三角形全等之截长补短.doc

三角形全等之截长补短（讲义）
一、知识点睛
截长补短：
题目中出现__________________________时，考虑截长补短；截长补短的作用是____________________________________
___________________________________________________．
二、精讲精练
1. 已知：如图，在△ABC中，∠1=∠2，∠B=2∠C．
求证：AC=AB+BD．

2. 如图，在四边形ABCD中，∠A=∠B=90°，点E为AB边上一点，且DE平分∠ADC，CE平分∠BCD．
求证：CD=AD+BC．

3. 已知：如图，在正方形ABCD中，AD=AB，
∠B=∠D=∠BAD=90°，E，F分别为CD，BC边上的点，且∠EAF=45°，连接EF．
求证：EF=BF+DE．

4. 已知：如图，在△ABC中，∠ABC=60°，△ABC的角平分线AD，CE交于点O．
求证：AC=AE+CD．

5. 已知：如图，在△ABC中，∠A=90°，AB=AC，BD平分∠ABC，CE⊥BD交BD的延长线于点E．
求证：CE=BD．

【参考答案】
【知识点睛】
线段间的和差倍分；
把几条线段间的数量关系转为两条线段的等量关系．
【精讲精练】
1. 补短法：
证明：如图，延长AB到E，使BE=BD，连接DE．
∵∠ABD是△BDE的一个外角
∴∠ABD=∠E＋∠BDE
∵BE=BD
∴∠E=∠BDE
∴∠ABD=2∠E
∵∠ABD=2∠C
∴∠E=∠C
在△ADE和△ADC中

∴△ADE≌△ADC（AAS）
∴AE=AC
∴AC=AB＋BE
=AB＋BD　
截长法：
证明：如图，在AC上截取AF=AB，连接DF．
在△ABD和△AFD中

∴△ABD≌△AFD（SAS）
∴∠B=∠AFD，BD=FD
∵∠B=2∠C
∴∠AFD=2∠C
∵∠AFD是△DFC的一个外角
∴∠AFD=∠C +∠FDC
∴∠FDC=∠C
∴DF=FC
∴BD=FC
∴AC=AF+FC
=AB+BD
2. 证明：如图，在CD上截取CF=CB．
∵CE平分∠CBD
∴∠1=∠2
在△CFE和△CBE中

∴△CFE≌△CBE（SAS）
∴∠CFE=∠B
∵∠B=90°
∴∠CFE=∠DFE =90°
∵∠A=90°
∴∠DFE=∠A
∵DE平分∠ADC
∴∠3=∠4
在△DEF和△DEA中

∴△DEF≌△DEA（AAS）
∴DF=AD
∴CD=DF+CF
=AD+BC
3. 证明：如图，延长FB到G，使BG=DE，连接AG．
∵∠D=∠ABC=90°
∴∠ABG=∠D=90°
在△ABG和△ADE中

∴△ABG≌△ADE（SAS）
∴AG=AE，∠1=∠2
∵∠BAD=90°，∠EAF=45°
∴∠2+∠3=45°
∴∠1+∠3=45°
即∠GAF=45°
∴∠GAF=∠EAF
在△AGF和△AEF中

∴△AGF≌△AEF（SAS）
∴GF=EF
∵GF=BF+BG
∴EF=BF+DE
4. 证明：如图，在AC上截取AF=AE，连接OF．
∵AD，CE为△ABC的角平分线
∴∠1=∠2，∠3=∠4
在△AEO和△AFO中

∴△AEO≌△AFO（SAS）
∴∠5=∠6
∵∠ABC=60°
∴∠1+∠2+∠3+∠4=180°-∠B
=180°-60°
=120°
∴∠2+∠3=60°
∴∠AOC=180°-60°
=120°
∴∠5=∠6=∠7=∠8=60°
在△OFC和△ODC中

∴△OFC≌△ODC（ASA）
∴CF=CD
∴AC=AF+FC
=AE+CD
5. 证明：如图，延长CE，交BA的延长线于点F．
∵CE⊥BD
∴∠BEF=∠BEC=90°
∵∠BAC=90°
∴∠CAF=∠BAD=90°
∵∠3=∠4
∴∠1=∠5
在△BAD和△CAF中

∴△BAD≌△CAF（ASA）
∴BD=CF
∵BE平分∠ABC
∴∠1=∠2
在△BEF和△BEC中

∴△BEF≌△BEC（ASA）
∴EF=EC
∴CE=CF
∴CE=BD
三角形全等之截长补短每日一题
1. （4月28日）在△ABC中，AD⊥BC于D，∠B=2∠C．
求证：CD=AB+BD．

2. （4月29日）如图，在△ABC中，AB>AC，∠1=∠2，P为AD上任意一点，连接BP，CP．
求证：AB-AC>PB-PC．

3. （4月30日）已知：如图，∠1=∠2，P为BN上一点，且
PD⊥BC于点D，∠A+∠C=180°．
求证：BD=AB+CD．

4. （5月2日）如图，在正方形ABCD中，E为BC边上任意一点，AF平分∠DAE，连接EF．
求证：AE=BE+DF．

【参考答案】
1. 证明：如图，在线段DC上截取DE=BD，连接AE．

∵AD⊥BC
∴∠ADB=∠ADE=90°
在△ABD和△AED中

∴△ABD≌△AED（SAS）
∴∠B=∠1，AB=AE
∵∠B=2∠C
∴∠1=2∠C
∵∠1是△AEC的一个外角
∴∠1=∠C+∠2
∴∠C=∠2
∴AE=CE
∴CD=CE+ED
=AE+BD
=AB+BD
（如果延长DB到点F，使BF=AB，连接AF也可进行证明）
2. 证明：如图，在线段AB上截取AE=AC，连接PE．

则AB-AC=AB-AE=EB
在△AEP和△ACP中

∴△AEP≌△ACP（SAS）
∴PE=PC
在△PEB中，PB-PE<EB
∴PB-PC<EB
∴AB-AC>PB-PC
（延长AC到点F，使AF=AB，连接PF，也可证明结论）
3. 证明：如图，在BC上截取BE=BA，连接PE．

在△ABP和△EBP中

∴△ABP≌△EBP（SAS）
∴∠A=∠3
∵∠A+∠C=180°，∠3+∠4=180°
∴∠4=∠C
∵PD⊥BC
∴∠PDE=∠PDC=90°
在△PDE和△PDC中

∴△PDE≌△PDC（AAS）
∴DE=DC
∴BD=BE+ED
=AB+CD
（过点P作PF⊥BA于F，也可进行证明）
4. 证明：如图，延长EB到点G，使BG=DF，连接AG．

∵四边形ABCD为正方形
∴AB=AD，∠D=∠ABC=∠BAD=90°
∴∠ABG=∠D=90°
在△ABG和△ADF中

∴△ABG≌△ADF（SAS）
∴∠1=∠2，∠5=∠G
∵AF平分∠DAE
∴∠1=∠3
∵∠1+∠5=90°
∴∠3+∠G=90°
∵∠1+∠3+∠4=90°
∴∠2+∠3+∠4=90°
∴∠2+∠4=∠G
∴AE=EG
∵EG=BE+BG
∴AE=BE+DF

三角形全等之截长补短（随堂测试）
6. 已知：如图，在四边形ABCD中，BC>AB，AD=DC，∠C=60°，BD平分∠ABC．
求证：BC=AB+AD．

【参考答案】
1. 证明略
提示：在BC上截取BE=AB，证明△ABD≌△EBD，再证明
CE=AD．
三角形全等之截长补短（作业）
1. 如图，在△ABC中，∠BAC=60°，∠ABC=80°，AD是∠BAC的平分线．
求证：AC=AB+BD．

2. 如图，AC平分∠BAD，CE⊥AB于E，∠B+∠D=180°．
求证：AE=AD+BE．

3. 如图，在△ABC中，∠A=100°，∠ABC=40°，BD是∠ABC的平分线，延长BD至E，使DE=AD，连接EC．
求证：BC=AB+CE．

4. 如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，CE⊥AB于E，△BDC为等腰直角三角形，∠BDC=90°，BD=CD，CE与BD交于F，连接AF．
求证：CF=AB+AF．

【参考答案】
1. 证明略
提示：
方法一：在AC上截取AE=AB，连接DE，证明△ABD≌△AED，
再证明CE=DE；
方法二：延长AB到E，使BE=BD，证明△ADE≌△ADC．
2. 证明略
提示：在AE上截取AF=AD，证明△CDA≌△CFA，再证明
BE=FE．
3. 证明略
提示：在BC上截取BF=BA，连接DF，证明△ABD≌△FBD，
再证明△DFC≌△DEC．
4. 截长法：
证明：如图，在CF上截取CM=BA，连接DM．
∵△BDC为等腰直角三角形，BD=CD
∴∠1=∠DCB=45°
∵CE⊥AB，∠BDC=90°
∴∠CEB=∠BDC=90°
∵∠2=∠3
∴∠4=∠5
在△ABD和△MCD中

∴△ABD≌△MCD（SAS）
∴DA=DM，∠6=∠7
∵AD∥BC
∴∠7=∠1=45°
∴∠6=45°
∴∠8=45°
∴∠7=∠8
在△ADF和△MDF中

∴△ADF≌△MDF（SAS）
∴AF=MF
∴CF=CM+MF
=AB+AF
补短法：
证明：如图，延长BA交CD的延长线于点G．
∵△BDC为等腰直角三角形
∴∠GDB=∠BDC=90°，∠5=45°
∵CE⊥AB
∴∠CEB=∠BDC=90°
∵∠1=∠2
∴∠3=∠4
在△GBD和△FCD中

∴△GBD≌△FCD（ASA）
∴BG=CF，DG=DF
∵AD∥BC
∴∠6=∠5=45°
∴∠7=45°
∴∠6=∠7
在△GDA和△FDA中

∴△GDA≌△FDA（SAS）
∴AG=AF
∵BG=AB+AG
∴CF=AB+AF

19