初中数学湘教版九年级上第4章测试题.docx

第4章测试题

一．选择题（共10小题）
1．利用计算器求sin30°时，依次按键，则计算器上显示的结果是（ ）
A．0.5 B．0.707 C．0.866 D．1
2．Rt△ABC中，∠C=90°，已知cosA=，那么tanA等于（ ）
A． B． C． D．
3．已知sinα•cosα=，45°＜α＜90°，则cosα﹣sinα=（ ）
A． B．﹣ C． D．±
4．在Rt△ABC中，∠C=90°，sinA=，则tanB的值为（ ）
A． B． C． D．
5．在Rt△ABC中，∠C=90°，sinA=，则cosB等于（ ）
A． B． C． D．
6．△ABC中，a、b、c分别是∠A、∠B、∠C的对边，如果a2+b2=c2，那么下列结论正确的是（ ）
A．bcosB=c B．csinA=a C．atanA=b D．
7．在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A、∠B、∠C所对的边分别为a、b、c，下列等式中不一定成立的是（ ）
A．b=atanB B．a=ccosB C． D．a=bcosA
8．如果∠A为锐角，且sinA=0.6，那么（ ）
A．0°＜A≤30° B．30°＜A＜45° C．45°＜A＜60° D．60°＜A≤90°
9．若锐角α满足cosα＜且tanα＜，则α的范围是（ ）
A．30°＜α＜45° B．45°＜α＜60° C．60°＜α＜90° D．30°＜α＜60°
10．下面四个数中，最大的是（ ）
A． B．sin88° C．tan46° D．

二．填空题（共8小题）
11．用“＞”或“＜”填空：sin50°×cos40°﹣ 0．（可用计算器计算）
12．已知∠A为锐角，且，那么∠A的范围是 ．
13．在Rt△ABC中，∠C=90°，sinA=，则tanA= ．
14．如图，∠AOB是放置在正方形网格中的一个角，则cos∠AOB的值是 ．

15．如图，当小杰沿坡度i=1：5的坡面由B到A行走了26米时，小杰实际上升高度AC=
米．（可以用根号表示）

16．如图，在菱形ABCD中，AE⊥BC，E为垂足，若cosB=，EC=2，P是AB边上的一个动点，则线段PE的长度的最小值是 ．

17．如图1是小志同学书桌上的一个电子相框，将其侧面抽象为如图2所示的几何图形，已知BC=BD=15cm，∠CBD=40°，则点B到CD的距离为 cm（参考数据sin20°≈0.342，cos20°≈0.940，sin40°≈0.643，cos40°≈0.766，结果精确到0.1cm，可用科学计算器）．

18．如图，为了测量楼的高度，自楼的顶部A看地面上的一点B，俯角为30°，已知地面上的这点与楼的水平距离BC为30m，那么楼的高度AC为 m（结果保留根号）．

三．解答题（共8小题）
19．在△ABC中，∠B、∠C 均为锐角，其对边分别为b、c，求证：=．

20．计算：﹣2sin45°﹣32．
温馨提示：你只需选择下列一种方式来解答本题．如果两种方式都做，我们将根据做得较好的一种来评分，但你有可能会浪费一部分时间！
方式一：（用计算器计算）计算的结果是 ﹣9 ．
按键顺序为：

方式二：（不用计算器计算）

21．计算：6tan230°﹣sin60°﹣2sin45°

22．（1）如图，锐角的正弦和余弦都随着锐角的确定而确定，也随着其变化而变化，试探索随着锐角度数的增大，它的正弦值和余弦值的变化规律；
（2）根据你探索到的规律，试比较18°，34°，52°，65°，88°，这些角的正弦值的大小和余弦值的大小；
（3）比较大小：（在空格处填写“＜”或“＞”或“=”）
若∠α=45°，则sinα = cosα；若∠α＜45°，则sinα ＜ cosα；若∠α＞45°，则sinα ＞ cosα；
（4）利用互余的两个角的正弦和余弦的关系，比较下列正弦值和余弦值的大小：
sin10°，cos30°，sin50°，cos70°．

23．如图，在所示的直角坐标系中，P是第一象限的点，其坐标是（6，y），且OP与x轴的正半轴的夹角α的正切值是，求角α的正弦值．

24．如图，AD是△ABC的中线，tanB=，cosC=，AC=．求：
（1）BC的长；
（2）sin∠ADC的值．

25．为响应国家的“节能减排”政策，某厂家开发了一种新型的电动车，如图，它的大灯A射出的光线AB、AC与地面MN的夹角分别为22°和31°，AT⊥MN，垂足为T，大灯照亮地面的宽度BC的长为m．
（1）求BT的长（不考虑其他因素）．
（2）一般正常人从发现危险到做出刹车动作的反应时间是0.2s，从发现危险到电动车完全停下所行驶的距离叫做最小安全距离．某人以20km/h的速度驾驶该车，从做出刹车动作到电动车停止的刹车距离是，请判断该车大灯的设计是否能满足最小安全距离的要求（大灯与前轮前端间水平距离忽略不计），并说明理由．
（参考数据：sin22°≈，tan22°≈，sin31°≈，tan31°≈）

26．如图是一座人行天桥的示意图，天桥的高度是10米，CB⊥DB，坡面AC的倾斜角为45°．为了方便行人推车过天桥，市政部门决定降低坡度，使新坡面DC的坡度为i=：3．若新坡角外需留3米宽的人行道，问离原坡角（A点处）10米的建筑物是否需要拆除？（参考数据：≈1.414，≈1.732）

参考答案：
一．选择题（共10小题）
1．利用计算器求sin30°时，依次按键，则计算器上显示的结果是（ ）
A．0.5 B．0.707 C．0.866 D．1
【考点】计算器—三角函数．
【分析】本题要求同学们能熟练应用计算器．
【解答】解：依次按键，显示的是sin30°的值，即0.5．
故选A．
【点评】本题结合计算器的用法，旨在考查特殊角三角函数值，需要同学们熟记有关特殊角的三角函数值．

2．Rt△ABC中，∠C=90°，已知cosA=，那么tanA等于（ ）
A． B． C． D．
【考点】同角三角函数的关系．
【分析】根据cosA=设出关于两边的代数表达式，再根据勾股定理求出第三边长的表达式即可推出tanA的值．
【解答】解：∵cosA=知，设b=3x，则c=5x，根据a2+b2=c2得a=4x．
∴tanA===．
故选A．
【点评】求锐角的三角函数值的方法：利用锐角三角函数的定义，通过设参数的方法求三角函数值，或者利用同角（或余角）的三角函数关系式求三角函数值．

3．已知sinα•cosα=，45°＜α＜90°，则cosα﹣sinα=（ ）
A． B．﹣ C． D．±
【考点】同角三角函数的关系．
【分析】利用完全平方公式将原式转化为关于同角的三角函数的关系cos2α+sin2α=1来进行解答．
【解答】解：∵45°＜α＜90°，
∴cosα﹣sinα＜0
又∵（cosα﹣sinα）2=cos2α+sin2α﹣2sinα•cosα=1﹣=，
∴cosα﹣sinα=﹣=﹣．
故选B．
【点评】本题利用了同角的三角函数的关系cos2α+sin2α=1来进行变形，注意角的范围，cosα﹣sinα的结果是小于0的．

4．在Rt△ABC中，∠C=90°，sinA=，则tanB的值为（ ）
A． B． C． D．
【考点】互余两角三角函数的关系．
【专题】计算题．
【分析】根据题意作出直角△ABC，然后根据sinA=，设一条直角边BC为5x，斜边AB为13x，根据勾股定理求出另一条直角边AC的长度，然后根据三角函数的定义可求出tan∠B．
【解答】解：∵sinA=，
∴设BC=5x，AB=13x，
则AC==12x，
故tan∠B==．
故选：D．

【点评】本题考查了互余两角三角函数的关系，属于基础题，解题的关键是掌握三角函数的定义和勾股定理的运用．

5．在Rt△ABC中，∠C=90°，sinA=，则cosB等于（ ）
A． B． C． D．
【考点】互余两角三角函数的关系．
【分析】根据三角函数定义解答．
【解答】解：在Rt△ABC中，∠C=90°，sinA=，
设BC=3x，则AB=5x，
∴AC=4x．
∴cosB==．
故选C．
【点评】本题可以考查锐角三角函数的定义及运用：在直角三角形中，锐角的正弦为对边比斜边，余弦为邻边比斜边，正切为对边比邻边．

6．△ABC中，a、b、c分别是∠A、∠B、∠C的对边，如果a2+b2=c2，那么下列结论正确的是（ ）
A．bcosB=c B．csinA=a C．atanA=b D．
【考点】锐角三角函数的定义；勾股定理的逆定理．
【分析】由于a2+b2=c2，根据勾股定理的逆定理得到△ABC是直角三角形，且∠C=90°，再根据锐角三角函数的定义即可得到正确选项．
【解答】解：∵a2+b2=c2，
∴△ABC是直角三角形，且∠C=90°，
∴sinA=，
即csinA=a，
∴B选项正确．
故选B．
【点评】本题考查了锐角三角函数的定义和勾股定理的逆定理．

7．在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A、∠B、∠C所对的边分别为a、b、c，下列等式中不一定成立的是（ ）
A．b=atanB B．a=ccosB C． D．a=bcosA
【考点】锐角三角函数的定义．
【专题】应用题．
【分析】根据三角函数的定义就可以解决．
【解答】解：∵∠C=90°，∠A、∠B、∠C所对的边分别为a、b、c，
∴A、tanB=，则b=atanB，故本选项正确，
B、cosB=，故本选项正确，
C、sinA=，故本选项正确，
D、cosA=，故本选项错误，
故选D．
【点评】此题考查直角三角形中两锐角的三角函数之间的关系，难度适中．

8．如果∠A为锐角，且sinA=0.6，那么（ ）
A．0°＜A≤30° B．30°＜A＜45° C．45°＜A＜60° D．60°＜A≤90°
【考点】锐角三角函数的增减性．
【分析】由sin30°==0.5，sin45°=≈0.707，sinA=0.6，且sinα随α的增大而增大，即可求得答案．
【解答】解：∵sin30°==0.5，sin45°=≈0.707，sinA=0.6，且sinα随α的增大而增大，
∴30°＜A＜45°．
故选B．
【点评】此题考查了正弦函数的增减性与特殊角的三角函数值．此题难度不大，注意掌握sinα随α的增大而增大．

9．若锐角α满足cosα＜且tanα＜，则α的范围是（ ）
A．30°＜α＜45° B．45°＜α＜60° C．60°＜α＜90° D．30°＜α＜60°
【考点】锐角三角函数的增减性．
【专题】应用题．
【分析】先由特殊角的三角函数值及余弦函数随锐角的增大而减小，得出45°＜α＜90°；再由特殊角的三角函数值及正切函数随锐角的增大而增大，得出0＜α＜60°；从而得出45°＜α＜60°．
【解答】解：∵α是锐角，
∴cosα＞0，
∵cosα＜，
∴0＜cosα＜，
又∵cos90°=0，cos45°=，
∴45°＜α＜90°；
∵α是锐角，
∴tanα＞0，
∵tanα＜，
∴0＜tanα＜，
又∵tan0°=0，tan60°=，
0＜α＜60°；
故45°＜α＜60°．
故选B．
【点评】本题主要考查了余弦函数、正切函数的增减性与特殊角的余弦函数、正切函数值，熟记特殊角的三角函数值和了解锐角三角函数的增减性是解题的关键．

10．下面四个数中，最大的是（ ）
A． B．sin88° C．tan46° D．
【考点】计算器—三角函数；无理数．
【专题】计算题．
【分析】利用计算器求出数值，再计算即可．
【解答】解：A、﹣≈2.236﹣1.732≈0.504；
B、sin88°≈0.999；
C、tan46°≈1.036；
D、≈≈0.568．
故tan46°最大，
故选：C．
【点评】本题结合计算器的用法，旨在考查对基本概念的应用能力．

二．填空题（共8小题）
11．用“＞”或“＜”填空：sin50°×cos40°﹣ ＞ 0．（可用计算器计算）
【考点】计算器—三角函数．
【分析】熟练应用计算器，对计算器给出的结果，精确到千分位，再根据有理数的大小比较，可得答案．
【解答】解：sin50°×cos40°﹣=0.766×0.766﹣=0.586﹣0.5=0.086＞0，
故答案为：＞．
【点评】本题考查了计算器，结合算器的用法，再取近似数．

12．已知∠A为锐角，且，那么∠A的范围是 60°≤A＜90° ．
【考点】锐角三角函数的增减性．
【专题】常规题型．
【分析】首先明确cos60°=，再根据余弦函数值随角增大而减小进行分析．
【解答】解：∵cos60°=，余弦函数值随角增大而减小，
∴当cosA≤时，∠A≥60°．
又∵∠A是锐角，
∴60°≤∠A＜90°．
故答案为：60°≤A＜90°．
【点评】本题考查了锐角三角函数的增减性．熟记特殊角的三角函数值，了解锐角三角函数的增减性是解题的关键．

13．在Rt△ABC中，∠C=90°，sinA=，则tanA= ．
【考点】同角三角函数的关系．
【分析】根据已知条件设出直角三角形一直角边与斜边的长，再根据勾股定理求出另一直角边的长，运用三角函数的定义解答．
【解答】解：由sinA==知，可设a=3x，则c=5x，b=4x．
∴tanA===．
【点评】求锐角的三角函数值的方法：利用锐角三角函数的定义，通过设参数的方法求三角函数值，或者利用同角（或余角）的三角函数关系式求三角函数值．

14．如图，∠AOB是放置在正方形网格中的一个角，则cos∠AOB的值是 ．

【考点】锐角三角函数的定义；三角形的面积；勾股定理．
【分析】首先连接AB，由勾股定理易求得OA2=12+32=10，AB2=12+32=10，OB2=22+42=20，然后由勾股定理的逆定理，可证得△AOB是等腰直角三角形，继而可求得cos∠AOB的值．
【解答】解：连接AB，
∵OA2=12+32=10，AB2=12+32=10，OB2=22+42=20，
∴OA2+AB2=OB2，OA=AB，
∴△AOB是等腰直角三角形，即∠OAB=90°，
∴∠AOB=45°，
∴cos∠AOB=cos45°=．
故答案为：．

【点评】此题考查了锐角三角函数的定义、勾股定理以及勾股定理的逆定理．此题难度不大，注意掌握辅助线的作法，注意数形结合思想的应用．

15．如图，当小杰沿坡度i=1：5的坡面由B到A行走了26米时，小杰实际上升高度AC= 米．（可以用根号表示）

【考点】解直角三角形的应用-坡度坡角问题．
【专题】数形结合．
【分析】由坡度易得AC与BC的比为1：5，设出相应未知数，利用勾股定理可得AC的长度．
【解答】解：∵坡度i=1：5，
∴AC与BC的比为1：5，
设AC为x，则BC为5x，
∴x2+（5x）2=262，
∵x＞0，
∴x=．
故答案为：．
【点评】本题考查了解直角三角形及勾股定理；理解坡度的意义是解决本题的关键．

16．如图，在菱形ABCD中，AE⊥BC，E为垂足，若cosB=，EC=2，P是AB边上的一个动点，则线段PE的长度的最小值是 4.8 ．

【考点】解直角三角形；菱形的性质．
【专题】计算题．
【分析】设菱形ABCD的边长为x，则AB=BC=x，又EC=2，所以BE=x﹣2，解直角△ABE即可求得x的值，即可求得BE、AE的值，根据AB、PE的值和△ABE的面积，即可求得PE的最小值．
【解答】解：设菱形ABCD的边长为x，则AB=BC=x，又EC=2，所以BE=x﹣2，
因为AE⊥BC于E，
所以在Rt△ABE中，cosB=，又cosB=，
于是，
解得x=10，即AB=10．
所以易求BE=8，AE=6，
当EP⊥AB时，PE取得最小值．
故由三角形面积公式有：AB•PE=BE•AE，
求得PE的最小值为4.8．
故答案为 4.8．

【点评】本题考查了余弦函数在直角三角形中的运用、三角形面积的计算和最小值的求值问题，求PE的值是解题的关键．

17．如图1是小志同学书桌上的一个电子相框，将其侧面抽象为如图2所示的几何图形，已知BC=BD=15cm，∠CBD=40°，则点B到CD的距离为 14.1 cm（参考数据sin20°≈0.342，cos20°≈0.940，sin40°≈0.643，cos40°≈0.766，结果精确到0.1cm，可用科学计算器）．

【考点】解直角三角形的应用．
【分析】作BE⊥CD于E，根据等腰三角形的性质和∠CBD=40°，求出∠CBE的度数，根据余弦的定义求出BE的长．
【解答】解：如图2，作BE⊥CD于E，
∵BC=BD，∠CBD=40°，
∴∠CBE=20°，
在Rt△CBE中，cos∠CBE=，
∴BE=BC•cos∠CBE
=15×0.940
=14.1cm．
故答案为：14.1．

【点评】本题考查的是解直角三角形的应用，掌握锐角三角函数的概念是解题的关键，作出合适的辅助线构造直角三角形是解题的重要环节．

18．如图，为了测量楼的高度，自楼的顶部A看地面上的一点B，俯角为30°，已知地面上的这点与楼的水平距离BC为30m，那么楼的高度AC为 10 m（结果保留根号）．

【考点】解直角三角形的应用-仰角俯角问题．
【分析】由题意得，在直角三角形ACB中，知道了已知角的邻边求对边，用正切函数计算即可．
【解答】解：∵自楼的顶部A看地面上的一点B，俯角为30°，
∴∠ABC=30°，
∴AC=AB•tan30°=30×=10（米）．
∴楼的高度AC为10米．
故答案为：10．
【点评】本题考查了解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题，俯角的定义，要求学生能借助俯角构造直角三角形并解直角三角形．

三．解答题（共8小题）
19．在△ABC中，∠B、∠C 均为锐角，其对边分别为b、c，求证：=．
【考点】锐角三角函数的定义．
【专题】证明题．
【分析】如图，过A作AD⊥BC于D，如果利用三角函数可以分别在△ABD和△ADC中可以得到sinsB，sinC的表达式，由此即可证明题目的结论．
【解答】证明：过A作AD⊥BC于D，
在Rt△ABD中，sinB=，
∴AD=ABsinB，
在Rt△ADC中，sinC=，
∴AD=ACsinC，
∴ABsinB=ACsinC，
而AB=c，AC=b，
∴csinB=bsinC，
∴=．

【点评】本题考查锐角三角函数的定义及运用：在直角三角形中，锐角的正弦为对边比斜边，余弦为邻边比斜边，正切为对边比邻边．解题的关键是作辅助线把普通三角形转化为直角三角形解决问题．

20．计算：﹣2sin45°﹣32．
温馨提示：你只需选择下列一种方式来解答本题．如果两种方式都做，我们将根据做得较好的一种来评分，但你有可能会浪费一部分时间！
方式一：（用计算器计算）计算的结果是 ﹣9 ．
按键顺序为：
方式二：（不用计算器计算）
【考点】计算器—三角函数；特殊角的三角函数值．
【专题】计算题．
【分析】选择不用计算器计算，简便且节约时间．
【解答】方式一：（用计算器计算）
计算的结果是﹣9．
按键顺序为：（以卡西欧计算器为例）

方式二：（不用计算器计算）
原式=﹣9
=﹣9
=﹣9．
【点评】主要考查特殊三角函数值和二次根式的运算，比较容易．

21．计算：6tan230°﹣sin60°﹣2sin45°
【考点】特殊角的三角函数值．
【专题】计算题．
【分析】分别把tan30°=，sin60°=，sin45°=代入原式计算即可．
【解答】解：（1）6tan230°﹣sin60°﹣2sin45°
=
=﹣．
故答案为﹣．
【点评】本题主要考查的是特殊角的三角函数值的知识点，熟记特殊角的三角函数值是解答的关键．

22．（1）如图，锐角的正弦和余弦都随着锐角的确定而确定，也随着其变化而变化，试探索随着锐角度数的增大，它的正弦值和余弦值的变化规律；
（2）根据你探索到的规律，试比较18°，34°，52°，65°，88°，这些角的正弦值的大小和余弦值的大小；
（3）比较大小：（在空格处填写“＜”或“＞”或“=”）
若∠α=45°，则sinα = cosα；若∠α＜45°，则sinα ＜ cosα；若∠α＞45°，则sinα ＞ cosα；
（4）利用互余的两个角的正弦和余弦的关系，比较下列正弦值和余弦值的大小：
sin10°，cos30°，sin50°，cos70°．

【考点】锐角三角函数的增减性．
【专题】探究型．
【分析】（1）根据锐角三角函数的概念，即可发现随着一个锐角的增大，它的对边在逐渐增大，它的邻边在逐渐减小，故正弦值随着角的增大而增大，余弦值随着角的增大而减小．
（2）根据上述规律，要比较锐角三角函数值的大小，只需比较角的大小．
（3）根据概念以及等腰三角形的性质，显然45°的正弦值和余弦值是相等的，再根据锐角三角函数值的变化规律，即可得到结论．
（4）注意正余弦的转换方法，转换为同一种锐角三角函数后，再根据锐角三角函数值的变化规律进行比较．
【解答】解：（1）在图（1）中，令AB1=AB2=AB3，B1C1⊥AC于点C1，B2C2⊥AC于点C2，B3C3⊥AC于点C3，
显然有：B1C1＞B2C2＞B3C3，∠B1AC＞∠B2AC＞∠B3AC．
∵sin∠B1AC=，sin∠B2AC=，sin∠B3AC=，
而＞＞．
∴sin∠B1AC＞sin∠B2AC＞sin∠B3AC．
在图（2）中，Rt△ACB3中，∠C=90°，
cos∠B1AC=，cos∠B2AC=，cos∠B3AC=，
∵AB3＞AB2＞AB1，
∴＜＜．
即cos∠B3AC＜cos∠B2AC＜cos∠B1AC．

（2）sin88°＞sin65°＞sin52°＞sin34°＞sin18°；
cos88°＜cos65°＜cos52°＜cos34°＜cos18°．

（3）若∠α=45°，则sinα=cosα；若∠α＜45°，则sinα＜cosα；若∠α＞45°，则sinα＞cosα．

（4）cos30°＞sin50°＞cos70°＞sin10°．
【点评】理解锐角三角函数的概念，掌握锐角三角函数值的变化规律以及正余弦的转换方法．

23．如图，在所示的直角坐标系中，P是第一象限的点，其坐标是（6，y），且OP与x轴的正半轴的夹角α的正切值是，求角α的正弦值．

【考点】同角三角函数的关系．
【专题】计算题．
【分析】首先由点P向x轴引垂线，结合锐角三角函数值和点P的横坐标，求得点P的纵坐标；
再根据勾股定理求得构造的直角三角形的斜边，从而求得该角的正弦值．
【解答】解：作PC⊥x轴于C．
∵tanα=，OC=6
∴PC=8．
则OP=10．
则sinα=．

【点评】综合运用了点的坐标、勾股定理以及锐角三角函数的概念．

24．如图，AD是△ABC的中线，tanB=，cosC=，AC=．求：
（1）BC的长；
（2）sin∠ADC的值．

【考点】解直角三角形．
【分析】（1）过点A作AE⊥BC于点E，根据cosC=，求出∠C=45°，求出AE=CE=1，根据tanB=，求出BE的长即可；
（2）根据AD是△ABC的中线，求出BD的长，得到DE的长，得到答案．
【解答】解：过点A作AE⊥BC于点E，
∵cosC=，
∴∠C=45°，
在Rt△ACE中，CE=AC•cosC=1，
∴AE=CE=1，
在Rt△ABE中，tanB=，即=，
∴BE=3AE=3，
∴BC=BE+CE=4；
（2）∵AD是△ABC的中线，
∴CD=BC=2，
∴DE=CD﹣CE=1，
∵AE⊥BC，DE=AE，
∴∠ADC=45°，
∴sin∠ADC=．

【点评】本题考查的是解直角三角形的知识，正确作出辅助线构造直角三角形是解题的关键，注意锐角三角函数的概念的正确应用．

25．为响应国家的“节能减排”政策，某厂家开发了一种新型的电动车，如图，它的大灯A射出的光线AB、AC与地面MN的夹角分别为22°和31°，AT⊥MN，垂足为T，大灯照亮地面的宽度BC的长为m．
（1）求BT的长（不考虑其他因素）．
（2）一般正常人从发现危险到做出刹车动作的反应时间是0.2s，从发现危险到电动车完全停下所行驶的距离叫做最小安全距离．某人以20km/h的速度驾驶该车，从做出刹车动作到电动车停止的刹车距离是，请判断该车大灯的设计是否能满足最小安全距离的要求（大灯与前轮前端间水平距离忽略不计），并说明理由．
（参考数据：sin22°≈，tan22°≈，sin31°≈，tan31°≈）

【考点】解直角三角形的应用．
【分析】（1）在直角△ACT中，根据三角函数的定义，若AT=3x，则CT=5x，在直角△ABT中利用三角函数即可列方程求解；
（2）求出正常人作出反应过程中电动车行驶的路程，加上刹车距离，然后与BT的长进行比较即可．
【解答】解：（1）根据题意及图知：∠ACT=31°，∠ABT=22°
∵AT⊥MN
∴∠ATC=90°
在Rt△ACT中，∠ACT=31°
∴tan31°=
可设AT=3x，则CT=5x
在Rt△ABT中，∠ABT=22°
∴tan22°=
即：
解得：
∴，
∴；
（2），
，

∴该车大灯的设计不能满足最小安全距离的要求．
【点评】本题考查了解直角三角形，正确利用三角函数列出方程进行求解，正确理解方程思想是关键．

26．如图是一座人行天桥的示意图，天桥的高度是10米，CB⊥DB，坡面AC的倾斜角为45°．为了方便行人推车过天桥，市政部门决定降低坡度，使新坡面DC的坡度为i=：3．若新坡角外需留3米宽的人行道，问离原坡角（A点处）10米的建筑物是否需要拆除？（参考数据：≈1.414，≈1.732）

【考点】解直角三角形的应用-坡度坡角问题．
【专题】应用题．
【分析】需要拆除，理由为：根据题意得到三角形ABC为等腰直角三角形，求出AB的长，在直角三角形BCD中，根据新坡面的坡度求出∠BDC的度数为30，利用30度所对的直角边等于斜边的一半求出DC的长，再利用勾股定理求出DB的长，由DB﹣AB求出AD的长，由AD+3与10比较即可得到结果．
【解答】解：需要拆除，理由为：
∵CB⊥AB，∠CAB=45°，
∴△ABC为等腰直角三角形，
∴AB=BC=10米，
在Rt△BCD中，新坡面DC的坡度为i=：3，即∠CDB=30°，
∴DC=2BC=20米，BD==10米，
∴AD=BD﹣AB=（10﹣10）米≈7.32米，
∵3+7.32=10.32＞10，
∴需要拆除．
【点评】此题考查了解直角三角形的应用﹣坡度坡角问题，涉及的知识有：勾股定理，等腰直角三角形的性质，含30度直角三角形的性质，坡角与坡度之间的关系，熟练掌握性质及定理是解本题的关键．