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二项式定理
练习题
28、已知的展开式的二项式系数和比的展开式的系数和大992,求的展开式中:①二项式系数最大的项;②系数的绝对值最大的项.

29、(12分)在二项式的展开式中，前三项系数的绝对值成等差数列
（1）求展开式的常数项； （2）求展开式中二项式系数最大的项；
（3）求展开式中各项的系数和。

30.已知的展开式前三项中的的系数成等差数列.
（1）求展开式中所有的的有理项；
（2）求展开式中系数最大的项.

31、(12分)已知是正整数，的展开式
中的系数为7，
（1） 试求中的的系数的最小值；9
（2） 对于使的的系数为最小的，求出此时的系数；5
（3） 对于使的的系数为最小的，求此时的近似值（精确到0.01）；2.02

33．在二项式（axm+bxn）12（a＞0，b＞0，m、n≠0）中有2m+n=0，如果它的展开式里最大系数项恰是常数项.
（1）求它是第几项；（2）求的最值.

35．已知，求证：当为偶数时，能被64整除．

例4. 已知二项式，（n∈N）的展开式中第5项的系数与第3项的系数的
比是10：1，
（1）求展开式中各项的系数和
（2）求展开式中系数最大的项以及二项式系数最大的项

二项式定理
练习题
28、已知的展开式的二项式系数和比的展开式的系数和大992,求的展开式中:①二项式系数最大的项;②系数的绝对值最大的项.
解：（1）n=5，—8064
(2)—15360x4
解：由题意,解得。
①的展开式中第6项的二项式系数最大,
即.
②设第项的系数的绝对值最大,
则
∴,得,即
∴,∴,故系数的绝对值最大的是第4项.
29、(12分)在二项式的展开式中，前三项系数的绝对值成等差数列
（1）求展开式的常数项； （2）求展开式中二项式系数最大的项；
（3）求展开式中各项的系数和。
解:展开式的通项为，r=0，1，2，…，n
由已知：成等差数列，∴ ∴ n=8
（1） （2） （3）令x=1，各项系数和为
30.已知的展开式前三项中的的系数成等差数列.
（1）求展开式中所有的的有理项；
（2）求展开式中系数最大的项.
解：（1）展开式前三项的系数分别为
.
由题设可知：　　　　解得：ｎ＝8或ｎ＝1（舍去）.
　当ｎ＝8时，＝.
　据题意，4－必为整数，从而可知必为4的倍数，
而0≤≤8，∴＝0,4，8.　　故的有理项为：，，.
（2）设第＋1项的系数最大，显然＞0，
故有≥1且≤1. ∵＝，由≥1，得≤3.
∵＝，由≤1，得≥2.
∴＝2或＝3，所求项分别为和.
31、(12分)已知是正整数，的展开式
中的系数为7，
（4） 试求中的的系数的最小值；9
（5） 对于使的的系数为最小的，求出此时的系数；5
（6） 对于使的的系数为最小的，求此时的近似值（精确到0.01）；2.02
32、已知(x3+)n展开式中有第六项的二项式系数最大，求：(1)展开式中不含x项；(2)C0n-C1n+C2n-C3n+…+(-1)n·Cnn的值.
答案.(1)210，(2)
33．在二项式（axm+bxn）12（a＞0，b＞0，m、n≠0）中有2m+n=0，如果它的展开式里最大系数项恰是常数项.
（1）求它是第几项；（2）求的最值.
解：（1）设T=C（axm）12－r·（bxn）r=Ca12－rbrxm（12－r）+nr为常数项，则有m（12－r）+nr=0，即m（12－r）－2mr=0，∴r=4，它是第5项.
（2）∵第5项又是系数最大的项，
∴有
Ca8b4≥Ca9b3①
Ca8b4≥Ca7b5②
由①得a8b4≥a9b3，
∵a＞0，b＞0，∴ b≥a，即≤.由②得≥，∴≤≤.
故的最大值、最小值分别为、.
35．已知，求证：当为偶数时，能被64整除．
证明：， 为偶数，设，
，　　
当时，，显然能被64整除；
当时，式能被64整除． 为偶数时，能被64整除．
例4. 已知二项式，（n∈N）的展开式中第5项的系数与第3项的系数的
比是10：1，
（1）求展开式中各项的系数和
（2）求展开式中系数最大的项以及二项式系数最大的项
解：（1）∵第5项的系数与第3项的系数的比是10：1，
∴，解得n=8
令x=1得到展开式中各项的系数和为(1-2)=1
(2) 展开式中第r项, 第r+1项,第r+2项的系数绝对值分别为,,,
若第r+1项的系数绝对值最大,则必须满足：
≤ 并且 ≤，解得5≤r≤6；
所以系数最大的项为T=1792；二项式系数最大的项为T=1120

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