高考数学-立体几何知识点与例题讲解-题型、方法技巧--学生用.pdf

1立体几何知识点立体几何知识点 and 例题讲解例题讲解 一、知识点一、知识点常用结论常用结论1证明直线与直线的平行的思考途径：（1）转化为判定共面二直线无交点；（2）转化为二直线同与第三条直线平行；（3）转化为线面平行；（4）转化为线面垂直；（5）转化为面面平行.2证明直线与平面的平行的思考途径：（1）转化为直线与平面无公共点；（2）转化为线线平行；（3）转化为面面平行.3证明平面与平面平行的思考途径：（1）转化为判定二平面无公共点；（2）转化为线面平行；（3）转化为线面垂直.4证明直线与直线的垂直的思考途径：（1）转化为相交垂直；（2）转化为线面垂直；（3）转化为线与另一线的射影垂直；（4）转化为线与形成射影的斜线垂直.5证明直线与平面垂直的思考途径：（1）转化为该直线与平面内任一直线垂直；（2）转化为该直线与平面内相交二直线垂直；（3）转化为该直线与平面的一条垂线平行；（4）转化为该直线垂直于另一个平行平面；（5）转化为该直线与两个垂直平面的交线垂直.6证明平面与平面的垂直的思考途径：（1）转化为判断二面角是直二面角；（2）转化为线面垂直.7.夹角公式：设a a，b b，则 cosa a，b b=.123(,)a a a123(,)b b b1 1223 3222222123123aba ba baaabbb8异面直线所成角：=cos|cos,|a br r12121 2222222111222|x xy yz za babxyzxyzr rrr（其中（）为异面直线所成角，分别表示异面直线的方向向量）090ooa b,a br ra b,9.直线与平面所成角：(为平面的法向量).ABsin|AB marcAB muuu r u ruuu ru rmu r10、空间四点 A、B、C、P 共面，且 x+y+z=1OCzOByOAxOP11.二面角的平面角l 或（，为平面，的法向量）.cos|m narcm nu r ru rrcos|m narcm nu r ru rrmu rnr12.三余弦定理：设 AC 是 内的任一条直线，且 BCAC，垂足为 C，又设 AO 与 AB 所成的角为，AB 与 AC1所成的角为，AO 与 AC 所成的角为则.212coscoscos13.空间两点间的距离公式 若 A，B，则=111(,)x y z222(,)xyz,A Bd|ABAB ABuuu ruuu r uuu r.222212121()()()xxyyzz14.异面直线间的距离：(是两异面直线，其公垂向量为，分别是上任一点，|CD ndnuuu r u u rr12,l lnrCD、12,l l为间的距离).d12,l l15.点到平面的距离：（为平面的法向量，是经过面的一条斜线，）.B|AB ndnuuu r u u rrnrABA16.三个向量和的平方公式：2222()222abcabca bb cc a rrrrrrr rr rr r2222|cos,2|cos,2|cos,abcaba bbcb ccac arrrrrr rrrr rrrr r17.长度为 的线段在三条两两互相垂直的直线上的射影长分别为，夹角分别为,则有l123lll、123、.2222123llll222123coscoscos1222123sinsinsin2（立体几何中长方体对角线长的公式是其特例）.218.面积射影定理.(平面多边形及其射影的面积分别是、，它们所在平面所成锐二面角的).cosSSSS19.球的组合体(1)球与长方体的组合体:长方体的外接球的直径是长方体的体对角线长.(2)球与正方体的组合体:正方体的内切球的直径是正方体的棱长,正方体的棱切球的直径是正方体的面对角线长,正方体的外接球的直径是正方体的体对角线长.(3)球与正四面体的组合体:棱长为的正四面体的内切球的半径a为,外接球的半径为.612a64a20.求点到面的距离的常规方法是什么？（直接法、体积法）二二温馨提示：温馨提示：1.在用反三角函数表示直线的倾斜角、两条异面直线所成的角等时，你是否注意到它们各自的取值范围及义？异面直线所成的角、直线与平面所成的角、二面角的取值范围依次.直线的倾斜角、到的角、与的夹角的取值范围依次是 反正弦、反余弦、反正切函数的取值范围分别是三三解题思路：解题思路：1、平行垂直的证明主要利用线面关系的转化：线线线面面面判定线线线面面面性质线线线面面面 线面平行的判定：abbaa，面，面 a b 线面平行的性质：面，面，Ibab 三垂线定理（及逆定理）：PAAOPO面，为在 内射影，面，则a aOAaPOaPOaAO；a P O 线面垂直：abacbcbcOa，I a O b c 面面垂直：aa面，面面 面，Illaaa3 a l abab面，面 面 ，面 aa a b 2、三类角的定义及求法 （1）异面直线所成的角，090 （2）直线与平面所成的角，090 时，或0bob （）二面角：二面角的平面角，30180 loo （三垂线定理法：A 作或证 AB 于 B，作 BO棱于 O，连 AO，则 AO棱l，AOB 为所求。）三类角的求法：找出或作出有关的角。证明其符合定义，并指出所求作的角。计算大小（解直角三角形，或用余弦定理（四）（四）棱柱和棱锥棱柱和棱锥（1）.棱柱棱柱.a.直棱柱侧面积：（为底面周长，是高）该公式是利用直棱柱的侧面展开图为矩形得出的.ChS Ch斜棱住侧面积：（是斜棱柱直截面周长，是斜棱柱的侧棱长）该公式是利用斜棱柱的侧面lCS11Cl展开图为平行四边形得出的.b.四棱柱平行六面体直平行六面体长方体正四棱柱正方体.直四棱柱平行六面体=直平行六面体.I四棱柱平行六面体直平行六面体长方体正四棱柱正方体底面是平行四边形侧棱垂直底面底面是矩形底面是正方形侧面与底面边长相等c.棱柱具有的性质：4棱柱的各个侧面都是平行四边形，所有的侧棱都相等；直棱柱的各个侧面都是矩形；正棱柱的各个侧面都是全等的矩形.棱柱的两个底面与平行于底面的截面是对应边互相平行的全等多边形.过棱柱不相邻的两条侧棱的截面都是平行四边形.注：棱柱有一个侧面和底面的一条边垂直可推测是直棱柱.（）（直棱柱不能保证底面是矩形,可如图）（直棱柱定义）棱柱有一条侧棱和底面垂直.d.平行六面体：定理一：平行六面体的对角线交于一点，并且在交点处互相平分.注：四棱柱的对角线不一定相交于一点.定理二：长方体的一条对角线长的平方等于一个顶点上三条棱长的平方和.推论一：长方体一条对角线与同一个顶点的三条棱所成的角为，则 .,1coscoscos222推论二：长方体一条对角线与同一个顶点的三各侧面所成的角为，则.,2coscoscos222注：有两个侧面是矩形的棱柱是直棱柱.（）（斜四棱柱的两个平行的平面可以为矩形）各侧面都是正方形的棱柱一定是正棱柱.（）（应是各侧面都是正方形的直棱柱才行）对角面都是全等的矩形的直四棱柱一定是长方体.（）（只能推出对角线相等，推不出底面为矩形）棱柱成为直棱柱的一个必要不充分条件是棱柱有一条侧棱与底面的两条边垂直.（两条边可能相交，可能不相交，若两条边相交，则应是充要条件）（2）.棱锥棱锥：棱锥是一个面为多边形，其余各面是有一个公共顶点的三角形.注：一个三棱锥四个面可以都为直角三角形.一个棱柱可以分成等体积的三个三棱锥；所以.侧侧侧侧3VShVa.正棱锥定义：底面是正多边形；顶点在底面的射影为底面正多边形的中心.注：i.正四棱锥的各个侧面都是全等的等腰三角形.（不是等边三角形）ii.正四面体是各棱相等，而正三棱锥是底面为正三角形，侧棱与底棱不一定相等iii.正棱锥定义的推论：若一个棱锥的各个侧面都是全等的等腰三角形（即侧棱相等）；底面为正多边形.正棱锥的侧面积：（底面周长为，斜高为）Ch21S Ch棱锥的侧面积与底面积的射影公式：（侧面与底面成的二面角为）cos底侧SS附：以知，为二面角.clba cosblalabc5 则，得.laS211blS212ba coscos底侧SS注：S 为任意多边形的面积（可分别求多个三角形面积和的方法）.b.棱锥具有的性质：正棱锥各侧棱相等，各侧面都是全等的等腰三角形，各等腰三角形底边上的高相等（它叫做正棱锥的斜高）.正棱锥的高、斜高和斜高在底面内的射影组成一个直角三角形，正棱锥的高、侧棱、侧棱在底面内的射影也组成一个直角三角形.c.c.特殊棱锥的顶点在底面的射影位置：特殊棱锥的顶点在底面的射影位置：棱锥的侧棱长均相等，则顶点在底面上的射影为底面多边形的外心.棱锥的侧棱与底面所成的角均相等，则顶点在底面上的射影为底面多边形的外心.棱锥的各侧面与底面所成角均相等，则顶点在底面上的射影为底面多边形内心.棱锥的顶点到底面各边距离相等，则顶点在底面上的射影为底面多边形内心.三棱锥有两组对棱垂直，则顶点在底面的射影为三角形垂心.三棱锥的三条侧棱两两垂直，则顶点在底面上的射影为三角形的垂心.每个四面体都有外接球，球心 0 是各条棱的中垂面的交点，此点到各顶点的距离等于球半径；每个四面体都有内切球，球心是四面体各个二面角的平分面的交点，到各面的距离等于半径.I注：i.各个侧面都是等腰三角形，且底面是正方形的棱锥是正四棱锥.（）（各个侧面的等腰三角形不知是否全等）ii.若一个三棱锥，两条相对棱互相垂直，则第三组相对棱必然垂直.简证：ABCD，ACBD BCAD.令bACcADaAB,得，已知cacbADBCcADabABACBC,0,0cabbca则.0cbca0 ADBCiii.空间四边形 OABC 且四边长相等，则顺次连结各边的中点的四边形一定是矩形.iv.若是四边长与对角线分别相等，则顺次连结各边的中点的四边是一定是正方形.简证：取 AC 中点，则平面90易知 EFGH 为平行四OACACOBACoo,FGHBOACBOO边形EFGH 为长方形.若对角线等，则为正方形.EFGHFGEF（3）.球球：a.球的截面是一个圆面.BCDAabcFEHGBCDAOOr6球的表面积公式：.球的体积公式：.24 RS334RVb.纬度、经度：纬度：地球上一点的纬度是指经过点的球半径与赤道面所成的角的度数.PP经度：地球上两点的经度差，是指分别经过这两点的经线与地轴所确定的二个半平面的二面角的度BA,数，特别地，当经过点的经线是本初子午线时，这个二面角的度数就是点的经度.AB附：圆柱体积：（为半径，为高）hrV2rh圆锥体积：（为半径，为高）hrV231rh锥体体积：（为底面积，为高）ShV31Sh（1）.内切球：当四面体为正四面体时，设边长为 a，得ah36243aS底243aS侧.RaRaaa2224331433643aaaR46342334/42注：球内切于四面体：。hSRS313RS31V侧侧侧ACDB外接球：球外接于正四面体，可如图建立关系式.二、题型与方法二、题型与方法【考点透视考点透视】不论是求空间距离还是空间角，都要按照“一作，二证，三算”的步骤来完成。求解空间距离和角的方法有两种：一是利用传统的几何方法，二是利用空间向量。【例题解析例题解析】考点考点 1 点到平面的距离点到平面的距离求点到平面的距离就是求点到平面的垂线段的长度，其关键在于确定点在平面内的垂足，当然别忘了转化法与等体积法的应用.例 1 如图，正三棱柱的所有棱长都为，为中点111ABCABC2D1CC（）求证：平面；1AB 1ABD（）求二面角的大小；1AADB（）求点到平面的距离C1ABD考查目的：考查目的：本小题主要考查直线与平面的位置关系，二面角的大小，点到平面的距离等知识，考查空间想象能力、逻辑思维ABCD1A1C1BOR7能力和运算能力 考点考点 2 异面直线的距离异面直线的距离此类题目主要考查异面直线的距离的概念及其求法，考纲只要求掌握已给出公垂线段的异面直线的距离.例例 2 已知三棱锥，底面是边长为的正三角形，棱的长为 2，且垂直于底面.分别为ABCS 24SCDE、的中点，求 CD 与 SE 间的距离.ABBC、思路启迪思路启迪：由于异面直线 CD 与 SE 的公垂线不易寻找，所以设法将所求异面直线的距离，转化成求直线与平面的距离，再进一步转化成求点到平面的距离.考点考点 3 直线到平面的距离直线到平面的距离此类题目再加上平行平面间的距离，主要考查点面、线面、面面距离间的转化.例例 3 如图，在棱长为 2 的正方体中，G 是的中点，求 BD 到平面的距离.1AC1AA11DGB思路启迪思路启迪：把线面距离转化为点面距离，再用点到平面距离的方法求解.BACDOGH1A1C1D1B1O8考点考点 4 异面直线所成的角异面直线所成的角此类题目一般是按定义作出异面直线所成的角，然后通过解三角形来求角.异面直线所成的角是高考考查的重点.例例4、如图，在中，斜边可以通过以直线为轴旋转得到，RtAOB6OAB4AB RtAOCRtAOBAO且二面角的直二面角是的中点BAOCDAB（I）求证：平面平面；COD AOB（II）求异面直线与所成角的大小AOCD思路启迪思路启迪：（II）的关键是通过平移把异面直线转化到一个三角形内.考点考点 5 直线和平面所成的角直线和平面所成的角此类题主要考查直线与平面所成的角的作法、证明以及计算.线面角在空间角中占有重要地位，是高考的常考内容.例例 5.四棱锥中，底面为平行四边形，侧面底面已知，SABCDABCDSBC ABCD45ABC o2AB，2 2BC 3SASB（）证明；SABC（）求直线与平面所成角的大小SDSAB考查目的：考查目的：本小题主要考查直线与直线,直线与平面的位置关系，二面角的大小，点到平面的距离等知识，考查空间想象能力、逻辑思维能力和运算能力 OCADBEDBCAS9考点考点 6 二面角二面角此类题主要是如何确定二面角的平面角，并将二面角的平面角转化为线线角放到一个合适的三角形中进行求解.二面角是高考的热点，应重视.例例 6如图，已知直二面角，直线PQAPQBCCACB45BAPo和平面所成的角为CA30o（I）证明；BCPQABCQP（II）求二面角的大小BACP考点考点 7 利用空间向量求空间距离和角利用空间向量求空间距离和角众所周知，利用空间向量求空间距离和角的套路与格式固定.当掌握了用向量的方法解决立体几何问题这套强有力的工具时，不仅会降低题目的难度，而且使得作题具有很强的操作性.例例 7如图，已知1111ABCDABC D是棱长为3的正方体，点E在1AA上，点F在1CC上，且11AEFC（1）求证：1EBFD，四点共面；（2）若点G在BC上，23BG，点M在1BB上，GMBF，垂足为H，求证：EM 平面11BCC B；（3）用表示截面1EBFD和侧面11BCC B所成的锐二面角的大小，求tan10命题意图：本小题主要考查平面的基本性质、线线平行、线面垂直、二面角等基础知识和基本运算，考查空间命题意图：本小题主要考查平面的基本性质、线线平行、线面垂直、二面角等基础知识和基本运算，考查空间想象能力、逻辑推理能力和运算能力想象能力、逻辑推理能力和运算能力 考点考点 8.简单多面体的侧面积及体积和球的计算简单多面体的侧面积及体积和球的计算棱柱侧面积转化成求矩形或平行四边形面积，棱柱侧面积转化成求三角形的面积.直棱柱体积 V 等于底面积与高的乘积.棱锥体积 V 等于Sh 其中 S 是底面积，h 是棱锥的高.31典型例题例 8.已知圆 O1是半径为 R 的球 O 的一个小圆，且圆 O1的面积与球 O 的表面积的比值为，则线段 OO192与 R 的比值为 .命题目的：球截面的性质；球表面积公式.过程指引：依面积之比可求得，再在 RtOO1A 中即得Rr 选择题辨析选择题辨析注：两条异面直线在同一平面内射影一定是相交的两条直线.（）（可能两条直线平行，也可能是点和直线等）直线在平面外，指的位置关系：平行或相交若直线 a、b 异面，a 平行于平面，b 与的关系是相交、平行、在平面内.两条平行线在同一平面内的射影图形是一条直线或两条平行线或两点.在平面内射影是直线的图形一定是直线.（）（射影不一定只有直线，也可以是其他图形）在同一平面内的射影长相等，则斜线长相等.（）（并非是从平面外一点向这个平面所引的垂线段和斜线段）ba,是夹在两平行平面间的线段，若ba，则ba,的位置关系为相交或平行或异面.注：直线a与平面内一条直线平行，则a.（）（平面外一条直线）直线a与平面内一条直线相交，则a与平面相交.（）（平面外一条直线）若直线a与平面平行，则内必存在无数条直线与a平行.（）（不是任意一条直线，可利用平行的传递性证之）RrAO1OCBAGHMDEF1B1A1D1CN11两条平行线中一条平行于一个平面，那么另一条也平行于这个平面.（）（可能在此平面内）平行于同一直线的两个平面平行.（）（两个平面可能相交）平行于同一个平面的两直线平行.（）（两直线可能相交或者异面）直线l与平面、所成角相等，则.（）（、可能相交）注：垂直于同一平面的两个平面平行.（）（可能相交，垂直于同一条直线的两个平面平行）垂直于同一直线的两个平面平行.（）（一条直线垂直于平行的一个平面，必垂直于另一个平面）垂直于同一平面的两条直线平行.（）注：垂线在平面的射影为一个点.一条直线在平面内的射影是一条直线.（）射影定理推论：如果一个角所在平面外一点到角的两边的距离相等，那么这点在平面内的射影在这个角的平分线上注：有两个侧面是矩形的棱柱是直棱柱.（）（斜四面体的两个平行的平面可以为矩形）各侧面都是正方形的棱柱一定是正棱柱.（）（应是各侧面都是正方形的直棱柱才行）对角面都是全等的矩形的直四棱柱一定是长方体.（）（只能推出对角线相等，推不出底面为矩形）棱柱成为直棱柱的一个必要不充分条件是棱柱有一条侧棱与底面的两条边垂直.（两条边可能相交，可能不相交，若两条边相交，则应是充要条件）注：一个棱锥可以四各面都为直角三角形.一个棱柱可以分成等体积的三个三棱锥；所以侧侧侧侧3VShV注：i.正四棱锥的各个侧面都是全等的等腰三角形.（不是等边三角形）ii.正四面体是各棱相等，而正三棱锥是底面为正侧棱与底棱不一定相等iii.正棱锥定义的推论：若一个棱锥的各个侧面都是全等的等腰三角形（即侧棱相等）；底面为正多边形.注：i.各个侧面都是等腰三角形，且底面是正方形的棱锥是正四棱锥.（）（各个侧面的等腰三角形不知是否全等）ii.若一个三角锥，两条对角线互相垂直，则第三对角线必然垂直.简证：ABCD，ACBD BCAD.令bACcADaAB,得cacbADBCcADabABACBC,，已知 0,0cabbca0cbca则0 ADBC.iii.空间四边形 OABC 且四边长相等，则顺次连结各边的中点的四边形一定是矩形.iv.若是四边长与对角线分别相等，则顺次连结各边的中点的四边是一定是正方形.简证：取 AC 中点O，则ACACOBACoo,平面FGHBOACBOO90易知 EFGH 为平行四边形EFGH 为长方形.若对角线等，则EFGHFGEF为正方形.注：若a与b共线，b与c共线，则a与c共线.（）当0b时，不成立向量cba,共面即它们所在直线共面.（）可能异面若ab，则存在小任一实数，使ba.（）与0b不成立若a为非零向量，则00a.（）这里用到)0(bb之积仍为向量BCDAabcFEHGBCDAO