首届全国中学生数理化学科能力竞赛大纲及样题-高中数学.doc

（高中数学部分）

第一部分 解题技能竞赛大纲
第二部分 解题技能竞赛试题样题
第三部分 数学建模论文示范论文

首届全国中学生数理化学科能力竞赛
数学学科笔试部分竞赛大纲（2008年试验稿）

为了提高广大青少年走进科学、热爱科学的兴趣，培养和发现创新型人才，团中央中国青少年发展服务中心、全国“青少年走进科学世界”科普活动指导委员会办公室共同举办首届“全国中学生数理化学科能力竞赛”（以下简称“竞赛”）。竞赛由北京师范大学《高中数理化》杂志社承办。为保证竞赛活动公平、公正、有序地进行，现将数学学科笔试部分竞赛大纲颁布如下：

1　命题指导思想和要求
根据教育部《全日制义务教育数学课程标准》和《全日制普通高级中学数学课程标准》的要求，着重考查学生的基础知识、基本能力、科学素养和运用所学知识分析问题、解决问题力及创新能力。命题吸收各地高考和中考的成功经验，以能力测试为主导，体现新课程标准对能力的要求，注意数学知识中蕴涵的丰富的思维素材，强调知识点间的内在联系；注重考查数学的通法通则，注重考查数学思想和方法。激发学生学科学的兴趣，培养实事求是的科学态度和创新能力，促进新课程标准提出的“知识与技能”、“过程与方法”、“情感与价值观”三维目标的落实。总体难度把握上，要追求“源于教材，高于教材，略高于高考”的原则。并提出以下三个层面上的命题要求：
1）从宏观上看：注意对知识点和能力点的全面考查，注意对数学基本能力（空间想象、抽象概括、推理论证、运算求解、数据处理等基本能力）的考查，注意对数学思想和方法方面的考查，注意考查通则通法。
2）从中观上看：注意各个主要知识块的重点考查，注意对主要数学思维方法的考查。
3）从微观上看：注意每个题目的基础性（知识点）、技能性（能力点）、能力性（五大基本能力为主）和思想性（四种思想为主），注意考查大的知识块中的重点内容（如：代数中的函数的单调性、奇偶性、周期性），注意从各个知识点之间的交汇命题，注意每个题目的通则通法使用的同时也适度引进必要的特技，注意题目编拟中一些题目的结构特征对思路形成的影响。

2　命题范围
依据教育部《全日制义务教育数学课程标准》和《全日制普通高级中学数学课程标准》的要求，初赛和决赛所考查的知识点范围，不超出相关年级在相应的时间段内的普遍教学进度。另外要明确初二年级以上开始，每个年级的命题范围包含下年级的所有的内容。比如：高一的命题范围包括初中所有内容和高中阶段所学的内容。

3　考试形式
初一、初二、初三、高一、高二组：闭卷，笔答。考试时间为120分钟，试卷满分为120分。

4　试卷结构
全卷选择题6题，非选择题9题（填空6题、解答题3题）

5　难度系数
1）初赛试卷的难度系数控制在0.6左右；
2）决赛试卷的难度系数控制在0.5左右。

高中一年级样题

一 选择题（每小题5分，共30分）
1．已知，则（ B ）
（A） （B） （C） （D）
2．已知，则下列结论正确的是（D ）
（A） （B） （C） （D）
3．设1 < a < b < a 2，则在四个数2，log a b，log b a，log a b a 2中，最大的和最小的分别是（ A ）
（A）2，log b a （B）2，log a b a 2 （C）log a b，log b a （D）log a b，log a b a 2
令，则

故选A
4．如果关于x的方程至少有一个正根，则实数a的取值范围是（ C ）
（A）]（B）（C）（D）
由或，或解得，，故选C
5．不等式> 1 – log 2 x的解是（ B ）
（A）x ≥ 2 （B）x > 1 （C）1 < x < 8 （D）x > 2
，或
，或，故选B
6．已知y = f ( x ) 是定义在R上的单调函数，则（ D ）
（A）函数x = f – 1 ( y ) 与y = f ( x )的图象关于直线y = x对称
（B）函数f ( – x ) 与f ( x )的图象关于原点对称
（C）f – 1 ( x )和f ( x )的单调性相反
（D）函数f ( x + 1 ) 和f – 1 ( x ) – 1的图象关于直线y = x对称
二 填空题（每小题5分，共30分）
7．已知不等式() x 2 – a > 4 – x的解集是( – 2，4 )，那么实数a的值是 8 。
8．已知函数y = lg ( m x 2 – 4 x + m – 3 ) 的值域是R，则m的取值范围是[0，4] 。
或，解得
9．如果函数f ( x ) = a x 2 + b x + c，x∈[ 2 a – 3，a 2 ]是偶函数，则a = -3或1 ，b = 0 。
10．多项式因式分解的结果是。
提示：十字相乘法
11．若方程| x 2 – 4 x + 3 | – x = a有三个不相等的实数根，则a =或。
提示：图象法
12．函数的最大值是。
提示：
三 解答题
13（本小题满分20分）
已知试求使方程有解的k的取值范围
解：由对数函数的性质可知，原方程的解x应满足

当（1），（2）同时成立时，（3）显然成立，因此只需解

由（1）得
当k=0时，由a>0知（4）无解，因而原方程无解
当k≠0时，（4）的解是
，把（5）代入（2），得
解得：
综合得，当k在集合内取值时，原方程有解
14（本小题满分20分）
已知，且
（1）若，求证：
（2）若，且，求证：
（1）证明：因为，且，
所以可设，其中
因为
而
所以
（2）证明：因为，且，
所以可设，其中
因为

而
所以
15（本小题满分20分）
已知点 是 的中线 上的一点, 直线 交边 于点
, 且 是 的外接圆的切线, 设 , 试求 (用 表示)

证明：在 中，由Menelaus定理得
因为 ，所以
由 ，知 ∽ ，则
所以，， 即
因此， ． 又 ， 故

高中二年级样题

一 选择题（每小题5分，共30分）
1．已知，则下列结论正确的是（D ）
（A） （B） （C） （D）
2．设1 < a < b < a 2，则在四个数2，log a b，log b a，log a b a 2中，最大的和最小的分别是（ A ）
（A）2，log b a （B）2，log a b a 2 （C）log a b，log b a （D）log a b，log a b a 2
令，则

故选A
3．圆x 2 + ( y – 1 ) 2 = 1上任意一点P ( x，y )都满足x + y + c ≥ 0，则c的取值范围是（ C ）
（A）( – ∞，0 )] （B）[，+ ∞ ]) （C）[– 1，+ ∞ ]) （D）[ 1 –，+ ∞ ])
4．不等式> 1 – log 2 x的解是（ B ）
（A）x ≥ 2 （B）x > 1 （C）1 < x < 8 （D）x > 2
，或
，或，故选B
5．棱长为的正四面体内切一球，然后在它四个顶点的空隙处各放入一个小球，则这些的最大半径为 （C ）
（A） (B) (C) (D)
如果正四面体的棱长为，则根据正四面体的性质和球的性质可计算出正四面体的内切球半径为（正四面体的内切球的球心将高四等分），后放入小球是一个新正四面体的内切球，且新正四面体的高为原正四面体的高减去其内切球的直径，所以新正四面体的高为，进而得到所求球的半径为
6．函数y =+的最小值是（ D ）
（A）2 （B）2 （C） （D）
y =+

二 填空题（每小题5分，共30分）
7．已知函数，当时的值域是，则 [1，4] 。
8．函数的最大值是 0 。

9．已知数列{ a n }的通项公式是a n =，b n =（n= 1，2，3，… ），则数列{ b n }的前n项和
b n =
所以

10．若方程| x 2 – 4 x + 3 | – x = a有三个不相等的实数根，则a =或。
11．已知直线的方向向量是，直线的斜率是，
直线斜率是。其中都可取任何实数，则三条直线中倾斜角为钝角的条数的最大值是 2 。
因为三条直线的斜率之和

所以至多有两条直线的斜率小于零。

12．给出下列5个命题：
（1） 函数是奇函数；
（2） 函数的图象关于轴对称；
（3） 函数与的值域一定相等，但定义域不同；
（4） 互为反函数的两个函数的图象若有交点，则交点不一定在直线上；
（5） 若函数存在反函数，则在其定义域内一定单调
其中正确命题的题号是___（1）、（4）__

三 解答题

13（本小题满分20分）
定义在上的减函数也是奇函数，且对一切实数，
不等式恒成立。
求实数的取值范围。
分析：根据题设，可以将等价转化为可分离参数的不等式形式。
解：因为是奇函数
所以不等式可化为
又因为在上是减函数
不等式可进一步化为
即
因为对一切实数，都有，所以
进而得到
令，则
而，所以当时，
所以实数的取值范围是

14（本小题满分20分）
已知，且
（1）若，求证：
（2）若，且，求证：
（1）证明：因为，且，
所以可设，其中
因为
而
所以
（2）证明：因为，且，
所以可设，其中
因为

而
所以

15（本小题满分20分）
已知点 是 的中线 上的一点, 直线 交边 于点
, 且 是 的外接圆的切线, 设 , 试求 (用 表示)

证明：在 中，由Menelaus定理得
因为 ，所以
由 ，知 ∽ ，则
所以，， 即
因此， ． 又 ， 故

高中数学创新小论文要求及范文

一、 论文形式：科学论文
科学论文是对某一课题进行探讨、研究，表述新的科学研究成果或创见的文章。
注意：它不是感想，也不是调查报告。
二、 论文选题：新颖，有意义，力所能及
要求：
1. 有背景.
应用问题要来源于学生生活及其周围世界的真实问题，要有具体的对象和真实的数据。理论问题要了解问题的研究现状及其理论价值。要做必要的学术调研和研究特色。
2. 有价值.
有一定的应用价值，或理论价值，或教育价值，学生通过课题的研究可以掌握必须的科学概念，提升科学研究的能力。
3. 有基础
对所研究问题的背景有一定了解，掌握一定量的参考文献，积累了一些解决问题的方法，所研究问题的数据资料是能够获得的。
4. 有特色
思路创新，有别于传统研究的新思路；
方法创新，针对具体问题的特点，对传统方法的改进和创新；
结果创新，要有新的，更深层次的结果。
5. 问题可行
适合学生自己探究并能够完成，要有学生的特色，所用知识应该不超过初中生（高中生）的能力范围。
三、 （数学应用问题）数据资料：来源可靠，引用合理，目标明确
要求：
1． 数据真实可靠，不是编的数学题目；
2． 数据分析合理，采用分析方法得当。
四、 （数学应用问题）数学模型：通过抽象和化简，使用数学语言对实际问题的一个近似描述，以便于人们更深刻地认识所研究的对象。
要求：
1． 抽象化简适中，太强，太弱都不好；
2． 抽象出的数学问题，参数选择源于实际，变量意义明确；
3． 数学推理严格，计算准确无误，得出结论；
4． 将所得结论回归到实际中，进行分析和检验，最终解决问题，或者提出建设性意见；
5． 问题和方法的进一步推广和展望。
五、 （数学理论问题）问题的研究现状和研究意义：了解透彻
要求：
1． 对问题了解足够清楚，其中指导教师的作用不容忽视；
2． 问题解答推理严禁，计算无误；
3． 突出研究的特色和价值。
六、 论文格式：符合规范，内容齐全，排版美观
1. 标题：
是以最恰当、最简明的词语反映论文中主要内容的逻辑组合。
要求：反映内容准确得体，外延内涵恰如其分，用语凝练醒目。
2. 摘要：
全文主要内容的简短陈述。
要求：
1）摘要必须指明研究的主要内容，使用的主要方法，得到的主要结论和成果；
2）摘要用语必须十分简练，内容亦须充分概括。文字不能太长，6000字以内的文章摘要一般不超过300字；
3）不要举例，不要讲过程，不用图表，不做自我评价。
3. 关键词：文章中心内容所涉及的重要的单词，以便于信息检索。
要求：数量不要多，以3-5各为宜，不要过于生僻。
4. 正文
1）前言：
问题的背景：问题的来源；
提出问题：需要研究的内容及其意义；
文献综述：国内外有关研究现状的回顾和存在的问题；
概括介绍论文的内容，问题的结论和所使用的方法。
2）主体：
（数学应用问题）数学模型的组建、分析、检验和应用等。
（数学理论问题）推理论证，得出结论等。
3）讨论
解释研究的结果，揭示研究的价值, 指出应用前景, 提出研究的不足。
要求：
1）背景介绍清楚，问题提出自然；
2）思路清晰，涉及到得数据真是可靠，推理严密，计算无误；
3）突出所研究问题的难点和意义。
5. 参考文献：
是在文章最后所列出的文献目录。他们是在论文研究过程中所参考引用的主要文献资料，是为了说明文中所引用的的论点、公式、数据的来源以表示对前人成果的尊重和提供进一步检索的线索。
要求：
1）文献目录必须规范标注；
2）文末所引的文献都应是论文中使用过的文献，并且必须在正文中标明。

示范小论文：

演出收入计税的数学模型

[内容提要]
本文运用了Y=aX+b这一最基本的函数，通过建立数学模型，简化了比较复杂的演出收入计算个人所得税的问题。

[关键词] 演出收入个人所得税数学模型

问题的提出
我的表姐是一个演员，每次演出的收入较高，但是她总觉得缴纳个人所得税的计税方法太复杂，到底要缴多少税，心里没底。为了帮表姐解决这个问题，我上网查证了计税方法，询问了税务局的专家，通过分析后发现，运用Y=ax+b这一最基本的函数，通过建立相应的数学模型，可以简化比较复杂的演出收入计算个人所得税的问题。
一、由演出者缴税的数学模型
（一）、税法规定的数学模型
个人所得税税法规定，演出收入要在减去一定费用，计算出应纳税所得额以后，再按规定税率来计算应纳税额。
假设：应纳税额为Y元，总收入为M元，应纳税所得额为X元，税率为Z。则Y=XZ。这个关系式中，有两点需要说明：
1.这里的应纳税所得额X，是在获得的总收入M的基础上扣除一定费用后的余额。税法规定，费用的扣除标准如下：
（1） 当M≤4000时，费用扣除额为800元，即X=M-800.
（2） 当M＞4000时，费用扣除额为收入的20%，即X=M-20%M=0.8M
2.这里的税率Z规定如下表(见表1)

级数
X(每次应纳税所得额)
Z(税率%)
1
不超过20000元（含）的部分
20
2
超过20000元至50000元（含）的部分
30
3
超过50000元的部分
40
表1 演出收入个人所得税税率表
该税率表在税法里有一个术语，叫三级超额累进税率。即：它将收入分为三段，每段的税率分别不同，收入越高，税率越高。如果用数学的术语来表达的话，它是一个分段函数：
1、如果X≤20000
则Y=20％X
2、如果50000≥X>20000
则Y=20000×20％+(X一20000)×30％
3、如果X＞50000
则Y=20000×20%十(50000—20000)×30％+(X一50000)×40％
上述表达式告诉我们，计算个人所得税时，应先根据M计算出X，
再根据X找出相应的Z，最后将X进行分段，再计算出应纳税额Y。
数学模型的应用：
问题1：甲演员到杭州演出一场，收入3000元，应缴纳多少个人所得税?
1、∵M=3000元＜4000
∵X=M-800=3000—800=2200元
2、∵X＜20000
∴Y=20％X= 2200×20％=440元
问题2：乙演员到杭州演出一场，收入100000元，应缴纳多少个人所得税?
1、∵M=100000元＞40000
∴X=0.8M=0.8×100000=80000元
2、∵X＞20000
∴Y=20000×20％+(50000-20000)×3O％+(X一50000)×40％
=20000×20％+(50000-20000)×30％+(80000—50000) ×40％
=25000元
从以上这些例子我们发现，在超额累进税率F，分段计税确实比较复杂。我们能不能找出简单一点的计算方法呢?
(二)化简数学模型
我们将上面的分段函数进行化简：
1、如果X≤20000
则Y=200％X，这已经很简单了，不需要再化简。
2、如果50000≥X＞20000
则Y=20000×20％+(X-20000)×30％=30％X-2000
3、如果X＞50000
则Y=20000×20％+(50000-20000)×30％+(X-50000)×40％
=40％X一7000
分析上述三个化简后的式子，我们可以得出以下两个结论：
1、应纳税额Y等于应纳税所得额X与相应税率Z的乘积减去一个常数。假设此常数为C，则Y=XZ-C。
2、可以把税率表(表1)改写成表2
表2 演出收入个人所得税税率表
级数
X(每次应纳税所得额)
Z(税率%)
C（常数）
1
不超过20000元（含）的部分
20
0
2
超过20000元至50000元（含）的部分
30
2000
3
超过50000元的部分
40
7000

上述结论告诉我们，计算个人所得税时，应先根据M计算出X，再根据X找出相应的Z和C，代入关系式Y=XZ-C，就可以直接得出结
果了。
数学模型的应用：
问题3 资料同问题1。
1、∵M=3000元＜4000
∴X=M-800=3000-800=220元
2、∵X＜20000，则Z=20％，C=O
∴Y=XZ-C=2200×20％-0=440元
问题4 资料同问题2。
1、∵M=100000元＞40000元
∴X=0.8M=0.8×100000=80000元
2、∵X＞50000,则Z=40%,C=7000
∴Y=XZ-C=80000×40%-7000=25000元
这样计算就简单多了!
(三)再化简数学模型
经过化简后，计算确实简单了许多，但它还需要转个弯，M的前提下，只有换算成X后才能计算税款。能不能直接用M来：
答案是肯定的。因为M与X之间存在着密切的关系。下面我佃
1、当M≤4000吋．则X=M-800，Z=20％．C=0，代入 Y=XZ-C
那么，Y=(M一800)×20% = 0.2M-160
令Y=0，即0.2M-160=0,得M=800
所以，M的取值范围为：800＜M≤4000
即当800＜M≤4000时，Y=0.2M-160
2、当M＞4000时，X=O.8M，按照X的取值范围分三种情况
(1)如果X≤20000，则Z=20％，C=O，代入Y=XZ-C，
那么，Y=20%X-0=0.2×0.8M=0.16M
令X=20000,得M=X÷0.8=20000÷0.8=25000
所以,M的取值范围为4000＜M≤25000
即当4000＜M≤25000时，Y=0.16M
(2)如果50000≥X＞20000,则Z=30%，C=2000，代入Y=XZ-C
那么，Y=30%X-2000=0.3×0.8M-2000=0.24M-2000=0.24M-2000
令X=50000，得M=X÷0.8=50000÷0.8=62500
所以,M的取值范围为：25000＜M≤62500
即，当25000＜M≤62500时，Y=0.24M-2000
20000，得M：X÷O 8：20000÷0 8：25000
(3)如果X＞50000,则Z=40%,C=7000,代入Y=XZ-C
那么，Y=40%X-7000=0.4×0.8M-7000=0.32M-7000
M的取值范围为M＞625000
即，当M＞625000时，Y=0.32M-7000
通过观察上述式子，我们可以发现，他们都变成了一次函数:Y=aM-b。将上述推导结果整理成下表（表3）

表3 演出收入个人所得税计税系数表
级数
X(每次总收入)
a
b
1
超过800元至4000元（含）的
0.2
160
2
超过4000元至25000元（含）的
0.16
0
3
超过25000元至62500元（含）的
0.24
2000
4
超过62500元的
0.32
7000
问题5：资料同问题1
∵M=3000元＜4000，则a=0.2，b=160
∴Y=aM-b=0.2×3000—160=440元
问题6:资料同问题2
∵M=100000元，M＞62500，则a=0.32，b=7000
∴Y=aM—b=0.32×100000—7000=25000元
这样的计算就更简单了!
二、由举办方代付税款的数学模型
问题2中乙到杭州演出一场，总收入为100000元，缴了25000元个人所得税后，税后净收入只有75000元了。她觉得报酬太低，不合算。于是丙到演出举办单位签订协议，要求演出的税后净收入为100000元，即个人所得税由演出举办者承担．那么，举办者代为缴纳的个人所得税是不是25000元呢?
(一)税法规定的数学模型
假设：税后净收入为N，举办者为演员代付款为Y，演出举办方实际支出为M，M也就是演出者的总收入。显然M=Y+N。这意味着计算代付税款时，应当将举办者支付给演员的的税后净收入N(或称不含税支付额)换算为总收入M，按规定扣除费用后得巾应纳税所得额X，然后按规定税率Z计算出应代付的个人所得税款Y。
现在N是已知条件，我们只要建立起以N为自变量、丫为因变量的函数关系式，并且将表面化中的X换算成N，就可确定Z，计算出Y。
根据费用扣除规定和表面化的信息，推导如下：
1、当M≤4000时，X=M-800,将X=M-800，代入Y=XZ-C
那么，Y=（M-800）Z-C =（Y+N-800）Z-C，经整理可得：
Y=
下面确定N的取值范围。
当M≤4000时，Z=20％,C=0
令Y=0，即 =0，则N=800。
令M=4000，即Y=XZ—C=(4000—800)×20％-0=640元，
N=M—Y=4000—640=3360元。
即：与M=4000元相对应值为3360元。
也就是说,当3360≥N＞800时，按Y= 来计算税款。
此时，Z=20％，C=0。
2、当M＞4000时，X=0.8M
那以，Y =XZ-C
=0.8MZ-C
=0.8(Y+N)Z-C
经整理可得:
Y=

下面分别就X的三种取值范围来确定N的对应取值范围。
（1）当X=20000元时，Y=XZ-C=20000×20％-0=4000元
M=X÷0.8=20000÷0.8=25000元
N=M-Y=25000-4000=20111元。即：与X=2000元相对应的N值为21000元。
也就是说，当21000≥N＞3360时，按Y=来计算税款。此时，Z=20%,C=0。
（2）当X=50000元时，Y=XZ-C=50000×30%-2000=13000元
M=X÷0.8=50000÷0.8=62500元，N=M-Y=62500-13000=49500元，即：与X=50000元相对应的N值为49500元。
也就是说，当49500≥N＞21000时，按Y=来计算税款。此时，Z=30%,C=2000。
（3）显然，当N＞49500时，按Y=来计算税款。此时，Z=40%,C=7000元。
根据上述推导，可以把税率表（表2）改写成下表（表4）
表4 不含演出收入适用税率表
级数
N(不含税演出收入)
Z（税率%）
C（常数）
1
超过800元至3360元（含）的
20
0
2
超过3360元至21000元（含）的
20
0
3
超过21000元至49500元（含）的
30
2000
4
超过49500元的
40
7000
问题7：丙演员到杭州演出一场，按照合同规定，举办方应支付歌星报酬3000元，与其报酬相关的个人所得税由举办方代付。计算应代付的个人所得税税额。
1、∵N=3000＜3360，则Z=20%，C=0
2、∴Y===550元
现在，我们知道了由演员自己缴税和演出举办方代付税款的计算方法是不一样的。但是，这样的计算比较复杂，能否再简化点呢？
(二)化简数学模型
观察表4可知，Z和C虽然随着N的变化而变化，但当N确定后，
Z和C就变为常数了。所以，我们将Z和C代入式子
Y= 或Y=就可以进行化繁为简了。
1、当N≤3360时，Z=20％，C=0
那么，Y===
2、当21000≥N＞3360时，Z=20％，C=0
那么，Y= =
3、当49500≥N＞21000时，Z=30％，C=2000
那么，Y= =
4、当N＞49500时，Z=40％，C=70000
那么，Y==
通过观察上述式子，我门可以发现，它们都变成了一次函数：
Y=An-b。
将上述推导结果整理成下表(见表5)
表5 不含演出收入计税系数表
级数
不含税劳务报酬收入
A
B
1
未超过3360元（含）的

200
2
超过3360元至21000元（含）的

0
3
超过21000元至49500元（含）的

2631.58
4
超过49500元的

10294.12

数学模型的应用：
问题8：资料同问题7
1、∵N=3000＜3360，则a=，b=200
2 、Y=元—200
结论
综上所述，不论是由演出者付税，还是由演出举办者代付税，都可以运用Y=Ax+b来计算个人所得税。只要稍微懂点函数知识的人，利用本文介绍的方法，计算个人所得税就易如反掌了。