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质数与合数的最值问题
四川省剑阁县实验学校（628300） 张 胜
在小学数学竞赛中，常出现质数与合数相关知识的最值问题。解决这类问题常采用极端情形、枚举比较、分析推理等方法。
例1、如果自然数有4个不同质因数，那么这样的自然数最小的是多少？
解：由较小的质数是2、3、5、7，要使自然数中最小的是2×3×5×7＝210。
例2、五个连续自然数，每个数都是合数，这五个连续自然数的和最小是多少？
解：由题意从4开始，每次写出5个连续自然数都是合数的是24、25、26、27、28
这5个数符合题意，所以和的最小值是24＋25＋26＋27＋28＝130。
例3、如果A是自然数，（A×A－4）÷7是质数，那么A的最小的两个数分别是多少？
解：用A＝3、4、5、6、7、8、9代入试验，其中有（5×5－4）÷7＝3，（9×9－4）÷7＝11
例4、试将20表示成一些合数的和，这些合数的积最大是多少？
解：由20＝4＋4＋4＋4＋4，则4×4×4×4×4＝1024，所以这些合数的积最大是1024。
例5、将60分成10个质数之和，要求最大的质数尽可能小，那么其中最大的质数是多少？
解：由最大的质数必大于5，否则10个质数之和将不大于50。又60＝7＋7＋7＋7＋7＋7＋7＋2＋2，即8个7与2个2的和是60，则最大质数是7。
例6、将50分成10个质数之和，要求其中最大的质数尽可能大，那么这个最大质数是多少？
解：由最大的质数必小于50－2×9＝32，而50＝31＋3＋2×8，则这个最大质数是31。
例7、有三个质数的和恰为100，则这三个质数的积的最大值是多少？
解：由三个质数的和是偶数，必定有一个质数是2，另外两个质数的和是100－2＝98＝31＋67＝61＋37，而两个质数的差越小，乘积就越大。则这三个质数的积的最大值是2×37×61＝4514。
例8、如果四个两位质数A、B、C、D两两不同，并且满足等式A＋B＝C＋D，那么A＋B的最大可能值是多少？
解：由两位数中最大质数是97，次之是89、79、73、71，要求两两不同，那么97＋71＝89＋79，则A＋B的最大可能值是168。
例9、一个千位数字是1的四位数，当它们分别被四个不同的质数相除时，余数都是1，满足这些条件的最大偶数是多少？
解：从大到小逐一计算。1998－1＝1997是质数，1998不符合题意。1996－1＝1995＝3×5×7×19，则1996符合题意。
例10、已知A×B－1＝C，其中A、B均为小于100的质数，C是奇数，那么C最大是多少？
解：因为A×B＝C＋1，C为奇数，所以A×B为偶数，又因为A、B均为质数，显然必有一个质数是2，为使C取最大值，另一个只须取最大的两位质数是97。这时C的最大值是2×97－1＝193。