高数下曲面及其方程PPT课件.ppt

单击以编辑母版标题样式,单击以编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,.,*,四、二次曲面,第三节,一、曲面方程的概念,二、旋转曲面,三、柱面,机动 目录 上页 下页 返回 结束,曲面及其方程,第,七,章,1,.,一、曲面方程的概念,求到两定点,A,(1,2,3),和,B,(2,-1,4)等距离的点的,化简得,即,说明,:,动点轨迹为线段,AB,的垂直平分面.,引例:,显然在此平面上的点的坐标都满足此方程,不在此平面上的点的坐标不满足此方程.,解:,设轨迹上的动点为,轨迹,方程.,机动 目录 上页 下页 返回 结束,2,.,定义1.,如果曲面,S,与方程,F,(,x,y,z,)=0 有下述关系:,(1)曲面,S,上的任意点的坐标都满足此方程;,则,F,(,x,y,z,)=0,叫做,曲面,S,的,方程,曲面,S,叫做方程,F,(,x,y,z,)=0 的,图形,.,两个基本问题:,(1)已知一曲面作为点的几何轨迹时,(2)不在曲面,S,上的点的坐标不满足此方程,求曲面方程.,(2)已知方程时,研究它所表示的几何形状,(必要时需作图).,机动 目录 上页 下页 返回 结束,3,.,故所求方程为,例1.,求动点到定点,方程.,特别,当,M,0,在原点时,球面方程为,解:,设轨迹上动点为,即,依题意,距离为,R,的轨迹,表示上(下)球面.,机动 目录 上页 下页 返回 结束,4,.,例,2.,研究方程,解:,配方得,此方程表示:,说明:,如下形式的三元二次方程,(,A,0),都可通过配方研究它的图形.,其图形可能是,的曲面,.,表示,怎样,半径为,的球面.,球心为,一个,球面,或,点,或,虚轨迹,.,机动 目录 上页 下页 返回 结束,5,.,定义,2,.,一条平面曲线,二、旋转曲面,绕其平面上一条,定直线,旋转,一周,所形成的曲面叫做,旋转曲面,.,该定直线称为,旋转,轴.,例如:,机动 目录 上页 下页 返回 结束,6,.,建立,yoz,面上曲线,C,绕,z,轴旋转所成曲面,的方程:,故旋转曲面方程为,当绕,z,轴旋转时,若点,给定,yoz,面上曲线,C,:,则有,则有,该点转到,机动 目录 上页 下页 返回 结束,7,.,思考：,当曲线,C,绕,y,轴旋转时，方程如何？,机动 目录 上页 下页 返回 结束,8,.,例3.,试建立顶点在原点,旋转轴为z 轴,半顶角为,的圆锥面方程.,解,:,在,yoz,面上直线,L,的方程为,绕,z,轴旋转时,圆锥面的方程为,两边平方,机动 目录 上页 下页 返回 结束,9,.,例4.,求坐标面,xoz,上的双曲线,分别绕,x,轴和,z,轴旋转一周所生成的旋转曲面方程.,解:,绕,x,轴旋转,绕,z,轴旋转,这两种曲面都叫做,旋转双曲面,.,所成曲面方程为,所成曲面方程为,机动 目录 上页 下页 返回 结束,10,.,三、二次曲面,三元二次方程,适当选取直角坐标系可得它们的标准方程,下面仅,就几种常见标准型的特点进行介绍.,研究二次曲面特性的一种基本方法:,截痕法,其基本类型有:,椭球面、抛物面、双曲面、锥面,的图形通常为,二次曲面,.,(二次项系数不全为 0),机动 目录 上页 下页 返回 结束,11,.,1.,椭圆锥面,椭圆,在平面,x,0 或,y,0 上的截痕为过原点的两直线.,可以证明,椭圆上任一点与原点的连线均在曲面上.,(我们还可以用伸缩变形的方法来得到椭圆锥面,的形状。),机动 目录 上页 下页 返回 结束,12,.,沿着y轴方向伸缩b/a倍，,就变为椭圆,例如，把圆,类似的，把空间图形,沿着y轴方向伸缩b/a倍，,就变为椭圆锥面,那么，圆锥面,利用圆锥面（旋转曲面）的伸缩变形来得到椭圆锥面的形状，这种方法是研究曲面形状的一种较简便的方法。,13,.,2,.,椭球面,机动 目录 上页 下页 返回 结束,球面是旋转椭球面的特殊情形，旋转椭球面是椭球面的特殊情形。,把xoz面上的椭圆,绕z轴旋转，得到的,曲面称为旋转椭球面，其方程为,再把旋转椭球面沿着y轴方向伸缩b/a倍，便得到椭球面。,14,.,3.双曲面,(1)单叶双曲面,把此旋转曲面沿着y轴方向伸缩b/a倍，即得到,单叶双曲面。,绕z轴旋转，得到旋转单叶双曲面,机动 目录 上页 下页 返回 结束,15,.,(2),双叶双曲面,P18 目录 上页 下页 返回 结束,16,.,4.抛物面,(1),椭圆抛物面,(,p,q,同号),(2),双曲抛物面（鞍形曲面）,特别,当,p=q,时为绕,z,轴的旋转抛物面.,(,p,q,同号),机动 目录 上页 下页 返回 结束,用截痕法讨论它的形状。,17,.,四、柱面,引例,.,分析方程,表示怎样的曲面,.,的坐标也满足方程,解:,在,xoy,面上，,表示圆,C,沿曲线,C,平行于,z,轴的一切直线所形成的曲面,称为,圆,故在空间,过此点作,柱面.,对任意,z,平行,z,轴的直线,l,表示,圆柱面,在圆,C,上任取一点,其上所有点的坐标都满足此方程,机动 目录 上页 下页 返回 结束,18,.,定义3.,平行定直线并沿定曲线,C,移动的直线,l,形成,的轨迹叫做,柱面,.,表示,抛物柱面,母线平行于,z,轴;,准线为,xoy,面上的抛物线.,z,轴的,椭圆柱面,.,z,轴的,平面,.,表示母线平行于,(且,z,轴在平面上),表示母线平行于,C,叫做,准线,l,叫做,母线,.,机动 目录 上页 下页 返回 结束,19,.,一般地,在三维空间,柱面,柱面,平行于,x,轴;,平行于,y,轴;,平行于,z,轴;,准线,xoz,面上的曲线,l,3.,母线,柱面,准线,xoy,面上的曲线,l,1.,母线,准线,yoz,面上的曲线,l,2.,母线,机动 目录 上页 下页 返回 结束,20,.,内容小结,1.,空间曲面,三元方程,球面,旋转曲面,如,曲线,绕,z,轴的旋转曲面:,柱面,如,曲面,表示母线平行,z,轴的柱面.,又如,椭圆柱面,双曲柱面,抛物柱面等.,机动 目录 上页 下页 返回 结束,21,.,2.二次曲面,三元二次方程,椭球面,抛物面,:,椭圆抛物面,双曲抛物面,双曲面,:,单叶双曲面,双叶双曲面,椭圆锥面,:,机动 目录 上页 下页 返回 结束,22,.,斜率为1的直线,平面解析几何中,空间解析几何中,方 程,平行于,y,轴的直线,平行于,yoz,面的平面,圆心在(0,0),半径为 3 的圆,以 z 轴为中心轴的,圆柱面,平行于 z 轴的平面,思考与练习,1.,指出下列方程的图形:,机动 目录 上页 下页 返回 结束,23,.,2.,P318 题3,10,机动 目录 上页 下页 返回 结束,题10 答案:,在,xoy,面上,24,.,