数差分方程,对于模拟系统，我们知道由微分方程描述系统输出输入之间的关系。对于时域离散系统，则用差分方程描述或研究输出输入之间的关系。对于线性时不变系统，经常用的是线性常系数差分方程。,线性常系数差分方程的一般形式为,所谓常系数是指 和 是由系统结构决定的常数，不随时间的改变而改变。差分方程的阶数用方程中,y,(,n,-,k,),项中,k,的最大值与最小值之差确定。,65,2.2.4,线性常系数差分方程,求解线性常系数差分方程有三种方法，即经典解法、递推方法和,Z,变换方法。经典解法类似于模拟系统中的微分方程的解法，比较复杂，在数字信号处理中很少使用，这里不做介绍。,Z,变换方法在后面章节中学习。本章仅介绍递推方法。,差分方程在给定的输入和给定的初始条件下，可用递推迭代的办法求系统的响应。如果输入是单位脉冲序列,(,n,),，输出响应就是单位脉冲响应,h,(,n,),。,66,2.2.4,线性常系数差分方程,例,2.11,已知系统的差分方程,试求其单位脉冲响应，初始条件为,解 设,x,(,n,)=,(,n,),，输出,y,(,n,),就是,h,(,n,),上式可变为,可得,依次迭代求得,67,2.2.4,线性常系数差分方程,故系统的单位脉冲响应为,这样的系统相当于因果系统，如果,|,a,|0),，向,n,1,，则系统是稳定的。,69,2.2.4,线性常系数差分方程,MATLAB,信号处理工具箱中提供的,filter,函数，可以实现线性常系数差分方程的递推解法，调用格式如下：,y,=filter(,b,a,x,xi,);,其中,x,是输入信号向量，,b,和,a,是系统差分方程的系数矩阵，即,b,=,b,0,b,1,b,M,和,a,=,a,0,a,1,a,N,，,a,0=1,。,xi,是和初始条件有关的向量，用函数,xi,=filtic(,b,a,ys,xs,),得到，其中,ys,和,xs,是初始条件向量，即,ys,=,y,(-1),y,(-2),.,，,xs,=,x,(-1),x,(-2),.,。如果是因果序列，则,xs,=0,。,用函数,filter(,b,a,x,xi,),计算输出,y,，如果和输入信号和系统的初始状态有关，称为系统的零输入响应。如果系统的输入条件为零，就默认,xi,=0,，调用格式为,y,=filter(,b,a,xi,),。,70,2.2.4,线性常系数差分方程,例,2.12,用,MATLAB,计算差分方程,当输入序列为,x,(,n,)=,(,n,),时的输出结果,y(n),0,n,30,。,71,2.2.4,线性常系数差分方程,解,MATLAB,程序如下：,N=31;,b=0.8-0.44 0.36 0.22;,a=1 0.7-0.45-0.6;,x=1 zeros(1,N-1);,k=0:1:N-1;,y=filter(b,a,x);,stem(k,y),xlabel(n);ylabel(,输出,y(n),72,2.2.4,线性常系数差分方程,73,2.2.4,线性常系数差分方程,例,2.13,用,MATLAB,计算差分方程,当输入为,x,(,n,)=,(,n,),，初始条件,y,(-1)=1,，求输出结果,y(n),0,n,30,。,74,2.2.4,线性常系数差分方程,解,MATLAB,程序如下：,N=31;,a=1-0.8;ys=1;,b=1;,x=1 zeros(1,N-1);,xi=filtic(b,a,ys);,k=0:1:N-1;,y=filter(b,a,x,xi);,stem(k,y),xlabel(n);,ylabel(,输出,y(n),75,2.2.4,线性常系数差分方程,76,2.3,离散时间信号和系统的频域描述,2.3.1,离散时间信号的傅立叶变换,2.3.2,离散时间信号的傅立叶变换性质,2.3.3,序列傅立叶变换的对称性,2.3.4,离散时间系统的频率响应,77,2.3.1,离散时间信号的傅立叶变换,离散时间信号,x,(,n,),的傅立叶变换定义为,X,(,e,j,),的傅立叶反变换为,在物理意义上，,X,(,e,j,),表示序列的频谱，,为数字域频率。,X,(,e,j,),一般为,的复变函数，可表示为,78,2.3.1,离散时间信号的傅立叶变换,其中，,X,R,(,e,j,),，,X,I,(,e,j,),分别为,X,(,e,j,),的实部和虚部，通常称,|,X,(,e,j,)|,为幅频特性或幅度谱，而,(,)=arg,X,(,e,j,),称为相频特性或相位谱，并且有,79,2.3.1,离散时间信号的傅立叶变换,例,2.14,求矩形序列的傅立叶变换,解,其幅度谱和相位谱分别为,80,2.3.1,离散时间信号的傅立叶变换,0,2,2,2,/,N,|,X,(e,j,)|,N,0,(,N,=5),81,2.3.1,离散时间信号的傅立叶变换,离散时间信号的傅立叶变换具有以下两个特性：,(1),X,(,e,j,),是,的周期函数，周期为,2,。由于,e,-j,n,=,e,j,(,+2,),n,，故有,(2),当,x,(,n,),为实序列时，,X,(,e,j,),的幅值,|,X,(,e,j,)|,在区间,0,2,内是偶对称函数，相位,arg,X,(,e,j,),是奇对称函数。,82,2.3.1,离散时间信号的傅立叶变换,利用,MATLAB,可以实现离散时间信号的傅立叶变换，并绘出幅频特性和相频特性曲线，其,MATLAB,函数如下,function X,magX,angX=FourierTran(x,n,dot),%,计算离散序列的付立叶变换,%X,magX,angX=FourierTran(x,n),%,或,X,magX,angX=FourierTran(x,n,dot),if nargin 3,dot=600;,end,k=-dot:dot;,w=(pi/dot)*k;,83,2.3.1,离散时间信号的傅立叶变换,X=x*(exp(-j).(n*w);,magX=abs(X);,argX=angle(X);,subplot(211);,plot(w/pi,magX);,xlabel(,频率,(,单位,pi);ylabel(|X(e jomega)|);,title(,幅频特性,);,subplot(212);,plot(w/pi,argX/pi);,xlabel(,频率,(,单位,pi);ylabel(,弧度,/pi);,title(,相频特性,);,84,2.3.1,离散时间信号的傅立叶变换,例,2.15,用,MATLAB,实现例,2.14,序列的傅立叶变换,解,MATLAB,程序如下,x=1,1,1,1,1;n=0:4;,FourierTran(x,n);,85,2.3.1,离散时间信号的傅立叶变换,86,2.3.2,离散时间信号的傅立叶变换性质,1.,序列的傅立叶变换的线性,如果序列,x,(,n,),和,y,(,n,),的傅立叶变换分别为,X,(,e,j,),和,y,(,e,j,),，即,则对任何常数,a,和,b,有,87,2.3.2,离散时间信号的傅立叶变换性质,2.,序列的移位,如果,则,即时间的移位，导致频域相移。,88,2.3.2,离散时间信号的傅立叶变换性质,3.,频域的相移,如果,则,即频域的相移相当于对序列进行了调制。,89,2.3.2,离散时间信号的傅立叶变换性质,4.,序列的反褶,如果,则,90,2.3.2,离散时间信号的傅立叶变换性质,5.,序列乘以,n,如果,则,91,2.3.2,离散时间信号的傅立叶变换性质,6.,序列的共轭,如果,则,92,2.3.2,离散时间信号的傅立叶变换性质,7.,序列的卷积,如果,则,93,2.3.2,离散时间信号的傅立叶变换性质,8.,序列相乘（频域卷积）,如果,则,94,2.3.3,序列傅立叶变换的对称性,若序列,x,e,(,n,),满足,则称序列,x,e,(,n,),为共轭对称序列。对于实序列来说，这一条件就变成,x,e,(,n,),=,x,e,(-,n,),，即,x,e,(,n,),为偶对称序列。,若序列,x,o,(,n,),满足,则称序列,x,o,(,n,),为共轭反对称序列。对于实序列来说，这一条件就变成,x,o,(,n,),=-,x,o,(-,n,),，即,x,o,(,n,),为奇对称序列。,95,2.3.3,序列傅立叶变换的对称性,任一序列均可表示成一个共轭对称序列和一个共轭反对称序列之和，即,其中,序列的傅立叶变换也可分解成共轭对称分量与共轭反对称分量之和，即,其中,96,2.3.3,序列傅立叶变换的对称性,分别是共轭对称的与共轭反对称的，即,与序列情况一样，若傅立叶变换,X,(,e,j,),是实函数，且满足共轭对称，则它是频率的偶函数，即,X,(,e,j,)=,X,(,e,-j,),。若,X,(,e,j,),是实函数，且满足共轭反对称，则它是频率的奇函数，即,X,(,e,j,)=-,X,(,e,-j,),。,97,2.3.3,序列傅立叶变换的对称性,设序列,x,(,n,),的傅立叶变换为,X,(,e,j,),，根据前面介绍的性质得，,x*,(,n,),的傅立叶变换为,X*,(,e,-j,),，,x*,(-,n,),的傅立叶变换为,X*,(,e,j,),。由此可得到的实部和虚部的傅立叶变换分别为,这表明序列,x,(,n,),实部的傅立叶变换,X,R,(,e,j,),具有共轭对称性质，而其虚部（包括,j,在内）的傅立叶变换,X,o,(,e,j,),具有共轭反对称性质。,98,2.3.3,序列傅立叶变换的对称性,序列,x,(,n,),的共轭对称分量和共轭反对称分量的傅立叶变换为,这表明序列,x,(,n,),共轭对称部分的傅立叶变换对应于的,X,(,e,j,),实部，而共轭反对称部分的傅立叶变换对应于的,X,(,e,j,),虚部（包括,j,在内）。,如果,x,(,n,),是实序列，则这些性质将变得特别地简单和有用。这时序列的傅立叶变换是共轭对称的，即,所以，实序列的傅立叶变换的实部是,的偶函数，而虚部是,的奇函数。,99,2.3.3,序列傅立叶变换的对称性,利用,MATLAB,可以将实信号分解为偶和奇两部分，其函数如下,function xe,xo,m=evenodd(x,n),%,实信号分解为偶和奇两部分,%xe,xo,m=evenodd(x,n),if any(imag(x)=0),error(x,不是实序列,),end,100,2.3.3,序列傅立叶变换的对称性,m=-fliplr(n);,m1=min(m,n);m2=max(m,n);m=m1:m2;,nm=n(1)-m(1);n1=1:length(n);,x1=zeros(1,length(m);,x1(n1+nm)=x;x=x1;,xe=0.5*(x+fliplr(x);,xo=0.5*(x-fliplr(x);,101,2.3.3,序列傅立叶变换的对称性,例,2.16,用,MATLAB,将实信号分解为偶和奇两部分,解,MATLAB,程序如下,n=0:10;,x=stepseq(0,0,10)-stepseq(10,0,10);,xe,xo,m=evenodd(x,n);,subplot(2,2,1);stem(n,x);title(,矩形脉冲,),xlabel(n);ylabel(x(n);,subplot(2,2,2);stem(m,xe);title(,偶部,),xlabel(n);ylabel(xe(n);,subplot(2,2,4);stem(m,xo);title(,奇部,),xlabel(n);ylabel(xo(n);,102,2.3.3,序列傅立叶变换的对称性,103,2.3.4,离散时间系统的频率响应,设输入序列是频率为,的复指数序列，即,线性时不变系统的单位脉冲响应为,h,(,n,),，利用卷积公式，得到输出为,其中 称为系统的频率响应。,分别称为系统的幅度响应和相位响应。,104,2.3.4,离散时间系统的频率响应,有了系统频率响应的概念，现在，对线性时不变系统，可以建立任意输入情况下，输入和输出两者的傅立叶变换间的关系。对卷积公式,y,(,n,)=,x,(,n,),h,(,n,),两端取傅立叶变换，并利用傅立叶变换的性质得到,对于线性时不变系统，其输出序列的傅立叶变换等于输入序列的傅立叶变换与系统频率响应的乘积。,105,2.3.4,离散时间系统的频率响应,例,2.17,求具有下列单位脉冲响应的系统频率响应。,解,幅度响应,相位响应,106,2.3.4,离散时间系统的频率响应,|,H,(e,j,)|,3,/2,/2,1/(1+,a,),1/(1-,a,),2,0,arg,H,(e,j,),2,0,107,2.4,连续信号的抽样,离散时间信号通常是由连续时间信号经周期抽样得到的。抽样就是利用周期性抽样脉冲序列,p,(,t,),，从连续信号,x,a,(,t,),中抽取一系列的离散值，得到抽样信号即离散时间信号，以表示,x,a,(,t,),。抽样是模拟信号数字化处理的第一环节。,x,a,(,t,),再经幅度量化编码后即得到数字信号。,完成抽样功能的器件称为抽样器，抽样器可以看成是一个电子开关。开关每隔,T,秒闭合一次，便得到一个输出抽样值。在理想情况下，开关闭合时间无穷短。对实际抽样，闭合时间是,秒，但,T,。,108,2.4,连续信号的抽样,p,(,t,),p,(,t,),(,d,),T,T,0,0,0,0,t,t,t,x,a,(,t,),0,t,t,x,a,(,t,),电子开关,(,a,),(,b,),(,c,),(,e,),(,f,),109,2.4,连续信号的抽样,1.,理想抽样,设模拟信号,x,a,(,t,),，冲激函数序列,T,(,t,),以及抽样信号,x,a,(,t,),的傅立叶变换分别为,X,a,(,j,),、,M,(,j,),和,X,a,(,j,),，可以推导出傅立叶变换的关系。,110,2.4,连续信号的抽样,从上式可以看出，一个连续信号经过理想抽样后，其频谱将以抽样频率,s,=2/,T,为间隔周期重复，这就是频谱产生的周期延拓，如图所示。注意，频谱大都是复数，图中仅画出了其幅度谱。也就是说，理想抽样信号的频谱，是频率的周期函数，其周期为,s,，而频谱的幅度与原信号的频谱相差一个常数因子,1/,T,。所以除一个常数因子的区别外，每一个延拓的谱分量与原信号的频谱相同。因此只要各延拓分量与原频谱不发生频率上的交叠，则有可能恢复出原信号。,111,2.4,连续信号的抽样,(,c,),(,a,),0,0,0,(,b,),112,2.4,连续信号的抽样,这样如果原信号,x,a,(,t,),的频谱,X,a,(,j,),，限制在某一最高频率范围内，即,则称其为带限信号。当对带限信号的抽样满足,h,s,/2,时，那么原信号的频谱和各次延拓分量的谱彼此不重叠。这时采用一个截止频率为,s,/2,的理想低通滤波器，就可得到不失真的原信号频谱，即可以不失真地还原出原来的连续信号。,如果原信号的的最高频率,h,超过,s,/2,，则各周期延拓分量产生频谱交叠，称为混叠现象，因而无法不失真地还原出原来的连续信号。由于,X,a,(,j,),一般是复数，所以混叠也是复数相加。通常称,s,/2,为折叠频率或奈奎斯特频率。,113,2.4,连续信号的抽样,2.,抽样信号的恢复,如果满足奈奎斯特抽样定理，即信号频谱的最高频率小于折叠频率，则抽样后不会产生频谱混叠，可知,故将其通过理想低通滤波器,就可得到原信号频谱,，即在输出端就恢复出了原连续信号。,114,2.4,连续信号的抽样,理想低通滤波器的输出为,上式就是从抽样信号恢复原连续信号的抽样内插公式。,其中,称为内插函数。,115,2.4,连续信号的抽样,h,(,t,-,mT,),t,(,m,+1),T,mT,(,m,-1),T,t,4,T,3,T,2,T,T,0,116,2.5,离散时间信号的抽样,离散时间信号,x,(,n,),的抽样过程如图所示，抽样后得到的序列,x,p,(,n,),称为离散时间抽样序列，其抽样周期为,N,。,x,p,(,n,),x,(,n,),p,(,n,)