奥数-六年级竞赛-几何直线形面积-燕尾定理.教师版word.doc

直线型面积—燕尾定理
第4讲

1. 理解燕尾定理，灵活运用定理解题．
2. 用份数思想求面积之间的关系．

本讲是在秋季所学四大模型的基础上，讲解运用燕尾定理求解面积问题．至此五大模型已讲解完毕．体会五大模型解决问题的优势．

燕尾定理：
S△ABGS△AGCS△BGES△EGCBEEC；
S△BGAS△BGCS△AGFS△FGCAFFC；
S△AGCS△BCGS△ADGS△DGBADDB；

问：为什么称之为燕尾定理？
答：我们看看燕子的尾巴然后再看看右图的阴影部分，看看阴影部分是不是很像燕子的尾巴，A是尾巴与身体的连接点，AG是燕子尾巴的中分线，左右两个阴影三角形构成燕子尾巴的两侧翼.同学们也可以自己动手，试试以三角形的另外两个顶点作为尾巴与身体的连接点能不能画出燕子的尾巴.
燕尾定理因为图形类似燕尾而得名，它的特殊性在于，它可以存在于任何一个三角形之中，为三角形中的三角形面积对应底边之间提供互相联系的途径.通过一道例题证明一下燕尾定理：

举例：如右图，D是BC上任意一点，请你说明 S1S4S2S3BDDC

【分析】 三角形BED与三角形CED同高，分别以BD、DC为底，
所以有S1S4 BDDC ；三角形ABE与三角形EBD同高，S1S2 EDEA三角形ACE与三角形CED同高，S4S3，所以S1S4 S2S3；综上可得S1S4S2S3BDDC.

用燕尾定理求面积

【例 1】 如图，已知，，三角形的面积是30，求阴影部分面积.

【分析】 题中条件只有三角形面积给出具体数值，其他条件给出的实际上是比例的关系，由此我们可以初步判断这道题不应该通过面积公式求面积. 又因为阴影部分是一个不规则四边形，所以我们需要对它进行改造，那么我们需要连一条辅助线，
(法一)连接，因为，，三角形的面积是30，
所以，．
根据燕尾定理，，,
所以，，
所以阴影部分面积是．
(法二)连接，由题目条件可得到，
，所以，
，
而．所以阴影部分的面积为．

［铺垫］ 右图的大三角形被分成5个小三角形，其中4个的面积已经标在图中，那么，阴影三角形的面积是 ．

【分析】 方法一：整个题目读完，我们没有发现任何与边长相关的条件，也没有任何与高或者垂直有关系的字眼，由此，我们可以推断，这道题不能依靠三角形面积公式求解.我们发现右图三角形中存在一个比例关系：
，解得.
方法二：回顾下燕尾定理，有，解得.

【例 2】 如右图，三角形ABC中，BDDC49，CEEA43，求AFFB.
【分析】 燕子尾巴非常明显.
根据燕尾定理，，
，
所以，
所以.

【例 3】 如图在中，,求的值．

【分析】 连接BG,设1份，根据燕尾定理,,得(份)，(份),则(份)，因此,同理连接AI、CH得,,
所以

［拓展］ 如右图，三角形ABC中，AFFBBDDCCEAE32，且三角形GHI的面积是1，求三角形ABC的面积．

［分析］ 连接BG，4份
根据燕尾定理，，
得(份)，(份)，则(份)，因此,
同理连接AI、CH得,,
所以
三角形GHI的面积是1，所以三角形ABC的面积是19

【例 4】 如图，三角形ABC被分成6个三角形，己知其中4个三角形的面积，问三角形ABC的面积是多少?
【分析】 设，，根据燕尾定理,得
,即 ，，即，解得，
所以三角形ABC的面积是

【例 5】 三角形ABC的面积为15平方厘米，D为AB中点，E为AC中点，F为BC中点，求阴影部分的面积．

【分析】 令BE与CD的交点为M，CD与EF的交点为N，连接AM，BN．
在中，根据燕尾定理，,,
所以
由于S，所以
在中，根据燕尾定理，
设(份)，则(份)，(份)，(份)，
所以,，因为,F为BC中点,
所以,,
所以(平方厘米)

【例 6】 如右图，中，是的中点，、、是边上的四等分点，与交于，与交于，已知的面积比四边形的面积大平方厘米，则的面积是多少平方厘米？

【分析】 连接、．
根据燕尾定理，，，所以；
再根据燕尾定理，，所以，所以，那么，所以．
根据题意，有，可得(平方厘米)

［拓展］ 如右图，三角形ABC的面积是1，BDDEEC，
CFFGGA，三角形ABC被分成9部分，请写出这9部分的面积各是多少?

［分析］ 设BG与AD交于点P，BG与AE交于点Q，BF与AD交于点M，BF与AE交于点N．连接CP，CQ，CM，CN．
根据燕尾定理，，，设(份)，则(份)，所以
同理可得，,,而，所以，．
同理，,所以，,,

【例 7】 已知四边形ABCD，CHFG为正方形，，a与b是两个正方形的边长，求

【分析】 观察图形，感觉阴影部分像蝴蝶定理，但是细细分析发现用蝴蝶定理无法继续往下走，注意到题目条件中给出了两个正方形的边长，有边长就可以利用比例，再发现在连接辅助线后可以利用燕尾，那么我们就用燕尾定理来求解
连接EO、AF，
根据燕尾定理：，
所以 ，作OM⊥AE、ON⊥EF，
∵AEEF
∴
∴
∴

求面积方法的综合运用

【例 8】 如图，在平行四边形中，，．求阴影面积与空白面积的比．

【分析】 方法一：因为，，所以，．
因为，所以，
所以，．
同理可得，，．
因为，所以空白部分的面积，
所以阴影部分的面积是．
，所以阴影面积与空白面积的比是．

方法二：连接CG、CH、AC,AC交BD于O，有
在中，根据燕尾定理可以得到,,所以,所以,
同理在中，根据燕尾定理可以得到,,
所以,
所以
所以阴影面积与空白面积的比

【例 9】 如图，在一个梯形内有两个面积分别为10与12的三角形，已知梯形的上底长是下底长的，那么余下的阴影部分的面积是______．

【分析】 设上底为2a,则下底为3a,梯形的高为，梯形的面积为
45,
所以阴影部分面积为

1. 如图所示，在中，，是的中点，那么 ．

【分析】 连接．
由于，，所以，
根据燕尾定理，．
2. 三角形中，是直角，已知，，，，那么三角形(阴影部分)的面积为多少？

［分析］ 连接．
的面积为
根据燕尾定理，；
同理
设面积为1份，则的面积也是1份，所以的面积是份，而的面积就是份，也是4份，这样的面积为份，所以的面积为．

3. 三角形ABC的面积是1平方厘米，且BE2EC，F是CD的中点．那么阴影部分的面积是 平方厘米．

【分析】 连接BF，根据燕尾定理,又因为F是CD的中点，所以，所以,即D是AB的中点，设(份)，则(份),(份),(份)，(份)，
所以(平方厘米)

4. 如图，线段AB与BC垂直，已知AD=EC=4，DB=BE=6，那么图中阴影部分面积是多少？

【分析】 这个图是个对称图形，且各边长度已经给出，我们不妨连接这个图形的对称轴看看.
作辅助线BO，则图形关于BO对称，
设△ADO的面积为2份，则△DBO的面积为3份，直角三角形ABE的面积为8份.
因为，而阴影部分的面积为4份，
所以阴影部分的面积为

5. 如图，中，，与平行，的面积是1平方厘米．那么的面积是 平方厘米．

【分析】 因为，，与平行，
所以,，，
则，又因为,
所以(平方厘米)．

富 乌 鸦

树上落了一只嘴里衔着一大块东西的乌鸦。许多追踪这个富有者的乌鸦立刻成群飞来。它们全都落下来，一声不响，一动不动。那只嘴里叼着东西的乌鸦已经很累了，很吃力地喘息着，不是吗，它不可能一下子就把这一大块东西吞下去呀。它也不能飞下去，在地上从容不迫地把这块东西啄碎，乌鸦们会猛扑过去，于是就要开始一场通常所说的混战了。它只好停在那儿，保卫嘴巴里的那块东西。

也许是因为嘴里叼着东西呼吸困难，也许是因为先前被大家追赶得精疲力竭——只见它摇晃了一下，突然失落了叼着的那块东西。所有的乌鸦都猛扑上去，在这场混战中，一只非常机灵的乌鸦抢到了那块东西，立刻展翅飞去。头一只被迫赶得精疲力竭的乌鸦也在跟着飞，但已明显地落在大家后面了。

结果是第二只乌鸦也像第一只一样，精疲力竭地落到一棵树上，最终也失落了那块东西。于是又是一场混战，所有的乌鸦又去追赶那个幸运儿……

请看，富有的乌鸦的处境多么可怕，而这只是因为，它只为了它自己。

如果只想到自己的利益，而忽略了集体，不懂得互相合作、互相爱护，最终就会落到富乌鸦那样可怕的处境，从而危及自己的利益。所以我们每个人做事情的时候，都应该多为别人着想。这是我们在成长的过程中应该培养的品质。