北师大版九年级数学-第二章-一元二次方程知识点.doc

杨老师班《一元二次方程单元》学习密卷（共6页）

知识点一：认识一元一次方程
（一）一元二次方程的定义：只含有一个未知数（一元）并且未知数的次数是2（二次）的整式方程，这样的方程叫一元二次方程。
（注意：一元二次方程必须满足以下三个条件：是整式方程；一元；二次）
（二） 一元二次方程的一般形式：把（a、b、c为常数，a≠0）称为一元二次方程的一般形式。其中a为二次项系数；b为一次项系数；c为常数项。
【例题】
1、一元二次方程3x 2＝5x－1的一般形式是 ，二次项系数是 ，一次项系数是 ，常数项是 。
2、一元二次方程（x+1）(3x－2)=10的一般形式是 。
3、当m= 时，关于x的方程是一元二次方程。
4、下列方程中不一定是一元二次方程的是( )
A.(a-3)x2=8 (a≠3) B.ax2+bx+c=0
C.(x+3)(x-2)=x+5 D.
知识点二：求解一元一次方程
（一）一元二次方程的根定义：使得方程左右两边相等的未知数的值就是这个一元二次方程的解，一元二次方程的解也叫做一元二次方程的根。
【例题】
例1、关于的一元二次方程的一个根是0，则值为（ ）
A、 B、 C、或 D、
（二）解一元二次方程的方法：
1.配方法 <即将其变为的形式>
配方法解一元二次方程的基本步骤：
①把方程化成一元二次方程的一般形式；
②将二次项系数化成1；
③把常数项移到方程的右边；
④两边加上一次项系数的一半的平方；
⑤把方程转化成的形式；
⑥两边开方求其根。
【例题】
例2 一元二次方程x2-8x-1=0配方后可变形为（　　）
A．（x+4）2=17
B．（x+4）2=15
C．（x-4）2=17
D．（x-4）2=15
例3 用配方法解一元二次方程x2-6x-4=0，下列变形正确的是（　　）
A．（x-6）2=-4+36
B．（x-6）2=4+36
C．（x-3）2=-4+9
D．（x-3）2=4+9

例4 x2-6x-4=0； x2-4x=1； x2-2x-2=0

2.公式法 （注意在找abc时须先把方程化为一般形式）
【例题】
例5若一元二次方程x2+2x+a=0的有实数解，则a的取值范围是（　　）
A．a＜1
B．a≤4
C．a≤1
D．a≥1
例6 已知一元二次方程2x2-5x+3=0，则该方程根的情况是（　　）
A．有两个不相等的实数根
B．有两个相等的实数根
C．两个根都是自然数
D．无实数根
例7 已知关于x的方程x2+2x+a-2=0．
（1）若该方程有两个不相等的实数根，求实数a的取值范围；
（2）当该方程的一个根为1时，求a的值及方程的另一根．

3.分解因式法 把方程的一边变成0，另一边变成两个一次因式的乘积来求解。（主要包括“提公因式”和“十字相乘”）
【例题】
例8 一元二次方程x2-2x=0的解是（　　）
A．0
B．2
C．0，-2
D．0，2
例9 方程3（x-5）2=2（x-5）的根是
例10 x2-3x+2=0； x2+2x=3； （x-1）2+2x（x-1）=0
知识点三：一元二次方程的根与系数的关系
1.根与系数的关系：如果一元二次方程的两根分别为x1、x2，则有：.
2.一元二次方程的根与系数的关系的作用：
（1）已知方程的一根，求另一根；
（2） 不解方程，求二次方程的根x1、x2的对称式的值。
（3） 对比记忆以下公式：
① ② ③
④ ⑤
⑥ ⑦其他能用或表达的代数式。
（3）已知方程的两根x1、x2，可以构造一元二次方程：
（4）已知两数x1、x2的和与积，求此两数的问题，可以转化为求一元二次方程
的根
【例题】
例11 已知关于x的方程x2+2x+a-2=0．
（1）若该方程有两个不相等的实数根，求实数a的取值范围；
（2）当该方程的一个根为1时，求a的值及方程的另一根．

例12 已知关于x的一元二次方程x2-4x+m=0．
（1）若方程有实数根，求实数m的取值范围；
（2）若方程两实数根为x1，x2，且满足5x1+2x2=2，求实数m的值．

知识点四：应用一元一次方程
在利用方程来解应用题时，主要分为两步：
①设未知数（在设未知数时，大多数情况只要设问题为x；但也有时也须根据已知条件及等量关系等诸多方面考虑）；
②寻找等量关系（一般地，题目中会含有一表述等量关系的句子，只须找到此句话即可根据其列出方程）。
【例题】
例13 某校准备修建一个面积为180平方米的矩形活动场地，它的长比宽多11米，设场地的宽为x米，则可列方程为（　　）
A．x（x-11）=180
B．2x+2（x-11）=180
C．x（x+11）=180
D．2x+2（x+11）=180
例14 某商品现在的售价为每件60元，每星期可卖出300件．市场调查反映：每降价1元，每星期可多卖出20件．已知商品的进价为每件40元，在顾客得实惠的前提下，商家还想获得6080元的利润，应将销售单价定位多少元？

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一、 填空题：
1. 已知两个数的差等于4，积等于45。则这两个数为 和 。
2. 当m 时，方程（m2-1）x2-mx+5=0不是一元二次方程。当当m 时，上述方程是一元二次方程。
3. 用配方法解方程x2-4x-6=0，则x2-4x+ =6+ 。所以x1= ，x2= 。
4. 如果x2-2（m+1）x+4是一个完全平方式，则m= 。
5. 当 ≥0时，一元二次方程ax2+bx+c=0的求根公式为 。
6. 如果x1、x2是方程2x2-3x-6=0.那么x1+x2= ，x1x2= 。
7. 若方程x2-3x+m=0有两个相等的实数根。则m= ，两根分别为 。
8. 若方程kx2-9x+8=0的一个根为1，则k= ，另一个根为 。
9. 以-3和7为根且二次项系数为1的一元二次方程是 。
10. 关于x的一元二次方程mx2+x+m2+3m=0有一个根为零，则m的值等于 。
二、选择题：
1.下列方程中，一元二次方程是（ ）
（A）. （B） ax2+bx （C）（x-1）（x+3）=1 （D）3x2-2xy-5y2=0

2. 方程（2x+3）（x-1）=1的解的情况是（ ）
（A） 有两个不相等实数根 （B）没有实数根 （C）有两个相等的实数根 （D）有一个实数根
3.如果一元二次方程x2+（m+1）x+m=0的两个根是互为相反数，那么有（ ）
（A）m=0 (B) m=-1 (C ) m=1 (D)以上结论都不对
4.已知x1，x2是方程x2=2x+1的两个根，则 的值为（ ）
（A） （B）2 （C）-2 （D）

5.不解方程2x2+3x-1=0的两根的符号为（ ）
（A） 同号 （B） 异号 （C）两根都为正 （D）不能确定
6.已知一元二次方程mx2+n=0 （m≠0），若方程有解，则必须（ ）
（A）n=0 （B）mn同号 （C）n是m的整数倍 （D）mn异号
7.若a为方程x2+x-5=0的解，则a2+a+1的值为（ ）
（A）12 （B） 6 （C）9 （D）16
8.某超市一月份的营业额为200万元，三月份的营业额为288万元，如果每月比上月增长的百分数相等，则平均每月增长率为（ ）
（A）10% （B）15% （C）20% （D）25%
解 三、解下列方程
1. x2-5x+1=0 (用配方法解) 2. 3（x-2）2=x（x-2）

3. 2x2-x-5=0 4. （y+2）2 = （3y-1）2

四、 当m为何值时，一元二次方程x2+（2m-3）x+（m2-3）=0有两个不相等的实数根？

五、 不解方程，求作一个新的一元二次方程，使它的两个根分别是方程x2-7x=2的两根的
2倍。

六、 已知方程x2+2（k-2）x+k2+4=0有两个实数根，且这两个实数根的平方和比两根的积大21，
求k的值。

七、解答题
1. 将进货单价40元的商品按50元出售，能卖出500个，已知这种商品每涨价1元，就会少销售10个。
为了赚的8000元利润，售价应定为多少？这时应进货多少个？

2. 如图在ΔABC中，∠B=90º，点P从A开始沿边AB向点B以 的速度移动，与此同时，点Q从点

B开始沿边BC向点C以 的速度移动。如果P、Q分别从A、B同时出发，经过几秒，ΔBPQ的面积等于8cm2？（AB=6cm，BC=8cm）

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