山东淄博市2017年中考数学试题含答案.doc

绝密★启用前 试卷类型：A
山东省淄博市二〇一七年初中学业水平考试
数学试题
（试卷满分为120分，考试时间为120分钟）
2017年山东省淄博市中考数学试卷
一、选择题（本大题共12小题，每小题4分，共48分）
1．的相反数是（　　）
A．　　　　B．　　　　C．　　　　D．
3．下列几何体中，其主视图为三角形的是（　　）
A．　　　B．　　　　C．　　　　D．
4．下列运算正确的是（　　）
A． 　　　　　　　　　　B．
C．（a≠0） D．
5．若分式的值为零，则x的值是（　　）
A．1　　　　　　B．﹣1　　　　　　C．±1　　　　　　D．2
6．若a+b=3，，则ab等于（　　）
A．2　　　　　　B．1　　　　　　C．﹣2　　　　　　D．﹣1
7．将二次函数的图象沿x轴向右平移2个单位长度，得到的函数表达式是（　　）
A．　　　　B．
C． 　　　　D．
8．若关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则实数k的取值范围是（　　）
A．k＞﹣1　　　　　　B．k＞﹣1且k≠0　　　　　　C．k＜﹣1　　　　　　D．k＜﹣1或k=0
9．如图，半圆的直径BC恰与等腰直角三角形ABC的一条直角边完全重合，若BC=4，则图中阴影部分的面积是（　　）

A．2+π　　　　　　B．2+2π　　　　　　C．4+π　　　　　　D．2+4π
10．在一个不透明的袋子里装有四个小球，球上分别标有6，7，8，9四个数字，这些小球除数字外都相同．甲、乙两人玩“猜数字”游戏，甲先从袋中任意摸出一个小球，将小球上的数字记为m，再由乙猜这个小球上的数字，记为n．如果m，n满足|m﹣n|≤1，那么就称甲、乙两人“心领神会”，则两人“心领神会”的概率是（　　）
A．　　　　B．　　　　C． 　　　　D．
11．小明做了一个数学实验：将一个圆柱形的空玻璃杯放入形状相同的无水鱼缸内，看作一个容器，然后，小明对准玻璃杯口匀速注水，如图所示，在注水过程中，杯底始终紧贴鱼缸底部，则下面可以近似地刻画出容器最高水位h与注水时间t之间的变化情况的是（　　）

A．　　　　　　B．
C．　　　　　　D．
12．如图，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，AB=6，BC=8，∠BAC，∠ACB的平分线相交于点E，过点E作EF∥BC交AC于点F，则EF的长为（　　）

A．　　　　B．　　　　C． 　　　　D．
二、填空题（本大题共5小题，每小题4分，共20分）
13．分解因式：= ．
14．已知α，β是方程的两个实数根，则的值为 ．
15．运用科学计算器（如图是其面板的部分截图）进行计算，按键顺序如下：

则计算器显示的结果是 ．
16．在边长为4的等边三角形ABC中，D为BC边上的任意一点，过点D分别作DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别为E，F，则DE+DF= ．
17．设△ABC的面积为1．
如图1，分别将AC，BC边2等分，D1，E1是其分点，连接AE1，BD1交于点F1，得到四边形CD1F1E1，其面积S1=．
如图2，分别将AC，BC边3等分，D1，D2，E1，E2是其分点，连接AE2，BD2交于点F2，得到四边形CD2F2E2，其面积S2=；
如图3，分别将AC，BC边4等分，D1，D2，D3，E1，E2，E3是其分点，连接AE3，BD3交于点F3，得到四边形CD3F3E3，其面积S3=；
…
按照这个规律进行下去，若分别将AC，BC边（n+1）等分，…，得到四边形CDnEnFn，其面积S= ．

三、解答题（本大题共7小题，共52分）
18．解不等式：．
19．已知：如图，E，F为▱ABCD对角线AC上的两点，且AE=CF，连接BE，DF，求证：BE=DF．

20．某内陆城市为了落实国家“一带一路”战略，促进经济发展，增强对外贸易的竞争力，把距离港口420km的普通公路升级成了同等长度的高速公路，结果汽车行驶的平均速度比原来提高了50%，行驶时间缩短了2h，求汽车原来的平均速度．
21．为了“天更蓝，水更绿”某市政府加大了对空气污染的治理力度，经过几年的努力，空气质量明显改善，现收集了该市连续30天的空气质量情况作为样本，整理并制作了如下表格和一幅不完整的条形统计图：

说明：环境空气质量指数（AQI）技术规定：ω≤50时，空气质量为优；51≤ω≤100时，空气质量为良；101≤ω≤150时，空气质量为轻度污染；151≤ω≤200时，空气质量为中度污染，…
根据上述信息，解答下列问题：
（1）直接写出空气污染指数这组数据的众数 ，中位数 ；
（2）请补全空气质量天数条形统计图：
（3）根据已完成的条形统计图，制作相应的扇形统计图；
（4）健康专家温馨提示：空气污染指数在100以下适合做户外运动，请根据以上信息，估计该市居民一年（以365天计）中有多少天适合做户外运动？

22．如图，在直角坐标系中，Rt△ABC的直角边AC在x轴上，∠ACB=90°，AC=1，反比例函数（k＞0）的图象经过BC边的中点D（3，1）．
（1）求这个反比例函数的表达式；
（2）若△ABC与△EFG成中心对称，且△EFG的边FG在y轴的正半轴上，点E在这个函数的图象上．
①求OF的长；
②连接AF，BE，证明四边形ABEF是正方形．

23．如图，将矩形纸片ABCD沿直线MN折叠，顶点B恰好与CD边上的动点P重合（点P不与点C，D重合），折痕为MN，点M，N分别在边AD，BC上，连接MB，MP，BP，BP与MN相交于点F．
（1）求证：△BFN∽△BCP；
（2）①在图2中，作出经过M，D，P三点的⊙O（要求保留作图痕迹，不写做法）；
②设AB=4，随着点P在CD上的运动，若①中的⊙O恰好与BM，BC同时相切，求此时DP的长．

24．如图1，经过原点O的抛物线（a≠0）与x轴交于另一点A（，0），在第一象限内与直线y=x交于点B（2，t）．
（1）求这条抛物线的表达式；
（2）在第四象限内的抛物线上有一点C，满足以B，O，C为顶点的三角形的面积为2，求点C的坐标；
（3）如图2，若点M在这条抛物线上，且∠MBO=∠ABO，在（2）的条件下，是否存在点P，使得△POC∽△MOB？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．

2017年山东省淄博市中考数学试卷
参考答案与评分标准

一、选择题（本大题共12小题，每小题4分，共48分）
1-5．CADCA 6-10．BDBAB 11-12．DC
二、填空题（本大题共5小题，每小题4分，共20分）
13．（4分）2x（x﹣2）（x+2）
14．（4分）0
15．（4分）959
16．（4分）2
17．（4分）
三、解答题（本大题共7小题，共52分）
18．（5分）解：去分母得：3（x﹣2）≤2（7﹣x），
去括号得：3x﹣6≤14﹣2x，
移项合并得：5x≤20，
解得：x≤4．
19．（5分）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥DC，AB=DC．
∴∠BAE=∠DCF．
在△AEB和△CFD中，，
∴△AEB≌△CFD（SAS）．
∴BE=DF．
20．（8分）解：设汽车原来的平均速度是x km/h，
根据题意得：﹣=2，
解得：x=70
经检验：x=70是原方程的解．
答：汽车原来的平均速度70km/h．

21．（8分）解：（1）在这组数据中90出现的次数最多7次，故这组数据的众数为90；在这组数据中排在最中间的两个数是90，90，这两个数的平均数是90，所以这组数据的中位数是90；
故答案为：90，90．
（2）由题意，得
轻度污染的天数为：30﹣3﹣15=12天．

（3）由题意，得
优所占的圆心角的度数为：3÷30×360=36°，
良所占的圆心角的度数为：15÷30×360=180°，
轻度污染所占的圆心角的度数为：12÷30×360=144°

（4）该市居民一年（以365天计）中有适合做户外运动的天数为：18÷30×365=219天．
22．（8分）解：（1）∵反比例函数y=（k＞0）的图象经过点D（3，1），
∴k=3×1=3，
∴反比例函数表达式为y=；

（2）①∵D为BC的中点，
∴BC=2，
∵△ABC与△EFG成中心对称，
∴△ABC≌△EFG，
∴GF=BC=2，GE=AC=1，
∵点E在反比例函数的图象上，
∴E（1，3），即OG=3，
∴OF=OG﹣GF=1；
②如图，连接AF、BE，

∵AC=1，OC=3，
∴OA=GF=2，
在△AOF和△FGE中

∴△AOF≌△FGE（SAS），
∴∠GFE=∠FAO=∠ABC，
∴∠GFE+∠AFO=∠FAO+∠BAC=90°，
∴EF∥AB，且EF=AB，
∴四边形ABEF为平行四边形，
∴AF=EF，
∴四边形ABEF为菱形，
∵AF⊥EF，
∴四边形ABEF为正方形．
23．（9分）（1）证明：∵将矩形纸片ABCD沿直线MN折叠，顶点B恰好与CD边上的动点P重合，
∴MN垂直平分线段BP，
∴∠BFN=90°．
∵四边形ABCD为矩形，
∴∠C=90°．
∵∠FBN=∠CBP，
∴△BFN∽△BCP．
（2）解：①在图2中，作MD、DP的垂直平分线，交于点O，以OD为半径作圆即可．如图所示．
②设⊙O与BC的交点为E，连接OB、OE，如图3所示．
∵△MDP为直角三角形，
∴AP为⊙O的直径，
∵BM与⊙O相切，
∴MP⊥BM．
∵MB=MP，
∴△BMP为等腰直角三角形．
∵∠AMB+∠PMD=180°﹣∠AMP=90°，∠MBA+∠AMB=90°，
∴∠PMD=∠MBA．
在△ABM和△DMP中，，
∴△ABM≌△DMP（AAS），
∴DM=AB=4，DP=AM．
设DP=2a，则AM=2a，OE=4﹣a，
BM==2．
∵BM=MP=2OE，
∴2=2×（4﹣a），
解得：a=，
∴DP=2a=3．

24．（9分）解：（1）∵B（2，t）在直线y=x上，
∴t=2，
∴B（2，2），
把A、B两点坐标代入抛物线解析式可得，解得，
∴抛物线解析式为y=2x2﹣3x；
（2）如图1，过C作CD∥y轴，交x轴于点E，交OB于点D，过B作BF⊥CD于点F，

∵点C是抛物线上第四象限的点，
∴可设C（t，2t2﹣3t），则E（t，0），D（t，t），
∴OE=t，BF=2﹣t，CD=t﹣（2t2﹣3t）=﹣2t2+4t，
∴S△OBC=S△CDO+S△CDB=CD•OE+CD•BF=（﹣2t2+4t）（t+2﹣t）=﹣2t2+4t，
∵△OBC的面积为2，
∴﹣2t2+4t=2，解得t1=t2=1，
∴C（1，﹣1）；
（3）存在．
设MB交y轴于点N，如图1，

∵B（2，2），
∴∠AOB=∠NOB=45°，
在△AOB和△NOB中

∴△AOB≌△NOB（ASA），
∴ON=OA=，
∴N（0，），
∴可设直线BN解析式为y=kx+，
把B点坐标代入可得2=2k+，解得k=，
∴直线BN的解析式为y=x+，
联立直线BN和抛物线解析式可得，解得或，
∴M（﹣，），
∵C（1，﹣1），
∴∠COA=∠AOB=45°，且B（2，2），
∴OB=2，OC=，
∵△POC∽△MOB，
∴==2，∠POC=∠BOM，
当点P在第一象限时，如图3，过M作MG⊥y轴于点G，过P作PH⊥x轴于点H，

∵∠COA=∠BOG=45°，
∴∠MOG=∠POH，且∠PHO=∠MGO，
∴△MOG∽△POH，
∴===2，
∵M（﹣，），
∴MG=，OG=，
∴PH=MG=，OH=OG=，
∴P（，）；
当点P在第三象限时，如图4，过M作MG⊥y轴于点G，过P作PH⊥y轴于点H，

同理可求得PH=MG=，OH=OG=，
∴P（﹣，）；
综上可知存在满足条件的点P，其坐标为（，）或（﹣，）．