苏教版八年级数学.ppt

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,*,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,苏教版八年级上册 期末总复习典型题,第一章,全等三角形,第三章,勾股定理,CONTENT,目 录,第一章 全等三角形,全等形,全等三角形,性质,判定,应用,HL,全等三角形对应边相等,全等三角形对应角相等,解决问题,SSS,SAS,ASA,AAS,一般三角形,直,角,三,角,形,知识结构图,三角形全等判定方法1,用符号语言表达为：,在,ABC,与,DEF,中,ABCDEF,（,SAS,）,两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等。,(,可以简写成“边角边”或,“,SAS,”,),知识梳理,:,F,E,D,C,B,A,AC=DF,C=F,BC=EF,A=D,（已知）,AB=DE,（已知）,B=E,（已知）,在,ABC,和,DEF,中,ABCDEF,（,ASA,）,有两角和它们夹边对应相等的两个三角形全等,(,可以简写成“角边角”或“,ASA,”,）。,用符号语言表达为：,F,E,D,C,B,A,三角形全等判定方法2,知识梳理,:,三边对应相等的两个三角形全等（可以简写为“边边边”或“,SSS”,）。,A,B,C,D,E,F,在,ABC,和,DEF,中,ABC DEF,（,SSS,）,AB=DE,BC=EF,CA=FD,用符号语言表达为：,三角形全等判定方法3,知识梳理,:,知识梳理,:,思考,:,在,ABC,和,DFE,中,当,A=D,B=E,和,AC=DF,时,能否得到,ABCDFE?,三角形全等判定方法,4,有两角和其中一个角的对边对应相等的两个三角形全等,(,可以 简写成“角角边”或“,AAS,”,）。,知识梳理,:,A,B,D,A,B,C,SSA,不能判定全等,A,B,C,A,B,C,A,B,C,知识梳理,:,直角三角形全等判定：,HL,用符号语言表达为：,在,Rt,ABC,和,Rt,ABC,中,C=C=90,AB=AB,AC=AC,ABC ABC,（,HL),二、几种常见全等三角形基本图形,平移,旋转,翻折,A,C,D,E,F,G,找找复杂图形中的基本图形,设计意图：知道了这几种基本图形，那么在解决全等,三角形问题时，就容易从复杂的图形中分解出基本图,形，解题就会变得简便。,典型题型,1,、证明两个三角形全等,2,、证明两个角相等,3,、证明两条线段相等,一、全等三角形性质应用,1,：如图，,AOBCOD,，,AB=7,C=60,则,CD=,A=,.,A,B,C,D,O,7,60,一、全等三角形性质应用,2,：已知,ABCDEF,，,A=60,C=50,则,E=,.,70,解析；,全等三角形对应角相等,一、全等三角形性质应用,3,：,如图，,ABCDEF,，,DE=4,，,AE=1,，则,BE,的长是（）,A,5 B,4,C,3 D,2,C,解析；,全等三角形对应边相等。既,AB=ED,BE=AB-AE,1、证明两个三角形全等,例,1,：如图,点,B,在,AE,上,CAB=DAB,要使,ABCABD,可补充的一个条件是,.,分析：现在我们已知,ACAB=DAB,用,SAS,需要补充条件,AD=AC,用,ASA,需要补充条件,CBA=DBA,用,AAS,需要补充条件,C=D,此外,补充条件,CBE=DBE,也可以,(?),SAS,ASA,AAS,S AB=AB(,公共边,).,AD=AC,CBA=DBA,C=D,CBE=DBE,2.,已知：如图，,AB=AC,1=3,请你再添一个条件，使得,E=D,？为什么？,1.,已知：如图，,AB=AC,AD=AE,请你再添一个条件，使得,E=D,？为什么？,2、证明两个角相等,变式题：,BE=EB(,公共边,),又,AC DB(,已知,)DBE=CEB (,两直线平行,内错角相等,),例,3:,如图,AC DB,AC=2DB,E,是,AC,的中点,求证,:BC=DE,证明,:AC=2DB,AE=EC (,已知,)DB=EC,DB=EC,BE=EB,DBECEB(SAS)BC=DE (,全等三角形的对应边相等,),3、证明两条线段相等,例,4,如,图,A,E,B,D,在同一直线上,AB=DE,AC=DF,AC DF,在,ABC,和,DEF,(1),求证,:ABCDEF;,(,2),你还可以得到的结论是,.,(,写出一个,不再添加其他线段,不,再表注或使用其他字母,),(1),证明,:ACDF(,已知,)A=D (,两直线平行,内错角相等,),AB=DE(,已知,)A=D(,已证,)AC=DF(,已知,),ABCDEF(SAS),在,ABC,和,DEF,中,综合题：,（2）解:根据”全等三角形的对应边(角)相等”可知:,C=F,ABC=DEF,EFBC,AE=DB,等,BC=EF,综合题,:,如图,A,是,CD,上的一点,ABC,ADE,都是正三角形,求证,CE=BD,B,A,C,D,E,F,G,分析,:,证,ABDACE,变式,1,:,在原题条件不变的前提下,可以探求以下结论,:,(1),求证,:,AG=AF;,(2),求证,:ABFACG;,(3),连结,GF,求证,AGF,是正三角形,;,(4),求证,GF/CD,变式,2:,在原题条件下,再增加一个条件,在,CE,BD,上分别取中点,M,N,求证,:AMN,是正三角形,如图,A,是,CD,上的一点,ABC,ADE,都是正三角形,求证,CE=BD,A,C,D,E,F,G,B,变式,3:,如图,点,C,为线段,AB,延长线上一点,AMC,BNC,为正三角形,且在线段,AB,同侧,求证,AN=MB,A,B,C,N,M,分析,:,此中考题与原题相比较,只是两个三角形的位置不同,此图的两个三角形重叠在一起,增加了难度,其证明方法与前题基本相同,只须证明,ABNBCM,变式,4:,如图,ABD,ACE,都是正三角形,求证,CD=BE,A,B,C,D,E,分析,:,此题实质上是把题目中的条件,B,A,C,三点改为不共线,证明方法与前题基本相同,.,变式,6:,如图,分别以,ABC,的边,AB,AC,为一边画正方形,AEDB,和正方形,ACFG,连结,CE,BG.,求证,BG=CE,A,B,C,F,G,E,D,分析,:,此题是把两个三角形改成两个正方形而以,证法类同,1.,证明两个三角形全等，要结合题目的条件和结论，选择恰当的判定方法,2.,全等三角形，是证明两条线段或两个角相等的重要方法之一，证明时,要观察待证的线段或角，在哪两个可能全等的三角形中。,分析要证两个三角形全等，已有什么条件，还缺什么条件。,有公共边的，公共边一定是对应边，有公共角的，公共角一定是对应角，有对顶角，对顶角也是对应角,小结,:,3.,注意正确地书写证明格式,(,顺序和对应关系,).,例题一,:,已知,:,如图,B=DEF,BC=EF,补充条件求证,:,ABC,DEF,D,E,F,A,B,C,(1),若要以,“,SAS”,为依据，还缺条件,；,AB=DE,(2),若要以“,ASA”,为依据，还缺条件；,ACB=DFE,(3),若要以“,AAS”,为依据，还缺条件,A=D,(4),若要以“,SSS”,为依据，还缺条件,AB=DE AC=DF,(5),若,B=DEF=90,要以“,HL,”,为依据，还缺条件,AC=DF,例,2,、如图,某同学把一块三角形的玻璃打碎成了三块,现在要到玻璃店去配一块完全一样的玻璃,那么最省事的办法是拿,(),去配,.,证明题的分析思路：要证什么,已有什么,还,缺什么,创造条件,注意,1,、证明两个三角形全等，要结合题目的条件和结论，选择恰当的判定方法,2,、全等三角形，是证明两条线段或两个角相等的重要方法之一，证明时,要观察待证的线段或角，在哪两个可能全等的三角形中。,有公共边的，公共边一定是对应边，有公共角的，公共角一定是对应角，有对顶角，对顶角也是对应角,总之，证明过程中能用简单方法的就不要绕弯路。,=,=,_,_,A,B,C,D,P,例,3,已知：如图,P,是,BD,上的任意一点,AB=CB,AD=CD.,求证,:PA=PC,要证明,PA=PC,可将其放在,APB,和,CPB,或,APD,和,CPD,考虑,已有两条边对应相等,（其中一条是公共边）,还缺一组夹角对应相等,若能使,ABP=,CBP,或,ADP=,CDP,即可。,创造条件,分析：,=,=,_,_,A,B,C,D,P,例,3,已知：,P,是,BD,上的任意一点,AB=CB,AD=CD.,求证,PA=PC,证明：在,ABD,和,CBD,中,AB=CB,AD=CD,BD=BD,ABDCBD(SSS),ABD=CBD,在,ABP,和,CBP,中,AB=BC,ABP=CBP,BP=BP,ABP CBP(SAS),PA=PC,例,4,。已知,:,如图,AB=AE,B=E,，,BC=ED,AFCD,求证：,点,F,是,CD,的中点,分析：要证,CF=DF,可以考虑,CF,、,DF,所在的两个三角形全等，为此可,添加辅助线构建三角形全等,，如何添加辅助线呢,?,已有,AB=AE,B=E,，,BC=ED,怎样构建三角形能得到两个三角形全等呢？,连结,AC,AD,添加辅助线是几何证明中很重要的一种思路,证明：连结和,在和中，,，,B=E,，,（）,（全等三角形的对应边相等）,AFC=AFD=90,，,在,tAFC,和,tAFD,中,（已证）,（公共边）,tAFC,tAFD,（）,（,全等三角形的对应边相等,）,点,F,是,CD,的中点,如果把例,4,来个变身，聪明的同学们来再试身手吧！,已知,:,如图,AB=AE,B=E,，,BC=ED,，点,F,是,CD,的中点,(1),求证：,AFCD,(2),连接,BE,后，还能得出什么结论？（写出两个,),小结：,1,、全等三角形的定义，性质，判定方法。,2,、证明题的方法,要证什么,已有什么,还,缺什么,创造条件,3,、添加辅助线,第二章 轴对称图形,一、知识概况,本章着重研究轴对称的概念，性质，轴对称的作图，应用，以及轴对称图形和几个常见的轴对称图形的性质和判定。,如果把一个图形沿着某一条直线折叠后，能够与另一个图形重合，那么这两个图形关于这条直线成轴对称，这条直线叫做对称轴，两个图形中的对应点叫做对称点。,如果把一个图形沿着一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，那么这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴。,（一）轴对称和轴对称图形,1,、概念,2,、轴对称的性质：,成轴对称的两个图形全等；如果两个图形成轴对称，那么对称轴是对称点连线的垂直平分线。,（二）几个轴对称图形的性质：,1,、线段、射线、直线。,线段是轴对称图形，它有两条对称轴，它的对称轴是它所在的直线，和线段的垂直平分线。,线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等；到线段两端的距离相等的点在线段的垂直平分线上。,2,、角：,角是轴对称图形，它的对称轴是它的角平分线所在的直线。,角平分线上的点到角的两边的距离相等；到角的两边的距离相等的点在这个角的平分线上。,3,、等腰三角形等边三角形,二、重、难点剖析,1,、轴对称和轴对称图形的区别和联系。,区别：,轴对称是指两个图形沿某直线对折能够完全重合，而轴对称图形是指一个图形的两个部分沿某直线对折能完全重合。对称轴只有一条。,轴对称是反映两个图形的特殊位置、大小关系；轴对称图形是反映一个图形的特性。对称轴可能会有多条。,联系：,两部分都完全重合，都有对称轴，都有对称点。,如果把成轴对称的两个图形看成是一个整体，这个整体就是一个轴对称图形；如果把一个轴对称图形的两旁的部分看成两个图形，这两个部分图形就成轴对称。,2,、轴对称的性质和几个简单的轴对称图形的性质，是这部分的重点知识，应引起足够的重视。,3,、轴对称的实际应用应提高到足够的地位。,4,、用对称的眼光看问题，解决问题，指导辅助线的添加。,例,1,：如图，如果,ACD,的周长为,17cm,，,ABC,的周长为,25cm,，根据这些条件，你可以求出哪条线段的长,?,思路点拨,：,（,1,）,ACD,的周长,AD,CD,AC,17,；,（,2,）,ABC,的周长,AB,AC,BC,25,；,（,3,）由,DE,是,BC,的垂直平分线得：,BD,CD,；所以,AD,CD,AD,BD,AB,。,（,4,）由（,2,）（,1,）得,BC,8cm.,小结点评,：,（,2,）当条件中有线段的垂直平分线时，要主动去寻找相等线段。,（,1,）分析题意时，要将复杂条件简单化、具体化。,例,2,：如图，,AD,是,ABC,的中线，,ADC,60,，把,ADC,沿直线,AD,折过来，,C,落在,C,的位置，,（,1,）在图中找出点,C,，连结,BC,；,（,2,）如果,BC,4,，求,BC,的长。,思路点拨,：,由于翻折后的图形与翻折前的图形关于折痕对称；所以,C,、,C,关于直线,AD,对称，,AD,垂直平分,CC,，,C,又处于对称位置的元素（线段、角）对应相等，这为问题解决提供了条件。,C,解：,（,1,）画,CO,垂直,AB,，并延长到,C,，使得,OC,OC,，点,C,即为所求。,O,（,2,）连结,CD,，由对称性得,CD,CD,，,CDA,CDA,60,；所以,BDC,60,，,所以，,CBD,是等边三角形，,所以，,BC,BD,2,。,C,小结点评,：,1,、翻折变换后得到的图形与原图形关于折痕对称；对应点的连线段被折痕垂直平分；,2,、解决翻折问题，要注意隐含在图形中的相等线段、相等角，全等三角形；因为一切处于对称位置的线段相等，角相等，三角形全等。,3,、从对称角度完善图形，让隐含条件显现出来，这是这部分题目添加辅助线的一个重要规律。,练习,2,如图，在一个规格为,4,8,的球台上，有两个小球,P,和,Q,。若击打小球,P,经过球台的边,AB,反弹后，恰好击中小球,Q,，则小球,P,击出时，应瞄准,AB,边上的（）,A,、,O,1,点,B,、,O,2,点,C,、,O,3,点,D,、,O,4,点,B,第三章 勾股定理,1.,如图，,已知在,ABC,中，,B,=90,，,一直角边为,a,，斜边为,b,，则另一直角边,c,满足,c,2,=,.,【,思考,】,为什么不是？,答案：因为,B,所对的边是斜边,.,答案：,（一）知两边或一边一角型,题型一,勾股定理的直接应用,考题分类,2.,在,Rt,ABC,中，,C,=90.,（,1,）如果,a,=3,，,b,=4,，则,c,=,；,（,2,）如果,a,=6,，,c,=10,，则,b,=,；,（,3,）如果,c,=13,，,b,=12,，则,a,=,；,（,4,）已知,b,=3,，,A,=30,，求,a,，,c,.,5,8,5,（一）知两边或一边一角型,答案,:,（,4,）,a,=,，,c,=,.,1.,如图，已知在,ABC,中，,B,=90,，若,BC,4,，,AB,x,，,AC,=8-,x,，则,AB,=,AC,=,.,2.,在,Rt,ABC,中,B,=90,，,b,=34,a,:,c,=8:15,则,a,=,c,=,.,3.,（选做题）在,Rt,ABC,中，,C,=90,，若,a,=12,c,-,b,=8,求,b,c,.,答案：,3.,b,=5,，,c,=13.,3,5,16,30,（二）知一边及另两边关系型,1.,对三角形边的分类,.,已知一个直角三角形的两条边长是,3 cm,和,4 cm,，求第三条边的长,注意：这里并没有指明已知的两条边就是直角边，所以,4 cm,可以是直角边，也可以是斜边，即应分情况讨论,答案：,5 cm,或,cm,.,（三）分类讨论的题型,已知：在,ABC,中，,AB,15 cm,，,AC,13 cm,，高,AD,12 cm,，求,S,ABC,答案：第,1,种情况：如图,1,，在,Rt,ADB,和,Rt,ADC,中，分别由勾股定理，得,BD,9,，,CD,5,，所以,BC,BD,+,CD,9+5,14,故,S,ABC,84,（,cm,2,）,第,2,种情况，如图,2,，可得：,S,ABC,=24,（,cm,2,）,2.,对三角形高的分类,.,图,1,图,2,（三）分类讨论的题型,【,思考,】,本组题，利用勾股定理解决了哪些类型题目？注意事项是什么？,利用勾股定理能求三角形的边长和高等线段的长度,.,注意没有图形的题目，先画图，再考虑是否需分类讨论,.,1.,在一块平地上，张大爷家屋前,9,米远处有一棵大树在一次强风中，这棵大树从离地面,6,米处折断倒下，量得倒下部分的长是,10,米出门在外的张大爷担心自己的房子被倒下的大树砸到大树倒下时能砸到张大爷的房子吗？（）,A,一定不会,B,可能会,C,一定会,D,以上答案都不对,A,题型二,用勾股定理解决简单的实际问题,2.,如图，滑杆在机械槽内运动，,ACB,为直角，已知滑杆,AB,长,2.5,米，顶端,A,在,AC,上运动，量得滑杆下端,B,距,C,点的距离为,1.5,米，当端点,B,向右移动,0.5,米时，求滑杆顶端,A,下滑多少米？,A,E,C,B,D,答案：解：设,AE,的长为,x,米，依题意,得,CE=AC-x,AB=DE,=2.5,BC,=1.5,C,=90,，,AC,=2.,BD,=0.5,AC,=2.,在,Rt,ECD,中，,CE,=1.5.,2-,x,=1.5,，,x,=0.5.,即,AE,=0.5.,答：梯子下滑,0.5,米,思考：利用勾股定理解题决实际问题时，基本步骤是什么？,Zxxk,答案：,1.,把实际问题转化成数学问题，找出相应的直角三角形,.,2.,在直角三角形中找出直角边，斜边,.,3.,根据已知和所求，利用勾股定理解决问题,.,1,证明线段相等,.,已知：如图，,AD,是,ABC,的高，,AB,=10,，,AD,=8,，,BC,=12.,求证：,ABC,是等腰三角形,.,答案：证明：,AD,是,ABC,的高，,ADB,=,ADC,=90.,在,Rt,ADB,中，,AB,=10,，,AD,=8,，,BD,=6.,BC,=12,DC,=6.,在,Rt,ADC,中，,AD,=8,，,AC,=10,，,AB,=,AC.,即,ABC,是等腰三角形,.,分析：利用勾股定理求出线段,BD,的长，也能求出线段,AC,的长，最后得出,AB,=,AC,，即可,.,题型三,会用勾股定理解决较综合的问题,【,思考,1】,由,AB,=8,，,BC,=10,你可以知道哪些线段长？请在图中标出来,.,答案：,AD,=10,，,DC,=8.,2,解决折叠的问题,.,已知如图，将长方形的一边,BC,沿,CE,折叠，,使得点,B,落在,AD,边的点,F,处，已知,AB,=8,，,BC,=10,求,BE,的长,.,2,解决折叠的问题,.,已知如图，将长方形的一边,BC,沿,CE,折叠，,使得点,B,落在,AD,边的点,F,处，已知,AB,=8,，,BC,=10,求,BE,的长,.,【,思考,2】,在,Rt,DFC,中，你可以求出,DF,的长吗？请在图中标出来,.,答案：,DF=,6,.,2,解决折叠的问题,.,已知如图，将长方形的一边,BC,沿,CE,折叠，,使得点,B,落在,AD,边的点,F,处，已知,AB,=8,，,BC,=10,求,BE,的长,.,答案：,AF=,4,.,【,思考,3】,由,DF,的长，你还可以求出哪条线段长？,请在图中标出来,.,2,解决折叠的问题,.,已知如图，将长方形的一边,BC,沿,CE,折叠，,使得点,B,落在,AD,边的点,F,处，已知,AB,=8,，,BC,=10,求,BE,的长,.,【,思考,4】,设,BE=,x,，你可以用含有,x,的式子表示出哪些线段长？请在图中标出来,.,答案：,EF,=,x,，,AE,=8-,x,，,CF,=10.,2,解决折叠的问题,.,已知如图，将长方形的一边,BC,沿,CE,折叠，,使得点,B,落在,AD,边的点,F,处，已知,AB,=8,，,BC,=10,求,BE,的长,.,Zxxk,【,思考,5】,你在哪个直角三角形中，应用勾股定理建立方程？你建立的方程是,.,答案：直角三角形,AEF,A,=90,AE=8-x,，,.,2,解决折叠的问题,.,已知如图，将长方形的一边,BC,沿,CE,折叠，,使得点,B,落在,AD,边的点,F,处，已知,AB,=8,，,BC,=10,求,BE,的长,.,【,思考,6】,图中共有几个直角三角形？每一个直角三角形的作用是什么？折叠的作用是什么？,答案：四个，两个用来折叠，将线段和角等量转化，一个用来知二求一，最后一个建立方程,.,2,解决折叠的问题,.,已知如图，将长方形的一边,BC,沿,CE,折叠，,使得点,B,落在,AD,边的点,F,处，已知,AB,=8,，,BC,=10,求,BE,的长,.,【,思考,7】,请把你的解答过程写下来,.,答案：,设,BE,=,x,，折叠，,BCE,FCE,，,BC,=,FC,=10.,令,BE=FE=x,，长方形,ABCD,，,AB=DC,=8,，,AD=BC,=10,，,D,=90,，,DF,=6,AF,=4,，,A,=90,AE,=8-,x,，,，解得,x,=5.,BE,的长为,5.,3.,做高线，构造直角三角形,.,已知：如图，在,ABC,中，,B,=45,，,C,=60,，,AB,=2.,求（,1,）,BC,的长；（,2,）,S,ABC,.,分析：由于本题中的,ABC,不是直角三角形，所以添加,BC,边上的高这条辅助线，就可以求得,BC,及,S,ABC,.,答案：过点,A,作,AD,BC,于,D,ADB,=,ADC,=90.,在,ABD,中，,ADB,=90,，,B,=45,，,AB,=2,，,AD=BD,=.,在,ABD,中，,ADC,=90,，,C,=60,，,AD,=,，,CD,=,BC,=,，,S,ABC,=,1+,3.,做高线，构造直角三角形,.,已知：如图，在,ABC,中，,B,=45,，,C,=60,，,AB,=2.,求（,1,）,BC,的长；（,2,）,S,ABC,.,思考,：在不是直角三角形中如何求线段长和面积？,解一般三角形的问题常常通过作高转化成直角三角形，利用勾股定理解决问题,.,思考：,利用勾股定理解决综合题的基本步骤是什么？,画图与标图，根据题目要求添加辅助线，构造直角三角形,.,将已知量与未知量集中到同一个直角三角形中,.,利用勾股定理列出方程,.,解方程，求线段长，最后完成解题,.,1,下列线段不能组成直角三角形的是（）,A,a,=8,，,b,=15,，,c,=17 B,a,=9,，,b,=12,，,c,=15,C,a,=,，,b,=,，,c,=D,a,：,b,：,c,=2,：,3,：,4,2.,如图，在由单位正方形组成的网格图中标有,AB,CD,EF,GH,四条线段，其中能构成一个直角三角形三边的是（）,CD,EF,GH,AB,EF,GH,AB,CD,GH,AB,CD,EF,C,E,B,H,D,F,A,G,D,B,题型四,勾股定理的逆定理的应用,已知：如图，四边形,ABCD,，,AB,=1,，,BC,=2,，,CD,=2,，,AD,=3,，且,AB,BC,.,求四边形,ABCD,的面积,.,分析：本题解题的关键是恰当的添加辅助线，利用勾股定理的逆定理判定,ADC,的形状为直角三角形，再利用勾股定理解题,.,答案：连接,AC,AB,BC,，,ABC,=90.,在,ABC,中，,ABC,=90,，,AB,=1,，,BC,=2,，,AC,=.,CD,=2,，,AD,=3,ACD,是直角三角形；四边形的面积为,1+.,由形到数,实际问题,(,直角三角形边长计算,),勾股定理,勾股定理的逆定理,实际问题,(,判定直角三角形,),由数到形,互逆 定理,复习归纳,勾股定理,勾股定理的逆定理,题设,在,Rt,ABC,中,C,=90,0,在,ABC,中,三边,a,b,c,满足,a,2,+b,2,=c,2,结论,a,2,+b,2,=c,2,C,=90,0,作用,1.,用勾股定理进行计算,2.,证明与平方有关的问题,3.,解决实际问题,1.,判断某三角形是否为直角三角形,2.,解决实际问题,联系,1.,两个定理都与“三角形的三边关系,a,2,+b,2,=c,2,”,有关,;,2.,都与直角三角形有关；,3.,都是数形结合思想的体现.,1.,有四个三角形，分别满足下列条件：,一个内角等于另两个内角之和；,三个角之比为,3,：,4,：,5,；,三边之比分别为,7,、,24,、,25,；,三边之比分别为,5,：,12,：,13,其中直角三角形有（）,A.1,个,B.2,个,C.3,个,D.4,个,C,课后演练,2.,观察下列图形，正方形,1,的边长为,7,，则正方形,2,、,3,、,4,、,5,的面积之和为,.,49,3.,折叠矩形,ABCD,的一边,AD,，折痕为,AE,，且使,D,落在,BC,边上的点,F,处，已知,AB=8cm,BC=10cm,则点,F,的坐标是,，点,E,的坐标是,。,第,2,题图,第,3,题图,（,6,，,0,）,（,0,3,）,4.,第四章 实数,1.,平方根的定义,:,如果有一个数,r,，使得,r,2,=,a,，那么我们把,r,叫作,a,的一个平方根，也叫作二次方根,.,符号表示为：若,r,2,=,a,；,r,=.,2.,平方根的性质,:,(1),一个正数有,2,个平方根，它们互为相反数；,(2)0,的平方根与算术平方根都是,0,；,(3),负数没有平方根。,3.,算术平方根的定义,:,如果有一个数,r,(,r,0),，使得,r,2,=,a,，那么我,们把,r,叫作,a,的算术平方根,.,4.,算术平方根的性质,:,一个非负数的算术平方根是非负数。,一个数的算术平方根的平方等于这个数本身。,一个数的平方的算术平方根等于这个数的绝对值。,-,代数式的意义,代数式的表达,a,的算术平方根,a,的负平方根,a,的平方根,5.,平方根的表示方法,:,（设,a,0,）,求一个非负数的平方根的运算，叫作开平方,.,6.,开平方,:,开平方,平方,互逆,7.,平方根与算术平方根之间的区别与联系,区别,定义,个数,符号,表示法,等于本身的数,平方根,算术,平方根,如果 那么 叫做 的平方根。,如果 那么,叫做 的算术平方根,1,2,+,0,0,、,1,二者有着包含关系：平方根中包含算术平方根，算术平方根是平方根中的非负的那一个；,存在条件相同，非负数才有平方根和算术平方根；,0,的平方根和,0,的算术平方根都是,0,。,即一个非负数的算术平方根是非负数。,即一个数的绝对值是非负数。,即一个数的平方是非负数。,8.,非负性：,如果几个非负数相加和为,0,，,则这几个非负数都等于,0.,课堂练习,一,.,求下列各式的平方根与算术平方根：,一般地，求一个数的平方根的方法有两种：,1.,根据乘方意义求平方根,;2.,用计算器求平方根,.,二,.,用计算器求下列各式的值：,三,.,用计算器求下列各式的近似值,（,精确到,0.001,）,解：,解,1.4,的,平方根,是,；算术平方根是,_,2,2,四,.,填空：,2.,若,x,2,=3,，则,x,=,，若,=3,，则,x,=,；,3,3.,若（,x,-1,）,2,=4,，则,x,=,，,3,或,1,4.,若一个数的一个平方根为,-7,，则另一个平方根为,，这个数是,。,7,49,5.,若一个正数的两个平方根为,2,a,-6,、,3,a,+1,，则,a,=,，这个正数为,；,1,16,。,的算术平方根等于,）,（,2,3,.,6,-,。,）,，则（,若,7,=,-,=,-,2,5,x,2,4,5,x,2,.,256,。,的算术平方根为,时，,当,8,a,3,a,9,a,.,2,0,-5,互为相,反数,11.,一个自然数的算术平方根是,a,，则下一个自然数的算,术平方根是,_.,10.,的算术平方根的相反数是,_.,-16,12.,一个自然数的平方,b,那么比这个自然数大,1,的数是,_,7450000,1.,的平方根是,4.(),2.,一定是正数,.(),3.,a,2,的算术平方根是,a,.(),4.,若,则,a,=-5.(),5.(),6.-6,是,(-6),2,的平方根,.(),7.,若,x,2,=36,则,x,=(),8.,如果两个数的平方相等,那么这两个数也相等（）,五,.,判断：,9.,平方根是本身的数有,0,1,(),1.,下列各数中，不一定有平方根的是（）,（,A,）,x,2,+1,（,B,）,|,x,|+2,（,C,）（,D,）,|a|-1,D,2.,已知 有意义,则,x,一定是,(),（,A,）正数 （,B,）负数,（,C,）非负数 （,D,）非正数,D,六,.,选择,:,如果一个数,b,，使得,b,3,=,a,，那么我们把,b,叫作,a,的一个立方根，也叫作三次方根,.,a,的立方根记作,，读作,“,立方根号,a,”,或,“,三次根号,a,”,用符号表示为：若,b,3,=,a,，则,b,=.,9.,立方根的定义：,立方根的符号与被开方数的符号相同。,(1),一个正数有一个立方根，是正数；,(2)0,的立方根是,0,；,(3),一个负数有一个立方根，是负数。,10.,立方根的性质（唯一性）：,一个数的立方根的立方等于这个数本身。,一个数的立方的立方根等于这个数本身。,若两个数互为相反数，那么这两个,数的立方根也互为相反数。,代数式的意义,代数式的表达,12.,立方根的表示方法：,求一个数的立方根的运算，叫作开立方,.,11.,开立方,:,开立方,立方,互逆,联系：,(1)0,的平方根、立方根都是,0.,(2),平方根、立方根都是开方的结果,.,定义,表示法,被开方数,a,的取值范围,正数,0,负数,平方根,立方根,如果,b,3,=,a,，那么,b,叫作,a,的一个立方根，,如果,r,2,=,a,，那么,r,叫作,a,的一个平方根，,非负数,任何实数,2,个,平方根,1,个,平方根,无,1,个,立方根,1,个,立方根,1,个,立方根,区别,13.,平方根与立方根的区别与联系：,一,.,求下列各式的立方根：,课堂练习,一般地，求一个数的立方根的方法有两种：,1.,根据乘方意义求立方根,;2.,用计算器求立方根,.,二,.,用计算器求下列各数的立方根：,解：,三,.,用计算器求下列各数的近似值,（,精确到,0.001,）,解：,-1000,，,216,，,-3.375.,(1),平方根是它本身的数是,_,(2),算术平方根是其本身的数是,_,(3),立方根是其本身的数是,_,(4),的立方根为,.,(5),的平方根为,.,(6),的立方根的相反数为,.,0,0,，,1,，,-1,0,，,1,，,2,2,-2,四,.,求下列各式的立方根：,(7),若,x,=16,，则,12-,x,的立方根是,_.,(8),若,4,a,+1,的平方根是,5,，求,2,a,-8,的立方根。,(9),已知,(,b,-2),+|,c,+5|=0,，求,c,-,a,-,b,的立方根。,(10),已知,y,=+-3,，求,xy,的立方根。,五,.,判断正误：,（,7,）,的立方根是,（,9,）,0,的平方根与立方根都是,0,的立方根是,（,10,）,（,5,）负数没有立方根,（,6,）,4,的平方根是,2,（,8,）负数有一个平方根,按定义分：,按正负分：,13.,实数的分类：,实数,有理数,整数,正整数,(,自然数,),零,负整数,分数,正分数,负分数,无理数,正无理数,负无理数,负无理数,负分数,负整数,负有理数,负实数,零,正无理数,正分数,正整数,正有理数,正实数,实数,(,自然数,),按定义分：,按正负分：,圆周率及一些化简之后含有的数,开不尽方的数及化简之后含根号的数,有一定的规律，但不循环的无限小数,注意,:,带根号的数不一定是无理数,如,例如：,2+,，,-3,，,5,例如：,0.1010010001,，,-2.7878878887,无限不循环小数叫做无理数,(,强调,:,无限,不循环,.),无理数常见的,3,种典型,:,一,.,判断：,（,1,）任何一个无理数的绝对值都是正数,;,（,2,）带根号的数都是无理数；,（,3,）实数可以分为正实数和负实数两类；,（,4,）有理数与数轴上的点一一对应,;,(5),实数不是有理数就是无理数,;,(6),无理数都是无限小数。,（,7,）有理数与无理数之和一定是无理数；,（,8,）有理数与无理数之差一定是无理数；,（,9,）有理数与无理数之积一定是无理数；,（,10,）有理数与无理数之商一定是无理数；,（,11,）无有理数与无理数之和一定是无理数；,（,12,）无理数与无理数之差一定是无理数；,（,13,）无理数与无理数之积一定是无理数；,（,14,）无理数与无理数之商一定是无理数；,2.,把下列各数填入相应的集合内：,有理数集合：,无理数集合：,整数集合：,分数集合：,实数集合：,1.,的相反数是,，倒数是,2.,绝对值小于 的整数是,，,3.,一个数的绝对值是 ，则这个数是,.,三,.,填空：,4.a,、,b,互为相反数，,c,与,d,互为倒数,则,a+1+b+cd=,。,2,5.,倒数是它本身的数是,_,。,1,或,-1,7.,若,3,，,5,为三角形三边，化简：,=2,m,-10,无理数都是无限小数；无理数都是开方开不尽的数；,带根号的都是无理数；无限小数都是无理数。,A.1,个；,B.2,个；,C.3,个；,D.4,个。,1.,下列说法中，错误的个数是（）,C,四,.,判断：,2.,已知,a,与,互为倒数，则满足条件的实数,a,的,个数是,(),A.0,个,B.1,个,C.2,个,D.3,个,C,3.,若,|,a,-3|-3+,a,，则,a,的取值范围是（）,A.,a,3 B.,a,3,C,第五章 平面直角坐标系,知识梳理,垂直,有公共原点,确定平面内点的位置,建立平面直角坐标系,点坐标（有序数对）,P,（,x,，,y,）,画两条数轴,本章学习了哪些知识？它们之间的联系是什么？,1,2,3,-1,-2,-3,y,x,1,2,3,-1,-2,-3,-4,O,在平面内有公共原点而且互相垂直的两条数轴，构成了平面直角坐标系,.,x,O,1,2,3,-1,-2,-3,1,2,-1,-2,-3,y,A,A,点的坐标,记作,A(2,，,1),一：由点找坐标,规定：横坐标在前,纵坐标在后,二：由坐标找点,B(3,，,-2),？,由坐标找点的方法：,先找到表示横坐标与纵坐标的点，然后过,这两点分别作,x,轴与,y,轴的垂线，垂线的交点就是该坐标对应的点。,B,第四象限,1,2,3,-1,-2,-3,y,x,1,2,3,-1,-2,-3,-4,O,若点,P,（,x,，,y,）在第一象限，则,x,0,，,y,0,若点,P,（,x,，,y,）在第二象限，则,x,0,，,y,0,若点,P,（,x,，,y,）在第三象限，则,x,0,，,y,0,若点,P,（,x,，,y,）在第四象限，则,x,0,，,y,0,三：各象限点坐标的符号,第一象限,第三象限,第二象限,1.,点的坐标是（，），则点在第,象限,四,一或三,3.,若点（,x,，,y,）的坐标满足,xy,，且在,x,轴上方，则点在第,象限,二,练一练,注：,判断点的位置关键抓住象限内点的,坐标的符号特征,.,4.,若点,A,的坐标为,(a,2,+1,-2b,2,),则点,A,在第,_,象限,.,2.,若点（,x,，,y,）的坐标满足,xy,，则点在第 象限；,四,第四象限,1,2,3,-1,-2,-3,y,x,1,2,3,-1,-2,-3,-4,O,第一象限,第三象限,第二象限,A(3,0),在第几象限,?,注：,坐标轴上的点不属于任何象限。,四：坐标轴上点的坐标符号,练一练,1.,点,P(m+2,m-1),在,x,轴上,则点,P,的坐标是,.,(3,0),2.,点,P(m+2,m-1),在,y,轴上,则点,P,的坐标是,