山西省运城市康杰中学高中数学必修一教案3.2.1几类不同增长的函数模型.doc

3.2.1 几类不同增长的函数模型（2）

项目
内容
课题
几类不同增长的函数模型
（共 2 课时）
修改与创新
教学
目标
1.借助信息技术，利用函数图象及数据表格，比较指数函数、对数函数以及幂函数的增长差异.
2.恰当运用函数的三种表示方法(解析式、表格、图象)并借助信息技术解决一些实际问题.
3.让学生体会数学在实际问题中的应用价值，培养学生学习兴趣.

教学重、
难点
教学重点:认识指数函数、对数函数、幂函数等函数模型的增长差异，体会直线上升、指数爆炸与对数增长的不同.
教学难点:应用函数模型解决简单问题.

教学
准备

教学过程

第2课时
几类不同增长的函数模型
导入新课
我们知道，对数函数y=logax(a>1),指数函数y=ax(a>1)与幂函数y=xn(n>0)在区间(0，+∞)上都是增函数.但这三类函数的增长是有差异的.本节我们讨论指数函数、对数函数、二次函数的增长差异.
提出问题
①在区间(0，+∞)上判断y=log2x,y=2x,y=x2的单调性.
②列表并在同一坐标系中画出三个函数的图象.
③结合函数的图象找出其交点坐标.
④请在图象上分别标出使不等式log2x<2x<x2和log2x<x2<2x成立的自变量x的取值范围.
⑤由以上问题你能得出怎样结论？
讨论结果：
①在区间(0，+∞)上函数y=log2x,y=2x,y=x2均为单调增函数.
②见下表与图3-2-1-12.
x
0.2
0.6
1.0
1.4
1.8
2.2
2.6
3.0
3.4
y=2x
1.149
1.516
2
2.639
3.482
4.959
6.063
8
10.556
y=x2
0.04
0.36
1
1.96
3.24
4.84
6.67
9
11.56
y=log2x
-2.322
-0.737
0
0.485
0.848
1.138
1.379
1.585
1.766

图3-2-1-12
③从图象看出y=log2x的图象与另外两函数的图象没有交点，且总在另外两函数的图象的下方，y=2x的图象与y=x2的图象有两个交点(2，4)和(4，16).
④不等式log2x<2x<x2和log2x<x2<2x成立的自变量x的取值范围分别是(2，4)和(0，2)∪(4，+∞).
⑤我们在更大的范围内列表作函数图象(图3-2-1-13),

x
0
1
2
3
4
5
6
7
8
y=2x
1
2
4
8
16
32
64
128
256
y=x2
0
1
4
9
16
25
36
49
64

图3-2-1-13
容易看出：y=2x的图象与y=x2的图象有两个交点(2，4)和(4，16)，这表明2x与x2在自变量不同的区间内有不同的大小关系，有时2x<x2，有时x2<2x.
但是，当自变量x越来越大时，可以看到，y=2x的图象就像与x轴垂直一样，2x的值快速增长，x2比起2x来，几乎有些微不足道，如图3-2-1-14和下表所示.
x
0
10
20
30
40
50
60
y=2x
1
1024
1.05E+06
1.07E+09
1.10E+12
1.13E+15
1.15E+18
y=x2
0
100
400
900
1600
2500
3600

图3-2-1-14
一般地，对于指数函数y=ax(a>1)和幂函数y=xn(n>0)，通过探索可以发现，在区间(0，+∞)上，无论n比a大多少，尽管在x的一定变化范围内，ax会小于xn，但由于ax的增长快于xn的增长，因此总存在一个x0，当x>x0时，就会有ax>xn.
同样地，对于对数函数y=logax(a>1)和幂函数y=xn(n>0)，在区间(0，+∞)上，随着x的增大，logax增长得越来越慢，图象就像是渐渐地与x轴平行一样.尽管在x的一定变化范围内，logax可能会大于xn，但由于logax的增长慢于xn的增长，因此总存在一个x0，当x>x0时，就会有logax<xn.
综上所述，尽管对数函数y=logax(a>1),指数函数y=ax(a>1)与幂函数y=xn(n>0)在区间(0，+∞)上都是增函数，但它们的增长速度不同，而且不在同一个“档次”上.随着x的增大，y=ax(a>1)的增长速度越来越快，会超过并远远大于y=xn(n>0)的增长速度，而y=logax(a>1)的增长速度则会越来越慢.因此，总会存在一个x0，当x>x0时，就会有logax<xn<ax.虽然幂函数y=xn(n>0)增长快于对数函数y=logax(a>1)增长，但它们与指数增长比起来相差甚远，因此指数增长又称“指数爆炸”.
例1某市的一家报刊摊点，从报社买进《晚报》的价格是每份0.20元，卖出价是每份0.30元，卖不掉的报纸可以以每份0.05元的价格退回报社.在一个月(以30天计)里，有20天每天可卖出400份，其余10天每天只能卖出250份，但每天从报社买进的份数必须相同，这个摊主每天从报社买进多少份，才能使每月所获的利润最大？并计算他一个月最多可赚得多少元？
活动：学生先思考或讨论，再回答.教师根据实际，可以提示引导：
设摊主每天从报社买进x份，显然当x∈［250，400］时，每月所获利润才能最大.而每月所获利润=卖报收入的总价－付给报社的总价.卖报收入的总价包含三部分：①可卖出400份的20天里，收入为20·0.30x；②可卖出250份的10天里，收入为10·0.30·250；③10天里多进的报刊退回给报社的收入为10·0.05·(x-250).付给报社的总价为30·0.20x.
解：设摊主每天从报社买进x份，显然当x∈［250，400］时，每月所获利润才能最大.于是每月所获利润y为
y=20·0.30x+10·0.30·250+10·0.05·(x-250)-30·0.20x=0.5x+625，x∈［250，400］.
因函数y在［250，400］上为增函数，故当x=400时，y有最大值825元.
例2某医药研究所开发一种新药，如果成人按规定的剂量服用，据监测：服药后每毫升血液中的含药量y与时间t之间近似满足如图所示的曲线.
(1)写出服药后y与t之间的函数关系式；
(2)据测定：每毫升血液中含药量不少于4微克时治疗疾病有效，假若某病人一天中第一次服药时间为上午7:00，问一天中怎样安排服药的时间(共4次)效果最佳？

图3-2-1-15
解：(1)依题意,得y=
(2)设第二次服药时在第一次服药后t1小时，则t1+=4,t1=4.因而第二次服药应在11:00；
设第三次服药在第一次服药后t2小时，则此时血液中含药量应为两次服药量的和，即有t2+(t2-4)+=4,解得t2=9小时，故第三次服药应在16:00；
设第四次服药在第一次后t3小时(t3>10)，则此时第一次服进的药已吸收完，此时血液中含药量应为第二、三次的和，(t2-4)+(t2-9)+=4,解得t3=13.5小时，故第四次服药应在20:30.
变式训练
通过研究学生的学习行为，心理学家发现，学生的接受能力依赖于老师引入概念和描述问题所用的时间：讲座开始时，学生兴趣激增；中间有一段不太长的时间，学生的兴趣保持较理想的状态；随后学生的注意力开始分散.分析结果和实验表明，用f(x)表示学生接受概念的能力〔f(x)的值愈大，表示接受的能力愈强〕，x表示提出和讲授概念的时间(单位：分)，可有以下的公式：
f(x)=
(1)开讲后多少分钟，学生的接受能力最强？能维持多长时间？
(2)开讲后5分钟与开讲后20分钟比较，学生的接受能力何时强一些？
解：(1)当0<x≤10时，f(x)=-0.1x2+2.6x+43=-0.1(x-13)2+59.9，
由f(x)的图象,知当x=10时，［f(x)］max=f(10)=59；
当10<x≤16时，f(x)=59；当16<x≤30时，f(x)=-3x+107，
由f(x)的图象,知f(x)<-3×16+107=59.
因此，开讲后10分钟，学生的接受能力最强，并能持续6分钟.
(2)∵f(5)=-0.1×(5-13)2+59.9=53.5，f(20)=-3×20+107=47<53.5,
∴开讲后5分钟时学生的接受能力比开讲后20分钟强.
点评：解析式与图象的转换是函数应用的重点，关于分段函数问题更应重点训练.
课堂小结
本节学习了:①指数函数、对数函数、二次函数的增长差异.②幂函数、指数函数、对数函数的应用.
作业
课本P107习题3.2A组3、4.

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教学反思