2019届北京专用高考数学一轮复习第九章平面解析几何第三节圆的方程讲义理.ppt

,总纲目录,教材研读,考点突破,栏目索引,第三节圆的方程,总纲目录,教材研读,1.,圆的定义及方程,考点突破,2.,点与圆的位置关系,考点二与圆有关的最值问题,考点一,求圆的方程,考点三,与圆有关的轨迹问题,教材研读,1.圆的定义及方程,2.点与圆的位置关系,点,M,(,x,0,y,0,)与圆(,x,-,a,),2,+(,y,-,b,),2,=,r,2,的位置关系:,(1)若,M,(,x,0,y,0,)在圆外,则,(,x,0,-,a,),2,+(,y,0,-,b,),2,r,2,.,(2)若,M,(,x,0,y,0,)在圆上,则,(,x,0,-,a,),2,+(,y,0,-,b,),2,=,r,2,.,(3)若,M,(,x,0,y,0,)在圆内,则,(,x,0,-,a,),2,+(,y,0,-,b,),2,0),则,解得,所求圆的方程为(,x,-2),2,+(,y,-1),2,=10.,方法技巧,常见的求圆的方程的方法:一是利用圆的几何特征,求出圆心坐标和半,径长,写出圆的标准方程;二是利用待定系数法.如果给定的条件易求圆,心坐标和半径长,那么选用标准方程求解;如果所给条件与圆心、半径,关系不密切或涉及圆上多点,那么常选用一般方程求解.,1-1,已知圆,C,的圆心在,x,轴的正半轴上,点,M,(0,)在圆,C,上,且圆心到直,线2,x,-,y,=0的距离为,则圆,C,的方程为,(,x,-2),2,+,y,2,=9,.,答案,(,x,-2),2,+,y,2,=9,解析,设圆,C,的方程为(,x,-,a,),2,+,y,2,=,r,2,(,a,0),由题意可得,解得,所以圆,C,的方程为(,x,-2),2,+,y,2,=9.,典例2,已知实数,x,、,y,满足方程,x,2,+,y,2,-4,x,+1=0.,(1)求,的最大值和最小值;,(2)求,y,-,x,的最大值和最小值;,(3)求,x,2,+,y,2,的最大值和最小值.,考点二与圆有关的最值问题,解析,(1)原方程化为(,x,-2),2,+,y,2,=3,表示以点(2,0)为圆心,为半径的圆.,设,=,k,则,y,=,kx,当直线,y,=,kx,与圆相切时,斜率,k,取最值,此时有,=,解得,k,=,故,的最大值为,最小值为-,.,(2)设,y,-,x,=,b,则,y,=,x,+,b,当直线,y,=,x,+,b,与圆相切时,纵截距,b,取得最值,此时,=,解得,b,=-2,所以,y,-,x,的最大值为-2+,最小值为-2-,.,(3),x,2,+,y,2,表示圆上一点与原点距离的平方,由平面几何知识知,在过原点,与圆心的直线和圆的两个交点处取得最值.,又圆心到原点的距离为2,所以,x,2,+,y,2,的最大值是(2+,),2,=7+4,x,2,+,y,2,的最小值是(2-,),2,=7-4,.,方法技巧,最值问题的几何转化法,(1)形如,=,形式的最值问题可转化为动直线斜率的最值问题.,(2)形如,t,=,ax,+,by,形式的最值问题可转化为动直线截距的最值问题.,(3)形如,m,=(,x,-,a,),2,+(,y,-,b,),2,形式的最值问题可转化为动点到定点的距离的,平方的最值问题.,2-1,已知圆,C,:(,x,-3),2,+(,y,-4),2,=1和点,A,(-,m,0),B,(,m,0)(,m,0).若圆,C,上存在,点,P,使得,APB,=90,则,m,的最大值为,(),A.7B.6C.5D.4,答案,B若,APB,=90,则点,P,的轨迹是以,AB,为直径的圆,其方程为,x,2,+,y,2,=,m,2,.由题意知圆,C,:(,x,-3),2,+(,y,-4),2,=1与圆,O,:,x,2,+,y,2,=,m,2,有公共点,所以|,m,-1|,|,OC,|,m,+1,又易知|,OC,|=5,所以4,m,6,故,m,的最大值为6.,B,典例3,已知,A,(2,0)为圆,x,2,+,y,2,=4上一定点,B,(1,1)为圆内一点,P,Q,为圆上,的动点.,(1)求线段,AP,中点的轨迹方程(,P,与,A,不重合);,(2)若,PBQ,=90,求线段,PQ,中点的轨迹方程.,考点三与圆有关的轨迹问题,解析,(1)设,AP,的中点为,M,(,x,y,),由中点坐标公式可知,P,点坐标为(2,x,-2,2,y,).,因为点,P,在圆,x,2,+,y,2,=4上,所以(2,x,-2),2,+(2,y,),2,=4.,故线段,AP,中点的轨迹方程为(,x,-1),2,+,y,2,=1(,x,2).,(2)设,PQ,的中点为,N,(,x,y,),在Rt,PBQ,中,|,PN,|=|,BN,|,设,O,为坐标原点,连接,ON,则,ON,PQ,所以|,OP,|,2,=|,ON,|,2,+|,PN,|,2,=|,ON,|,2,+|,BN,|,2,所以,x,2,+,y,2,+(,x,-1),2,+(,y,-1),2,=4.,故线段,PQ,中点的轨迹方程为,x,2,+,y,2,-,x,-,y,-1=0.,方法技巧,求与圆有关的轨迹问题时,根据题设条件的不同采用以下方法:(1)直接,法:直接根据题设给定的条件列出方程;(2)定义法:根据圆的定义列方程;,(3)几何法:利用圆的几何性质列方程;(4)代入法:找出要求的点与已知点,的关系,代入已知点满足的关系式,从而得出方程.,3-1,已知定点,M,(-3,4),动点,N,在圆,x,2,+,y,2,=4上运动,点,O,是坐标原点,以,OM,、,ON,为两边作平行四边形,MONP,求动点,P,的轨迹.,解析,四边形,MONP,为平行四边形,=,+,.,设点,P,(,x,y,),点,N,(,x,0,y,0,),则,=,-,=(,x,y,)-(-3,4)=(,x,+3,y,-4)=(,x,0,y,0,),x,0,=,x,+3,y,0,=,y,-4.,又点,N,在圆,x,2,+,y,2,=4上运动,+,=4,即(,x,+3),2,+(,y,-4),2,=4.,又当,OM,与,ON,共线时,O,、,M,、,N,、,P,构不成平行四边形,故动点,P,的轨迹是圆(,x,+3),2,+(,y,-4),2,=4且除去两点,和,.,