数值分析考试复习总结汇总.doc

第一章
1 误差
相对误差和绝对误差得概念
例题:
当用数值计算方法求解一个实际的物理运动过程时, 一般要经历哪几个阶段? 在哪些阶段将有哪些误差产生?
答: 实际问题-数学模型-数值方法-计算结果
在这个过程中存在一下几种误差:
建立数学模型过程中产生:模型误差 参数误差
选用数值方法产生:截断误差
计算过程产生:舍入误差 传播误差
6．设关于精确数有3位有效数字，估计的相对误差. 对于，估计对于的误差和相对误差.
解 的相对误差：由于
. ,
. （）
对于的误差和相对误差.
==
. □
2有效数字
基本原则:1 两个很接近的数字不做减法:
2: 不用很小得数做分母(不用很大的数做分子)
例题:
4．改变下列表达式使计算结果比较精确：
（1）
（2）
（3） .
解 (1) . (2) .
(3) . □
第二章
拉格朗日插值公式（即公式（1））

插值基函数（因子）可简洁表示为

其中: .
例1 n=1时，线性插值公式 ，
例2 n=2时，抛物插值公式

牛顿（Newton）插值公式
由差商的引入，知
（1） 过点的一次插值多项式为

其中

（2） 过点的二次插值多项式为

其中

重点是分段插值:

例题:
1. 利用Lagrange插值公式求下列各离散函数的插值多项式（结果要简化）：

（1）

-1
0
1/2
1

-3
-1/2
0
1

（2）

-1
0
1/2
1

-3/2
0
0
1/2
解(2)：
方法一. 由 Lagrange 插值公式

可得：
方法二. 令

由 ， ， 定A，B （称之为待定系数法） □

15.设，求在区间上的分段线性插值函数，并估计误差，取等距节点，且.
解 ， ， ，
设 ，则：

误差估计：
. □
第三章
最佳一致逼近:(了解)
最佳平方逼近
主要分两种情形：
1. 连续意义下
在空间中讨论
2. 离散意义下
在维欧氏空间中讨论，只要求提供的样本值
1. 最佳逼近多项式的法方程组
设的维子空间 =span,
其中 是的线性无关多项式系.
对，设其最佳逼近多项式可表示为:
由

即 （*2）
其中

称(*2)式为最佳逼近多项式的法方程组（或正规方程组）.
由的线性无关性，可证明正定，即
上述法方程组的解存在且唯一 .
11、 求 ，的一次和二次最佳平方逼近多项式.
解： 设 ，
分别为的一次、二次最佳平方逼近多项式。
内积
计算如下内积：
, ,
, ,
, ,
建立法方程组：
(1) ，得： ，
于是
(2)
解得： ， ， , 于是： . □
第四章
1 为什么要进行数值积分?常用哪些公式,方法?
答: 梯形复化求积公式和simpson复化求积公式.

2: 方法好坏的判断: 代数精度
l 误差分析
1.代数精度的概念
定义 若求积公式 （*）对所有次数的多项式是精确的，但对 次多项式不精确，则称（*）具有次代数精度。
等价定义
若求积公式（*）对是精确的，但对不精确，则（*）具有次代数精度。
3: 误差
1 等距剖分下的数值求积公式：
公式特点：节点预先给定，均匀分布,系数待定
利用插值多项式近似代替，即得插值型求积公式Newton-Cotes公式
2 给定节点数下的具有最佳逼近性质（具有最高次代数精度）的数值求积公式：Gauss求积公式 公式特点：系数和节点均待定
3 分段插值多项式近似代替 （分段求积）复化求积公式

复化求积公式
通过高次求积公式提高精度的途径不行，类似函数插值
分而治之： 分段＋低次求积公式---------- 称为复化求积法
两类低次（）求积公式：
1. Newton－Cotes型：矩形、梯形、Simpson、Cotes公式
分别称为复化矩形、梯形、辛甫生、柯特斯公式
2. Gauss型： 一点、两点、三点Gauss求积公式
称为复化一点、两点、三点Gauss公式
复化梯形公式（）
复化辛甫生公式: （每个上用辛甫生公式求积）

，为的中点
复化辛甫生公式是最常用的数值求积方法。
常采用其等价形式：

复化柯特斯公式

其中，，为的中点，
，为的四等分的分点
l 自适应复化求积法
计算时，要预先给定或步长，在实际中难以把握
因为，取得太大则精度难以保证，太小则增加计算工作量.
自适应复化梯形法的具有计算过程如下：
步1
步2

步3 判断？若是，则转步5；
步4 ，转步2；
步5 输出 .

第五章
1: 常用方法:
(1).直接解法：
逐步（顺序）消去法、
主元素法、矩阵分解法等；
(2).迭代解法：构造某种极限过程去逐步逼近方程组的解
①.经典迭代法
迭代法、迭代法、
逐次超松弛（SOR）迭代法等；
②. Krolov子空间的迭代法
根据的对称性，又分为：
对称正定------- 共轭梯度法
非对称--------- BICG 、 GMRes(最小残量法)
③.解一类特定背景问题的迭代法
多重网格法
2: 几类迭代法优缺点比较:

3: 迭代方法
目标： 求解 其中，非奇异。
基本思想：
把线性方程组的解，化为一个迭代序列极限解
关键：构造迭代序列所满足的公式：迭代格式。
构造迭代格式基本步骤：
1． 将分裂：， 其中，非奇异
2． 构造迭代格式

其中，称之为迭代矩阵 ,

其中，为的残余向量
此时，
常用的迭代方法
将分裂为
其中

，,
l Jacobi迭代方法
若，迭代格式
①
其中 Jacobi迭代矩阵：

①式可写为分量形式
. （*1）
方法（*1）或①称为Jacobi迭代方法.
Gauss—Seidle迭代方法
若，迭代格式
②
其中，
Gauss-Seidel迭代矩阵：

其分量形式
,. （*2）
即，
在计算新分量时，利用新值，。
迭代法（*2）或②称为Gauss—Seidel迭代方法 。
l 超松弛方法(SOR)方法
定义SOR方法的迭代格式如下：
,
（*3）
称为松弛因子，即为方法.
其矩阵形式

其中，
SOR法的迭代矩阵：
.

第七章
1: 解非线性方程与方程组的方法:
1. 准确方法
如：用求根公式对次的代数多项式求根。
但： 绝大多数的方程并无准确方法可用。如： 次的代数多项式并无求根公式。

2. 数值方法（实际中大多采用）
基本思想： 设法找到一个能收敛到方程的解的序列。
(1).区间套法—— 二分法。
(2).迭代法：
①.简单迭代法； ②. Newton迭代法;
. 割线法; .加速算法。
2: 收敛条件:
二分法无条件
简单迭代法条件:
定理1 如果 满足以下条件:
1) , ;
2) 常数 : , 使得对任意两点 ,都有
,
则: 方程(*)在 上的解存在唯一,且对任给的初值,由迭代过程(* *) 所产生的序列收敛到.
例题:
2. 为求方程在附近的一个根，设将方程改写为下列等价形式，并建立相应的迭代公式：
（1），迭代公式
（2），迭代公式 ，
（3），迭代公式 ，
试分析每一种迭代公式的收敛性，并问哪一种迭代收敛得快？
解：取的邻域来考察
(1) ，，故迭代公式(1)收敛.
(2) ,
，
故迭代公式（2）也收敛。
(3) ,

故迭代公式（3）发散.
由于越小，越快地收敛于根 ，故（2）式收敛最快。□

第八章
解一阶常微分方程的常用方法: Euler 方法 Runge-Kutta 方法
2阶常微分方程边值问题的差分方法

1． 三类边值问题
1）第一类边值问题：
， （3.1）
。 (3.2)
2）第二类边值问题：
， （3.3）
。 (3.4)
3）第三类边值问题：
， （3.5）
， (3.6)
其中， 。
2． 差分格式的建立
针对方程（3.1）而言.
Step 1 取 的离散节点:
, 第 步步长 , 一般可取等
步长: ,
Step 2 将 用二阶差商、 用一阶差商近似：
，
.
理由：由Taylor展开，有

两式相加得
，
其中， .
两式相减得
，
其中， .
Step 3 略去 项 , 并记 则由方程(3.1)有:

………………………………（3.7）

所以得到第一边值问题(3.1)-(3.2)的差分格式:
…(3.8)
. …………………………(3.9)

对第二边值条件(3.3),由于

其中， , ,
已及

所以可得到第二类边值问题(3.3)-(3.4)的差分格式:
…(3.10)
. ………(3.11)

类似可得第三类边值问题(3.5)-(3.6)的差分格式(略).