数学分析-第六章-中值定理1(课堂PPT).ppt

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,2,*,2,1,第六章 导 数 应 用,一、,费马,引理,(Fermat),二、,罗尔,(Rolle),中值定理,三、,拉格朗日,(Lagrange),中值,定理,四、,柯西,(Cauchy),中值定理,1,微分中值定理,2,2,一、,费马,引理,(,Fermat,),定义,1,（,极值概念）,2,3,Fermat,定理,定理,1,（极值的必要条件）,（可导函数取得极值的必要条件）,【,几何意义,】,2,4,水平切线,【,定义,】,通常称导数等于零的点为函数的驻点（或稳定点、临界点）,【,几何意义,】,1.,若曲线在,点 处,取得极值,2.,曲线在点 处具有切线，,则该切线必是水平的,.,2,5,由极限的,不等式性,及可导条件立得,所以,证完,【,证,】,则,定理证明,2,6,研究下面两例：,【,注,】,说明什么问题？,是,可导,函数取得,极值,的,必要,条件,2,7,二、罗尔（,Rolle,）定理,如果,f,(,x,),满足,:,则 至少存在,(,a,b,),，使得,f,(,)=0,2,8,【,几何解释,】,连续、可导、端点值相等,函数必有一最值点在区间内部取得。,该最值点必为极值点。,2,9,例如,Rolle,定理,零点,定理,如果,f,(,x,),满足,:,则 至少存在,(,a,b,),，使得,f,(,)=0,2,10,【,证,】,即,有,由,Fermat,定理立得,证完,2,11,【,注意,】,(,1,),罗尔定理的条件是充分的，不必要,.,反例,1,(,2,),若罗尔定理的三个条件中有一个不满足,其结论可能成立，也可能不成立,.,故若不满足第（,2,）条：,有不可导点,无水平切线,2,12,反例,2,不满足第（,1,）条：,不满足第（,3,）条：,有不连续点,两端点值不相等,反例,3,无水平切线,无水平切线,2,13,【,例,1,】,【,证,】,由零点定理,即为方程的小于,1,的正实根,.,矛盾,【,分析,】,（,1,）,有,存在性,（,2,）,仅一个,唯一性,2,14,【,例,2】,设函数,f,(,x,)=(,x,1)(,x,2)(,x,3),试判断方,程,f,x,【,解,】,因为,f,(,1,)=,f,(,2,)=,f,(,3,),且,f,(,x,),在,1,2,上连续,在,(,1,2,),内可导,由罗尔定理,1,(,1,2,),使,f,(,1,;,同理,2,(,),使,f,(,2,;,又因,f,(,x,是二次方程,至多两个实根,故,f,(,x,有两个实根,分别位于,(,1,2,),和,(,2,3,),内,.,(1),修改,:,f,(,x,)=(,x,1,)(,x,2,)(,x,3,)(,x,4,),结论如何?,(2),修改,:,不解方程,问,(,x,2)(,x,3)+(,x,1)(,x,3)+(,x,1)(,x,2)=0,有几个实根,分别在何区间?,有几个实根,分别在何区间?,(2),【,提示,】,是补例的导函数；,用零点定理,2,15,此条件太苛刻,三、拉格朗日,(Lagrange),中值定理,【,注意,】,【,拉氏定理,】,至少存在一个,(,a,b,),，使得,f,(,b,),f,(,a,)=,f,(,)(,b,a,),2,16,切线斜率,弦,AB,斜率,2,17,【,几何解释,】,【,证明分析,】,弦,AB,方程为,2,18,作辅助函数,拉格朗日中值公式,【,证,】,（要验证）,2,19,拉格朗日公式,【,注意,】,拉氏公式精确地表达了函数增量与函数导数之间的关系,.,增量,y,的,近似,表达式,微分中值定理,微分近似公式,2,20,L,定理又称为,有限增量公式,或,微分中值定理,.,拉格朗日中值定理,几种等价形式,尽管不知 的精确位置，但已经很有用了，见例：,2,21,【,推论,】,【,证,】,由假定,证毕,在 上应用拉氏定理得,由 的任意性立知,2,22,【,例,3】,【,证明,】,推论的应用,证明函数为常数函数,同理可证,2,23,例,4,证明：,2,24,拉氏定理,应用,证明不等式,【,例,5】,【,分析,】,据拉氏定理,由 的范围，确定 的范围,从而得到 的范围，变形可,得所求不等式,.,【,关键,】,将结论写成 的形式，以找出,2,25,【,证,】,由上式得,变形为：,（要验证）,2,26,【,例,6】,【,证明,】,2,27,四、柯西,(Cauchy),中值定理,【Cauchy,中值定理,】,2,28,Cauchy,中值定理,如果,f,(,x,),及,F,(,x,),满足,（,1,）在闭区间,a,b,上连续；,（,2,）在开区间（,a,b,）内可导；,存在,(,a,b,),，使得,（,3,）对任一,x,(,a,b,),F,(,x,)0,证明：分子、分母用,Lagrange,中值定理得：,？,2,29,【,几何解释,】,【,证,】,作辅助函数,切线斜率,弦,AB,斜率,曲线,即,（要验证）,2,30,证完,【,注意,】,(,1,),即为拉氏中值定理,2,31,(,2,),柯西中值定理即可看作拉氏中值定理的推广，又可看作拉氏中值定理的参数形式,.,(,3,),三个中值定理的条件都是充分的，不必要,.,2,32,三个中值定理的相互关系,Rolle,定理,Lagrange,中值定理,Cauchy,中值定理,注意定理成立的条件；,2,.,证明等式与不等式；,【,中值定理应用,】,1.,证明方程根的存在性、唯一性；,3.,证明函数为常数函数。,2,33,【,例,7】,【,证,】,【,分析,】,结论可变形为,2,34,【,证,】,利用罗尔定理,2,35,【,例,8】,【,证,】,2,36,【,例,9】,【,证,】,2,37,【,例,10】,【,证,】,