高三数学总复习213函数模型及其应用教案新人教A版.doc

2014届高三数学总复习 2.13函数模型及其应用教案 新人教A版
考情分析
考点新知
函数模型应用问题的考查是江苏高考比较固定的考查题型，要非常重视，复习时应在准确把握各种函数的特征基础上，根据具体实际问题的情境，建立相关函数模型，利用函数知识分析解决问题．

① 了解指数函数、对数函数以及幂函数的增长特征，知道直线上升、指数增长、对数增长等不同函数类型增长的含义.
② 了解函数模型(如二次函数、指数函数、对数函数、幂函数、分段函数等在社会生活中普遍使用的函数模型)的广泛应用.
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1. (必修1P110练习1)某地高山上温度从山脚起每升高100 m降低0.6 ℃.已知山顶的温度是14.6 ℃，山脚的温度是26 ℃，则此山的高为________m.
答案：1 900
解析：(26－14.6)÷0.6×100＝1 900.
2. (必修1P71习题10改编)已知某种产品今年产量为1 000件，若计划从明年开始每年的产量比上一年增长10%，则3年后的产量为________件．
答案：1 331
解析：1 000×(1＋10%)3＝1 331.
3. (必修1P35练习3改编)已知等腰三角形的周长为20，底边长y是关于腰长x的函数，则该函数的定义域为________．
答案：(5，10)
4. (必修1P110复习10)在不考虑空气阻力的情况下，火箭的最大速度v(单位：m/s)和燃料的质量M(单位：kg)、火箭(除燃料外)的质量m(单位：kg)的函数关系式为v＝2 000ln.当燃料质量是火箭质量的________倍时，火箭的最大速度可以达到12 km/s.
答案：e6－1
解析：由2 000ln＝12 000，得1＋＝e6，所以＝e6－1.
5. (必修1P100练习3改编)某商品在近30天内每件的销售价格P(元)与时间t(天)的函数关系为P＝且该商品的日销售量Q与时间t(天)的函数关系为Q＝－t＋40(0<t≤30，t∈N)，则这种商品日销量金额最大的一天是30天中的第________天．
答案：25
解析：设日销量金额为W元，则W＝P·Q＝
当0<t<25，t∈N时，W(t)<W(25)；当25≤t≤30，t∈N时，W(t)≤W(25)．

1. 常用的函数模型有一次函数、二次函数、指数函数、对数函数、幂函数．
2. 指数函数、对数函数、幂函数的增长速度的比较：一般地，在区间(0，＋∞)上，尽管函数y＝ax(a>1)，y＝logax(a>1)和y＝xn(n>0)都是增函数，但是它们的增长速度不同，而且不在同一个“档次上”．随着x的增大，y＝ax(a>1)的增长速度越快，会越过并远远大于y＝xn(n>0)的增长速度；而y＝logax(a>1)的增长速度会越慢．因此，总会存在一个x0，当x>x0时，有ax0>x>logax0(比较ax0，x，logax0的大小)．
3. 函数模型的应用实例的基本题型
(1) 给定函数模型解决实际问题．
(2) 建立合适的函数模型解决问题．
(3) 建立拟合函数模型解决实际问题．
4. 函数建模的基本程序

题型1　一次、二次函数模型
例1　市场营销人员对过去几年某商品的价格及销售数量的关系作数据分析发现有如下规律：该商品的价格每上涨x%(x>0)，销售数量就减少kx%(其中k为正常数)．目前该商品定价为每个a元，统计其销售数量为b个．
(1) 当k＝时，该商品的价格上涨多少，才能使销售的总金额达到最大？
(2) 在适当的涨价过程中，求使销售总金额不断增加时k的取值范围.
解：由题意，价格上涨x%以后，销售总金额为y＝a(1＋x%)·b(1－kx%)＝[－kx2＋100(1－k)x＋10 000]．
(1) 当k＝时，y＝(－x2＋50x＋10 000)＝[22 500－(x－50)2]，
因此当x＝50，即价格上涨50%时，y取最大值ab.
(2) y＝[－kx2＋100(1－k)x＋10 000]，此二次函数的图象开口向下，对称轴为x＝.
在适当涨价的过程中，销售总金额不断增加，即要求此函数当自变量x在{x|x>0}的一个子集内增大时，y也增大，因此>0，解得0<k<1.

如图，建立平面直角坐标系xOy，x轴在地平面上，y轴垂直于地平面，单位长度为1 km，某炮位于坐标原点．已知炮弹发射后的轨迹在方程y＝kx－(1＋k2)x2(k>0)表示的曲线上，其中k与发射方向有关．炮的射程是指炮弹落地点的横坐标．
(1) 求炮的最大射程；
(2) 设在第一象限有一飞行物(忽略其大小)，其飞行高度为3.2 km，试问它的横坐标a不超过多少时，炮弹可以击中它？请说明理由．

解：(1) 令y＝0，得kx－(1＋k2)x2＝0，由实际意义和题设条件知x>0，k>0，故x＝＝≤＝10.当且仅当k＝1时取等号．所以炮的最大射程为10 km.
(2) 因为a>0，所以炮弹可击中目标存在k>0，使3.2＝ka－(1＋k2)a2成立关于k的方程a2k2－20ak＋a2＋64＝0有正根判别式Δ＝(－20a)2－4a2(a2＋64)≥0a≤6.所以当a不超过6(km)时，可击中目标．
题型2　指数、对数函数模型
例2　设在海拔xm处的大气压强是yPa，y与x之间的函数关系为y＝cekx，其中c、k为常量．已知某天的海平面的大气压为1.01×105 Pa，1000m高空的大气压为0.90×105Pa，求600m高空的大气压强．(保留3位有效数字)
解：将x＝0时，y＝1.01×105Pa和x＝1000时，y＝0.90×105 Pa分别代入函数式y＝cekx，得
∴ c＝1.01×105，
∴ e1 000k＝＝，
∴ k＝×ln，用计算器算得k≈－1.154×10－4，
∴ y＝1.01×105×e－1.154×10－4x，将x＝600代入上述函数式，得y≈9.42×104Pa，即在600m高空的大气压强约为9.42×104 Pa.

我国辽东半岛普兰附近的泥炭层中，发掘出的古莲子，至今大部分还能发芽开花，这些古莲子是多少年以前的遗物呢？要测定古物的年代，可用放射性碳法．在动植物的体内都含有微量的放射性14C，动植物死亡后，停止了新陈代谢，14C不再产生，且原有的14C会自动衰变，经过5570年(叫做14C的半衰期)，它的残余量只有原始量的一半，经过科学家测定知道，若14C的原始含量为a，则经过t年后的残余量a′(与a之间满足a′＝a·e－kt)．现测得出土的古莲子中14C残余量占原量的87.9%，试推算古莲子的生活年代．
解：因a′＝a·e－kt，即＝e－kt.
两边取对数，得lg＝－ktlge.①
又知14C的半衰期是5570年，即t＝5570时，＝.
故lg＝－5570klge，即klge＝.
代入①式，并整理，得t＝－.
这就是利用放射性碳法计算古生物年代的公式．现测得古莲子的是0.879，代入公式，得t＝－≈1 036.即古莲子约是1 036年前的遗物．
题型3　分段函数模型
例3　已知美国苹果公司生产某款iPhone手机的年固定成本为40万美元，每生产1万只还需另投入16万美元．设苹果公司一年内共生产该款iPhone手机x万只并全部销售完，每万只的销售收入为R(x)万美元，且R(x)＝
(1) 写出年利润W(万美元)关于年产量x(万只)的函数解析式；
(2) 当年产量为多少万只时，苹果公司在该款iPhone手机的生产中所获得的利润最大？并求出最大利润．
解：(1) 当0<x≤40，W＝xR(x)－(16x＋40)＝－6x2＋384x－40；
当x>40，W＝xR(x)－(16x＋40)＝－－16x＋7 360.
所以，W＝
(2) ① 当0<x≤40，W＝－6(x－32)2＋6 104，
所以Wmax＝W(32)＝6 104；
② 当x>40时，W＝－－16x＋7 360，
由于＋16x≥2＝1 600，
当且仅当＝16x，即x＝50∈(40，＋∞)时，W取最大值为5 760.
综合①②知，当x＝32时，W取最大值为6 104.

经市场调查，某种商品在过去50天的销量和价格均为销售时间t(天)的函数，且销售量近似地满足f(t)＝－2t＋200(1≤t≤50，t∈N)，前30天价格为g(t)＝t＋30(1≤t≤30，t∈N)，后20天价格为g(t)＝45(31≤t≤50，t∈N)．
(1) 写出该种商品的日销售额S与时间t的函数关系式；
(2) 求日销售额S的最大值．
解：(1)根据题意得
S＝
即S＝
(2)①当1≤t≤30，t∈N时，S＝－(t－20)2＋6400，
当t＝20时，S的最大值为6400；
②当31≤t≤50，t∈N时，S＝－90t＋9000为减函数，
当t＝31时，S的最大值是6210，
∵ 6210<6400，∴ 当t＝20时，日销售额S有最大值6400.
题型4　分式函数模型
例4　如图，ABCD是正方形空地，边长为30m，电源在点P处，点P到边AD、AB距离分别为9m、3m.某广告公司计划在此空地上竖一块长方形液晶广告屏幕MNEF，MN∶NE＝16∶9.线段MN必须过点P，端点M、N分别在边AD、AB上，设AN＝x(m)，液晶广告屏幕MNEF的面积为S(m2)．
(1) 用x的代数式表示AM；
(2) 求S关于x的函数关系式及该函数的定义域；
(3) 当x取何值时，液晶广告屏幕MNEF的面积S最小？

解：(1) AM＝(10≤x≤30)．
(2) MN2＝AN2＋AM2＝x2＋.
∵ MN∶NE＝16∶9，∴ NE＝MN.
∴ S＝MN·NE＝MN2＝，
定义域为[10，30]．
(3) S′＝
＝×，
令S′＝0，得x＝0(舍)或9＋3.当10≤x<9＋3时，S′<0，S关于x为减函数；当9＋3<x≤30时，S′>0，S关于x为增函数．∴ 当x＝9＋3时，S取得最小值．
故当AN长为9＋3 m时，液晶广告屏幕MNEF的面积S最小．

如图，两个工厂A、B相距2km，点O为AB的中点，要在以O为圆心，2km为半径的圆弧MN 上的某一点P处建一幢办公楼，其中MA⊥AB，NB⊥AB.据测算此办公楼受工厂A的“噪音影响度”与距离AP的平方成反比，比例系数为1；办公楼受工厂B的“噪音影响度”与距离BP的平方也成反比，比例系数为4，办公楼与A、B两厂的“总噪音影响度”y是A、B两厂“噪音影响度”的和，设AP为xkm.
(1) 求“总噪音影响度”y关于x的函数关系式，并求出该函数的定义域；
(2) 当AP为多少时，“总噪音影响度”最小？

解：(1) (解法1)如图，连结OP，
设∠AOP＝α，则≤α≤.
在△AOP中，由余弦定理得
x2＝12＋22－2×1×2cosα＝5－4cosα，
在△BOP中，由余弦定理得
BP2＝12＋22－2×1×2cos(π－α)＝5＋4cosα，
∴ BP2＝10－x2，
∴ y＝＋＝＋ .
∵ ≤α≤，∴ ≤x≤ ，
∴ y＝＋(≤x≤)．

(解法2)建立如图所示的直角坐标系，则A(－1，0)，B(1，0)，设P(m，n)，则PA2＝(m＋1)2＋n2，PB2＝(m－1)2＋n2.
∵ m2＋n2＝4，PA＝x，
∴ PB2＝10－x2(后面解法过程同解法1)．
(2) (解法1)y＝＋＝(＋)[x2＋(10－x2)]
＝(5＋＋)≥(5＋2)＝，当且仅当＝，即x＝∈[，]时取等号．
故当AP＝ km时，“总噪音影响度”最小．
(解法2)由y＝＋，得y′＝－＋＝＝.
∵ ≤x≤ ，∴ 令y′＝0，得x＝，且当x∈时，y′<0；当x∈(，]时，y′>0.∴ x＝时，y＝＋取极小值，也即最小值．故当AP＝ km时，“总噪音影响度”最小．

【示例】　(本题模拟高考评分标准，满分14分)
某单位决定对本单位职工实行年医疗费用报销制度，拟制定年医疗总费用在2万元至10万元(包括2万元和10万元)的报销方案，该方案要求同时具备下列三个条件：① 报销的医疗费用y(万元)随医疗总费用x(万元)增加而增加；② 报销的医疗费用不得低于医疗总费用的50%；③ 报销的医疗费用不得超过8万元．
(1) 请你分析该单位能否采用函数模型y＝0.05(x2＋4x＋8)作为报销方案；
(2) 若该单位决定采用函数模型y＝x－2lnx＋a(a为常数)作为报销方案，请你确定整数a的值．(参考数据：ln2≈0.69，ln10≈2.3)
审题引导： 正确理解三个条件：① 要求模型函数在[2，10]上是增函数；② 要满足y≥恒成立；③ 要满足y的最大值小于8.
规范解答： 解：(1) 函数y＝0.05(x2＋4x＋8)在[2，10]上是增函数，满足条件①，(2分)
当x＝10时，y有最大值7.4万元，小于8万元，满足条件③.(4分)
但当x＝3时，y＝<，即y≥不恒成立，不满足条件②，故该函数模型不符合该单位报销方案．(6分)
(2) 对于函数模型y＝x－2lnx＋a，设f(x)＝x－2lnx＋a，则f′(x)＝1－＝≥0.∴ f(x)在[2，10]上是增函数，满足条件①.由条件②，得x－2lnx＋a≥，即a≥2lnx－在x∈[2，10]上恒成立，令g(x)＝2lnx－，则g′(x)＝－＝，由g′(x)>0得0＜x<4，∴ g(x)在(0，4)上是增函数，在(4，10)上是减函数．
∴ a≥g(4)＝2ln4－2＝4ln2－2.(10分)
由条件③，得f(10)＝10－2ln10＋a≤8，解得a≤2ln10－2.
另一方面，由x－2lnx＋a≤x，得a≤2lnx在x∈[2，10]上恒成立，∴ a≤2ln2.(12分)
综上所述，a的取值范围为[4ln2－2，2ln2]，
∴ 满足条件的整数a的值为1.(14分)

1. (2013·陕西)在如图所示的锐角三角形空地中，欲建一个面积最大的内接矩形花园(阴影部分)，则其边长x为________(m)．

答案：20
解析：设矩形花园的宽为y m，则＝，所以y＝40－x，所以矩形花园的面积S＝x(40－x)＝－x2＋40x＝－(x－20)2＋400，当x＝20时，面积最大．
2. (2013·通州模拟)将一个边长分别为a、b(0<a<b)的长方形的四个角切去四个相同的正方形，然后折成一个无盖的长方体形的盒子．若这个长方体的外接球的体积存在最小值，则的取值范围是________．
答案：
解析：设减去的正方形边长为x，其外接球直径的平方R2＝(a－2x)2＋(b－2x)2＋x2，由R′＝0，∴ x＝(a＋b)．
∵ a<b，∴ x∈，∴ 0<(a＋b)<，
∴ 1<<.
3. (2013·无锡期末)要制作一个如图的框架(单位：m)，要求所围成的总面积为19.5(m2)，其中ABCD是一个矩形，EFCD是一个等腰梯形，梯形高h＝AB，tan∠FED＝，设AB＝x m，BC＝y m.
(1) 求y关于x的表达式；
(2) 如何设计x、y的长度，才能使所用材料最少？

解：(1) 如图，在等腰梯形CDEF中，DH是高．

依题意：DH＝AB＝x，EH＝＝×x＝x，
∴ ＝xy＋x＝xy＋x2，
∴ y＝－x.
∵ x＞0，y＞0，
∴ －x＞0，解之得0＜x＜.
∴ 所求表达式为y＝－x.
(2) 在Rt△DEH中，∵ tan∠FED＝，∴ sin∠FED＝，
∴ DE＝＝x×＝x，
∴ l＝(2x＋2y)＋2×x＋＝2y＋6x＝－x＋6x＝＋x≥2＝26，
当且仅当＝x，即x＝3时取等号，
此时y＝－x＝4，
∴ AB＝3 m，BC＝4 m时，能使整个框架所用材料最少．

4. (2013·南通一模)某公司为一家制冷设备厂设计生产某种型号的长方形薄板，其周长为4 m．这种薄板须沿其对角线折叠后使用．如图所示，ABCD(AB＞AD)为长方形薄板，沿AC折叠后AB′交DC于点P.当△ADP的面积最大时最节能，凹多边形ACB′PD的面积最大时制冷效果最好．
(1) 设AB＝x m，用x表示图中DP的长度，并写出x的取值范围；
(2) 若要求最节能，应怎样设计薄板的长和宽？
(3) 若要求制冷效果最好，应怎样设计薄板的长和宽？
解：(1) 由题意，AB＝x，BC＝2－x.
因x＞2－x，故1＜x＜2.设DP＝y，则PC＝x－y.
因△ADP≌△CB′P，故PA＝PC＝x－y.
由PA2＝AD2＋DP2，得
(x－y)2＝(2－x)2＋y2y＝2，1＜x＜2.
(2) 记△ADP的面积为S1，则
S1＝(2－x)＝3－≤3－2，
当且仅当x＝∈(1，2)时，S1取得最大值．
故当薄板长为m，宽为(2－)m时，节能效果最好．
(3) 记多边形ACB′PD的面积为S2，则
S2＝x(2－x)＋(2－x)
＝3－，1＜x＜2.
于是S2′＝－＝＝0x＝.
关于x的函数S2在(1，)上递增，在(，2)上递减．所以当x＝时，S2取得最大值．
故当薄板长为 m，宽为(2－)m时，制冷效果最好．

1. 某驾驶员喝了mL酒后，血液中的酒精含量f(x)(mg/mL)随时间x(h)变化的规律近似满足表达式f(x)＝《酒后驾车与醉酒驾车的标准及相应的处罚》规定为驾驶员血液中酒精含量不得超过0.02mg/mL，据此可知，此驾驶员至少要过________h后才能开车．(精确到1h)
答案：4
解析：当0≤x≤1时，≤5x－2≤，此时不宜开车；由·≤0.02，得x≥4.
2. 一辆列车沿直线轨道前进，从刹车开始到停车这段时间内，测得刹车后t s内列车前进的距离为S＝27t－0.45t2 m，则列车刹车后________s车停下来，期间列车前进了________m.
答案：30　405
解析：S′(t)＝27－0.9t，由瞬时速度v(t)＝S′(t)＝0得t＝30(s)，期间列车前进了S(30)＝27×30－0.45×302＝405(m)．
3. 提高过江大桥的车辆通行能力可改善整个城市的交通状况．在一般情况下，大桥上的车流速度v(km/h)是车流密度x(辆/千米)的函数．当桥上的车流密度达到200辆/km时，造成堵塞，此时车流速度为0；当车流密度不超过20辆/km时，车流速度为60km/h，研究表明：当20≤x≤200时，车流速度v是车流密度x的一次函数．
(1) 当0≤x≤200时，求函数v(x)的表达式；
(2) 当车流密度x为多大时，车流量(单位时间内通过桥上某观测点的车辆数，单位：辆/小时)f(x)＝x·v(x)可以达到最大，并求出其最大值．(精确到1辆/小时)　
解：(1) 由题意，当0≤x≤20时，v(x)＝60；当20≤x≤200时，设v(x)＝ax＋b.
再由已知，得解得
故函数v(x)的表达式为v(x)＝
(2) 依题意并由(1)可得f(x)＝
当0≤x≤20时，f(x)为增函数，故当x＝20时，其最大值为60×20＝1200；
当20≤x≤200时，f(x)＝x(200－x)≤2＝，
当且仅当x＝200－x，即x＝100时，等号成立．
所以，当x＝100时，f(x)在区间[20，200]上取得最大值.
综上，当x＝100时，f(x)在区间[0，200]上取得最大值≈3333，
即当车流密度为100辆/km时，车流量可以达到最大，最大值约为3333辆/h.
4. 某建筑公司要在一块宽大的矩形地面(如图所示)上进行开发建设，阴影部分为一公共设施建设不能开发，且要求用栏栅隔开(栏栅要求在一直线上)，公共设施边界为曲线f(x)＝1－ax2(a＞0)的一部分，栏栅与矩形区域的边界交于点M、N，交曲线于点P，设P(t，f(t))．
(1) 将△OMN(O为坐标原点)的面积S表示成t的函数S(t)；
(2) 若在t＝处，S(t)取得最小值，求此时a的值及S(t)的最小值．

解：(1) y′＝－2ax，∴ 切线斜率是－2at，
∴ 切线方程为y－(1－at2)＝－2at(x－t)．
令y＝0，得x＝，∴ M，
令x＝0，得y＝1＋at2，∴ N(0，1＋at2)，
∴ △OMN的面积S(t)＝.
(2) S′(t)＝＝，
由a＞0，t＞0，S′(t)＝0，得3at2－1＝0，即t＝.
当3at2－1＞0，即t＞时，S′(t)>0；
当3at2－1<0，即0<t<时，S′(t)<0.
∴ 当t＝时，S(t)有最小值．
已知在t＝处，S(t)取得最小值，故有＝，
∴ a＝.
故当a＝，t＝时，S(t)min＝S＝＝.

1. 与函数有关的应用型问题，函数模型可以是已知条件中给出其表达式，也可以是由已知条件建立函数模型，显然后者难度较大，在解题过程中不要忘记考虑函数的定义域．
2. 解应用问题，首先，应通过审题，分析原型结构，深刻认识问题的实际背景，确定主要矛盾，提出必要假设，将应用问题转化为数学问题求解；然后，经过检验，求出应用问题的解．要能顺利解答一个应用问题重点要过三关：(1) 事理关：通过阅读，知道讲的是什么，培养学生独立获取知识的能力；(2) 文理关：需要把实际问题的文字语言转化为数学的符号语言，用数学式子表达数学关系；(3) 数理关：在构建数学模型的过程中，要求学生有对数学知识的检索能力，认定或构建相应的数学模型，完成由实际问题向数学问题的转化，构建了数学模型后，要正确解出数学问题的答案，需要扎实的基础知识和较强的数理能力．
请使用课时训练(B)第13课时(见活页)．

[备课札记]