高二数学必修2课件-空间几何体的表面积和体积.ppt

,*,云在漫步,*,云在漫步,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,单击此处编辑母版标题样式,1.3,简单几何体的表面积和体积,1.3.1,柱体、锥体、台体,的表面积与体积,1,、表面积：几何体表面的面积,2,、体积：几何体所占空间的大小。,回忆复习有关概念,1,、直棱柱：,2,、正棱柱：,3,、正棱锥：,4,、正棱台：,侧棱和底面,垂直,的棱柱叫直棱柱,底面是正多边形的,直,棱柱叫正棱柱,底面是正多边形，,顶点在底面的射影是底面中心,的棱锥,正棱锥,被平行于底面的平面所截，截面和底面之间的部分叫正棱台,作直三棱柱、正三棱锥、正三棱台各一个，找出,斜高,C,O,B,A,P,D,斜高的概念,棱柱、棱锥、棱台都是由多个平面图形围成的几何体，,h,棱柱、棱锥、棱台的表面积,它们的侧面展开图还是平面图形，,计算它们的表面积就是计算它的各个侧面面积和底面面积,之和,棱柱的侧面展开图是什么？如何计算它的表面积？,h,正棱柱的侧面展开图,2.棱柱、棱锥、棱台的展开图及表面积求法,把直三棱柱侧面沿一条侧棱展开，得到什么图形？,侧面积怎么求？,棱锥的侧面展开图是什么？如何计算它的表面积？,正三棱锥的侧面展开图,棱锥的展开图,把正三棱锥侧面沿一条侧棱展开，得到什么图形？,侧面积怎么求？,侧面展开,正五棱锥的侧面展开图,棱锥的展开图,例,1,已知棱长为,a,，各面均为等边三角形的四面体,S,-,ABC,，求它的表面积,典型例题,D,B,C,A,S,分析：四面体的展开图是由四个全等的正三角形组成,因为,BC,=,a,，,所以：,因此，四面体,S,-,ABC,的表面积,交,BC,于点,D,解：先求 的面积，过点作 ，,把正三棱台侧面沿一条侧棱展开，得到什么图形？,侧面积怎么求？,（类比梯形的面积）,侧面展开,h,h,正四棱台的侧面展开图,棱台的侧面展开图是什么？如何计算它的表面积？,棱台的展开图,例,2:,(1),一个正三棱柱的底面是边长为,5,的正三角形，侧棱长为,4,，则其侧面积为,_;,(2),正四棱锥底面边长为,6,高是,4,，中截面把棱锥截成一个小棱锥和一个棱台，求棱台的侧面积,.,例,3,：一个正三棱台的上、下底面边长分别是,3cm,和,6cm,，高是,3/2cm,，求三棱台的侧面积,.,分析：关键是求出斜高，注意图中的直角梯形,A,B,C,C,1,A,1,B,1,O,1,O,D,D,1,E,答：,60,思考：把圆柱、圆锥、圆台的侧面分别沿着一条母线,展开，分别得到什么图形,?,展开的图形与原图,有什么关系？,宽,长方形,圆柱的侧面展开图是矩形,3.圆柱、圆锥、圆台的展开图及表面积求法,圆柱,O,思考：把圆柱、圆锥、圆台的侧面分别沿着一条母线,展开，分别得到什么图形,?,展开的图形与原图,有什么关系？,扇形,圆锥的侧面展开图是扇形,O,圆锥,思考：把圆柱、圆锥、圆台的侧面分别沿着一条母线,展开，分别得到什么图形,?,展开的图形与原图,有什么关系？,扇环,O,O,侧,圆台侧面积公式的推导,O,O,圆柱、圆锥、圆台三者的表面积公式之间有什么关系？,O,r,r,上底扩大,O,r,0,上底缩小,例,4,如图，一个圆台形花盆盆口直径,20 cm,，盆底直径为,15cm,，底部渗水圆孔直径为,1.5 cm,，盆壁长,15cm,那么花盆的表面积约是多少平方厘米（取,3.14,，结果精确到,1,）？,典型例题,解：由圆台的表面积公式得 花盆的表面积：,答：花盆的表面积约是,999,例,5,圆台的上、下底面半径分别为,2,和,4,，高为 ，求其侧面展开图扇环所对的圆心角,例,6,：圆台的上、下底半径分别是,10cm,和,20cm,，它的侧面展开图的扇环的圆心角是,180,0,，那么圆台的侧面积是多少？（结果中保留,）,答：,180,0,小结：,1,、弄清楚柱、锥、台的侧面展开图的形状是关键；,2,、对应的面积公式,C=0,C=C,S,圆柱侧,=2rl,S,圆锥侧,=rl,S,圆台侧,=,（,r,1,+r,2,)l,r,1,=0,r,1,=r,2,柱体、锥体、台体的表面积,各面面积之和,知识小结,展开图,圆台,圆柱,圆锥,几何体占有空间部分的大小叫做它的体积,一、体积的概念与公理,:,公理,1,、长方体的体积等于它的长、宽、高的积。,V,长方体,=,abc,推论,1,、长方体的体积等于它的底面积,s,和高,h,的积。,V,长方体,=,sh,推论,2,、正方体的体积等于它的棱长,a,的立方。,V,正方体,=,a,3,定理,1,：柱体（棱柱、圆柱）的体积等于它的底面积,s,和高,h,的积。,V,柱体,=,sh,二：柱体的体积,推论：底面半径为,r,，,高为,h,圆柱的体积是,V,圆柱,=,r,2,h,三,:,锥体体积,例,2,：,如图：三棱柱,AD,1,C,1,-BDC,底面积为,S,高为,h.,A,B,D,C,D,1,C,1,C,D,A,B,C,D,1,A,D,C,C,1,D,1,A,答,:,可分成棱锥,A-D,1,DC,棱锥,A-D,1,C,1,C,棱锥,A-BCD.,问：（,1,）从,A,点出发棱柱能分割成几个三棱锥？,3.1,锥体（棱锥、圆锥）的体积,（底面积,S，,高,h,）,注意：三棱锥的顶点和底面可以根据需要变换，四面体的每一个面都可以作为底面，可以用来求点到面的距离,问题,:,锥体,(,棱锥、圆锥）,的体积,定理,如果一个锥体（棱锥、圆锥）的底面,积是，高是，那么它的体积是：,推论：如果圆锥的底面半径是,，高是,，,那么它的体积是：,h,S,S,锥体,圆锥,S,h,s,s,/,s,s,/,h,x,四,.,台体的体积,V,台体,=,上下底面积分别是,s,/,s,高是,h,，则,推论：如果圆台的上,下底面半径是,r,1,.r,2,高是,，那么它的体积是：,圆台,h,五,.,柱体、锥体、台体的体积公式之间有什么关系？,S,为底面面积，,h,为柱体高,S,分别为上、下,底面面积，,h,为台体高,S,为底面面积，,h,为锥体高,上底扩大,上底缩小,例,7,有一堆规格相同的铁制（铁的密度是,）六角螺帽共重,5.8kg,，已知底面是正六边形，边长为,12mm,，内孔直径为,10mm,，高为,10mm,，问这堆螺帽大约有多少个（取,3.14,）？,典型例题,所以螺帽的个数为,（个）,答：这堆螺帽大约有,252,个,解：六角螺帽的体积是六棱柱的体积与圆柱体积之差，即,:,例,8,从一个正方体中，如图那样截去,4,个三棱锥后，得到一个正三棱锥,A,BCD,，求它的体积是正方体体积的几分之几？,1,球的,概念和,性质,2,球的,体积,3,球的,表面积,4,例题,讲解,5,课堂,练习,6,课堂,小结,7,课堂,作业,球,球的概,念和性,质,球的概念,A,B,O,R,C,一,如图所示，半圆以它的直径为旋转轴，旋转所成的曲面叫做球面,.,球面所围成的几何体叫做球体，简称球,.,半圆的圆心叫球心,图中点,O.,连结球心和球面上任意一点的线段叫做球的半径，,(,图中线段,R).,连结球面上两点并且经过球心的线段叫做球的直径，,(,图中线段,AB).,球的概,念和性,质,球的概念,一,Q,P,O,球面被经过球心的平面截得的圆叫做大圆（如图中红色部分），被不经过球心的截面截得的圆叫做小圆（如图中绿色部分）,.,球面上两点之间最短连线的长度，就是经过这两点的大圆在这两点间的一段劣弧的长度，这个弧长叫做两点的球面距离（如图中 的长度就是,P,、,Q,两点之间的球面距离）,.,球的概,念和性,质,球的性质,二,d,o,1,o,2,R,r,用一个平面（如图中平面 ）去截一个球，截面是圆面，球的截面有下面的性质：,、球心和截面圆心的连线 垂直于截面（如图直线,o,1,o,2,垂直于平面 ）；,、球心到截面的距离,d,与球的半径,R,及截面的半径,r,有下面的关系：,球的表面积和体积,:,球的表面积,球的体积,:,例题,讲解,例,9,、,如图，圆柱的底面直径与高都等于球的直径,.,求证：,（,1,）球的表面积等于,圆柱的侧面积；,（,2,）球的表面积等于,圆柱全面积的,2/3.,O,R,O,R,例题,讲解,(2),证明,：（,1,）设球的半径为,R,，则圆柱的底面半径,为,R,，高为,2R,，得,例,3.,如图，正方体,ABCD-A,1,B,1,C,1,D,1,的棱长为,a,它的各个顶点都在球,O,的球面上，问球,O,的表面积。,A,B,C,D,D,1,C,1,B,1,A,1,O,A,B,C,D,D,1,C,1,B,1,A,1,O,A,B,C,D,D,1,C,1,B,1,A,1,O,A,B,C,D,D,1,C,1,B,1,A,1,O,分析：正方体内接于球，则由球和正方体都是中心对称图形可知，它们中心重合，则正方体对角线与球的直径相等。,略解：,变题,1.,如果球,O,和这个正方体的六个面都相切，则有,S=,。,变题,2.,如果球,O,和这个正方体的各条棱都相切，则有,S=,。,关键,：,找正方体的棱长,a,与球半径,R,之间的关系,O,A,B,C,例,10,已知过球面上三点,A,、,B,、,C,的截面到球心,O,的距离等于球半径的一半，且,AB=BC=CA=,cm,，求球的体积，表面积,解：如图，设球,O,半径为,R,，,截面,O,的半径为,r,，,例,11,、有三个球,一球切于正方体的各面,一球切于正方体的各侧棱,一球过正方体的各顶点,求这三个球的体积之比,.,作轴截面,柱、锥、台和球的侧面积和体积,面积,体积,圆柱,S,侧,V,圆锥,S,侧,V,圆台,S,侧,V,(,S,上,S,下,),h,2,rl,Sh,r,2,h,rl,(,r,1,r,2,),l,习题课,面积,体积,直棱柱,S,侧,V,正棱锥,S,侧,V,正棱台,S,侧,V,球,S,球面,V,Ch,Sh,4,R,2,1,(,教材习题改编,),一个正方体的体积是,8,，则这个正方,体的内切球的表面积是,(,),A,8,B,6,C,4 D,答案：,C,解析：设正方体的棱长为,a,，则,a,3,8,，,a,2.,而此正方体的内切球直径为,2,，,S,表,4,r,2,4.,答案：,A,4,(,教材习题改编,),在,ABC,中，,AB,2,，,BC,3,，,ABC,120,，若使,ABC,绕直线,BC,旋转一周所形成的几何体的体积为,_,答案：,3,答案：,C,5,如图所示，某几何体的正视图、侧视图均为等腰三,角形，俯视图是正方形，则该几何体的外接球的体积是,_,1,求体积时应注意的几点,(1),求一些不规则几何体的体积常用割补的方法转化成已,知体积公式的几何体进行解决,(2),与三视图有关的体积问题注意几何体还原的准确性及,数据的准确性,2,求组合体的表面积时注意几何体的衔接部分的处理,题型一 几何体的展开与折叠,有一根长为,3 cm,，底面半径为,1 cm,的,圆柱形铁管，用一段铁丝在铁管上缠绕,2,圈，并,使铁丝的两个端点落在圆柱的同一母线的两端,则铁丝的最短长度为多少？,把圆柱沿这条母线展开，将问题转,化为平面上两点间的最短距离,.,题型分类 深度剖析,解,把圆柱侧面及缠绕其上,的铁丝展开，在平面上得到,矩形,ABCD,（如图所示），,由题意知,BC,=3 cm,，,AB,=4 cm,，点,A,与点,C,分别是铁丝的起、止位,置，故线段,AC,的长度即为铁丝的最短长度,.,故铁丝的最短长度为,5 cm.,题型二 旋转体的表面积及其体积,如图所示,半径为,R,的半圆内的,阴影部分以直径,AB,所在直线为轴,旋,转一周得到一几何体,求该几何体的,表面积,(,其中,BAC,=30,),及其体积,.,先分析阴影部分旋转后形成几何体的,形状,再求表面积,.,解,如图所示,过,C,作,CO,1,AB,于,O,1,在半圆中可得,BCA,=90,BAC,=30,AB,=2,R,AC,=,BC,=,R,S,球,=4,R,2,解决这类题的关键是弄清楚旋转后所,形成的图形的形状，再将图形进行合理的分割，,然后利用有关公式进行计算,.,知能迁移,2,已知球的半径为,R,，在球内作一个内,接圆柱，这个圆柱底面半径与高为何值时，它,的侧面积最大？侧面积的最大值是多少？,知能迁移,2,解,如图为轴截面,.,设圆柱的高为,h,，底面半径为,r,，,侧面积为,S,，则,题型三 多面体的表面积及其体积,一个正三棱锥的底面边长为,6,，侧棱长,为 ，求这个三棱锥的体积,.,本题为求棱锥的体积问题,.,已知底面,边长和侧棱长，可先求出三棱锥的底面面积,和高，再根据体积公式求出其体积,.,连接,AH,并延长交,BC,于,E,，,则,E,为,BC,的中点，且,AH,BC,.,ABC,是边长为,6,的正三角形，,解,如图所示，,正三棱锥,S,ABC,.,设,H,为正,ABC,的中心，,连接,SH,，,则,SH,的长即为该正三棱锥的高,.,答案,C,巧练模拟,答案：,A,2,如图所示是一个几何体的三视图，根,据图中数据，可得该几何体的表面积是,_,解析：此几何体的上部为球，球的直径为,2,，下部为一圆柱，圆柱的高为,3,，底面圆的直径为,2,，所以,S,表,4,23,12.,答案：,12,小结,1,在求多面体的侧面积时，应对每一侧面分别求解后再,相加，对于组合体的表面积应注意重合部分的处理,2,以三视图为载体考查几何体的表面积，关键是能够对,给出的三视图进行恰当的分析，从三视图中发现几何体中各元素间的位置关系及数量关系,3,圆柱、圆锥、圆台的侧面是曲面，计算侧面积时需要,将这个曲面展为平面图形计算，而表面积是侧面积与底面圆的面积之和,.,答案,B,若本例的三视图变为如图所示，求该几何体的体积,解：该几何体下部是一个正方体，棱长为,4,，上部为圆柱，底面半径为,1,，高为,4,，则,V,444,1,2,4,64,4.,答案：,D,小结,1,计算柱、锥、台体的体积，关键是根据条件找出相应,的底面面积和高，应注意充分利用多面体的截面和旋转体的轴截面，将空间问题转化为平面问题求解,2,注意求体积的一些特殊方法：分割法、补体法、转化,法等，它们是解决一些不规则几何体体积计算常用的方法，应熟练掌握,3,等积变换法：利用三棱锥的任一个面可作为三棱锥,的底面求体积时，可选择容易计算的方式来计算；利用“等积法”可求“点到面的距离”,.,精析考题,例,3,如图，在,ABC,中，,ABC,45,，,BAC,90,，,AD,是,BC,上的高，沿,AD,把,ABD,折起，使,BDC,90.,(1),证明：平面,ADB,平面,BDC,；,(2),若,BD,1,，求三棱锥,D,ABC,的表面积,自主解答,(1),折起前,AD,是,BC,边上的高，,当,ABD,折起后，,AD,DC,，,AD,DB,.,又,DB,DC,D,，,AD,平面,BDC,.,又,AD,平面,ABD,，,平面,ABD,平面,BDC,.,巧练模拟,6,如图所示，已知一个,多面体的平面展开图由一个边长为,1,的正方形和,4,个边长为,1,的正三角形,组成，则该多面体的体积是,_,答案：,C,小结,解决折叠问题时要注意,1,对于翻折前后，线线、线面的位置关系，所成角及距离,加以比较，观察并判断变化情况,2,一般地，分别位于两个半平面内的元素其相对位置关系,和数量关系发生变化，位于同一个半平面的元素，其相对位置和数量关系不变,3,对于某些翻折不易看清的元素，可结合原图形去分析、,计算，即将空间问题转化为平面问题,数学思想 函数与方程思想在空间几何体中的应用,考题范例,如图，半径为,R,的球,O,中有一内接圆柱当圆柱的侧面积最大时，球的表面积与该圆柱的侧面积之差是,_,巧妙运用,法一,:,设圆柱的轴与球的半径的夹角为,，则圆柱高为,2,R,cos,，圆柱底面半径为,R,sin,，,S,圆柱侧,2,R,sin,2,R,cos,2,R,2,sin 2,.,当,sin 2,1,时，,S,圆柱侧,最大为,2,R,2,，此时，,S,球表,S,圆柱侧,4,R,2,2,R,2,2,R,2,.,答案：,2,R,2,柱体、锥体、台体的体积,锥体,台体,柱体,知识小结,柱体、锥体、台体的表面积,各面面积之和,知识小结,展开图,圆台,圆柱,圆锥,规律方法总结,1,直棱柱的侧面展开图是一些矩形，正棱锥的侧面展开图是一些全等的等腰三角形，正棱台的侧面展开图是一些全等的等腰梯形,2,斜棱柱的侧面积等于它的直截面,(,垂直于侧棱并与每条侧棱都相交的截面,),的周长与侧棱长的乘积,3,如果直棱柱的底面周长是,c,，高是,h,，那么它的侧面积是,S,直棱柱侧,ch,.,4,应注意各个公式的推导过程，不要死记硬背公式本身，要熟悉柱体中的矩形、锥体中的直角三角形、台体中的直角梯形等特征图形在公式推导中的作用,规律方法总结,5,如果不是正棱柱、正棱锥、正棱台，在求其侧面积或全面积时，应对每一个侧面的面积分别求解后再相加,6,求球的体积和表面积的关键是求出球的半径反之，若已知球的表面积或体积，那么就可以得出其半径的大小,7,计算组合体的体积时，首先要弄清楚它是由哪些基本几何体构成，然后再通过轴截面分析和解决问题,8,计算圆柱、圆锥、圆台的体积时，关键是根据条件找出相应的底面面积和高，应注意充分利用多面体的截面和旋转体的轴截面，将空间问题转化为平面问题求解,方法与技巧,1.,对于基本概念和能用公式直接求出棱柱、棱,锥、棱台与球的表面积的问题，要结合它们的,结构特点与平面几何知识来解决,.,2.,要注意将空间问题转化为平面问题,.,3.,当给出的几何体比较复杂，有关的计算公式无,法运用，或者虽然几何体并不复杂，但条件中,的已知元素彼此离散时,我们可采用,“,割,”,、,“,补,”,的技巧，化复杂几何体为简单几何体,（柱、锥、台），或化离散为集中，给解题提供,便利,.,思想方法 感悟提高,（,1,）几何体的,“,分割,”,几何体的分割即将已知的几何体按照结论的要,求,分割成若干个易求体积的几何体,进而求之,.,(2),几何体的,“,补形,”,与分割一样，有时为了计算方便，可将几何体补,成易求体积的几何体，如长方体、正方体等,.,另外,补台成锥是常见的解决台体侧面积与体积的方法,由台体的定义，我们在有些情况下，可以将台体,补成锥体研究体积,.,（,3,）有关柱、锥、台、球的面积和体积的计算，,应以公式为基础，充分利用几何体中的直角三角,形、直角梯形求有关的几何元素,.,失误与防范,1.,将几何体展开为平面图形时,要注意在何处剪,开，多面体要选择一条棱剪开，旋转体要沿一,条母线剪开,.,2.,与球有关的组合体问题，一种是内切，一种是,外接,.,解题时要认真分析图形，明确切点和接点,的位置，确定有关元素间的数量关系，并作出,合适的截面图，如球内切于正方体，切点为正,方体各个面的中心,正方体的棱长等于球的直,径；球外接于正方体，正方体的顶点均在球面,上，正方体的体对角线长等于球的直径,.,球与,旋转体的组合，通常作它们的轴截面进行解题,球与多面体的组合，通过多面体的一条侧棱和,球心，或,“,切点,”,、,“,接点,”,作出截面图,.,