天津市第一中学2024-2025学年高三上学期第二次月考数学+答案.docx

天津一中2024—2025—1高三年级第二次月考数学试卷
本试卷总分150分，考试用时120分钟.考生务必将答案涂写在答题卡上，答在试卷上的无效.
一、选择题（本大题共9小题，每小题5分，共45分）
1. 已知全集，若，则集合（）
AB. C. D.
2. 某小学为了解学生的身体状况，抽取了名学生的身高，将所得的数据整理后，画出了如图所示的频率分布直方图，则所抽取的学生身高在的人数约为（）

A. 100B. 90C. 80D. 70
3. 已知a，，则“”是成立的（）
A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件
C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件
4. 已知函数的图象上距离原点最近的对称中心是（）
A. B. C. D.
5. 已知，，，则（）
A. B. C. D.
6. 下列哪个函数在区间的大致图象如图所示（）

A. B.
C. D.
7. 已知椭圆的右顶点A，右焦点F，经过A、F两点的圆C与y轴相切于点，则圆C被直线AB截得的弦长为（）
A. B. C. D.
8. 如图，三棱柱中，是上靠近的三等分点，平面将三棱柱分成体积为，两部分，则（）

A. B. C. D.
9. 在无穷数列中，，，数列的前n项和为，则的最大值与最小值的差为（）
A. B.
CD. 无法确定
二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分）
10. 已知是虚数单位，复数________.
11. 在二项式展开式中，常数项为______．
12. 在等差数列中，数列的前n项和为，，，若，则的最小值为________.
13. 现有7张卡片，分别写上数字1，2，2，3，4，5，6.则这7个数第75百分数是________；从这7张卡片中随机抽取2张，则所抽取卡片上数字的最小值为2的概率________.
14. 已知边长为2的菱形ABCD，，若O为菱形ABCD中心，E为BC中点，记，，则________（结果用，表示）；若P是菱形ABCD及其内部的一点且满足，则动点P所在的曲线长度为________.
15. 若函数恰有两个零点，则a的取值范围为________.
三、解答题（本大题共5小题，共75分）
16. 在中，内角的对边分别为，且，.
（1）求的值；
（2）求的值；
（3）求的值.
17. 如图，在直五棱柱中，，，，，，.

（1）求证：；
（2）求平面与平面的夹角余弦值；
（3）求点到平面的距离.
18. 已知椭圆的右顶点为A，左焦点为F，点P在椭圆C上，最大值与最小值的比为.
（1）求椭圆的离心率；
（2）若线段AP的垂直平分线与y轴相交于点Q，且为等边三角形，求直线AP的斜率；
（3）当时，直线上存在一点Q，使得是以A为直角顶点的等腰直角三角形，求实数m的取值范围.
19. 阅读材料并回答问题：设，为两组实数.，，，，是，，，，任一排列，则如图，在平面直角坐标系xOy中，在x轴的正半轴上，依次取n个点.、、，在y轴的正半轴上依次取n个点.、、，其中、.已知数列为等比数列，为等差数列，且，，.

（1）求，的通项公式；
（2）若数列中，，，求证：；
（3）任意选取某两个点与（，2，，n；，2，，n）连结它们，得到，这样一一搭配，一共可以得到n个三角形，求这n个三角形的面积之和最小值.（结果用n表示）
20. 已知函数
（1）若对于任意的，都有函数是增函数，求的取值范围；
（2）当，时，若函数有两个不同的零点，证明：；
（3）当，时，若且，证明：

天津一中2024—2025—1高三年级第二次月考数学试卷
本试卷总分150分，考试用时120分钟.考生务必将答案涂写在答题卡上，答在试卷上的无效.
一、选择题（本大题共9小题，每小题5分，共45分）
【1题答案】
【答案】D
【2题答案】
【答案】A
【3题答案】
【答案】A
【4题答案】
【答案】B
【5题答案】
【答案】D
【6题答案】
【答案】B
【7题答案】
【答案】D
【8题答案】
【答案】C
【9题答案】
【答案】C
二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分）
【10题答案】
【答案】
【11题答案】
【答案】160
【12题答案】
【答案】17
【13题答案】
【答案】 ①. 5 ②.
【14题答案】
【答案】 ①. ②.
【15题答案】
【答案】
三、解答题（本大题共5小题，共75分）
【16题答案】
【答案】（1）
（2）
（3）
【17题答案】
【答案】（1）证明见解析
（2）
（3）
【18题答案】
【答案】（1）
（2）
（3）
【19题答案】
【答案】（1），；
（2）证明见解析；（3）.
【20题答案】
【答案】（1）（2）证明见解析（3）证明见解析