第三节-二阶常系数线性微分方程的解法名师优质课获奖市赛课一等奖课件.ppt

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,本幻灯片资料仅供参考，不能作为科学依据，如有不当之处，请参考专业资料。,第三节 二阶常系数线性微分方程解法,一、二阶常系数线性微分方程解性质与通解结构,二阶常系数线性微分方程,标准形式,其中,a,b,是常数.,(1),(2),称为,二阶常系数,齐次,线性微分方程。,第1页,1,二阶常系数,齐次,线性方程解性质,回顾,一阶齐次线性,方程,1,、方程,(1)任意两个解和仍是(1)解；,2,、方程,(1)任意一个解常数倍仍是(1)解；,第2页,2,二阶常系数,齐次,线性方程解性质,1,、方程,(2),任意两个解和仍是,(2),解；,2,、方程,(2),任意一个解常数倍仍是,(2),解；,也是,(2),解.,(称,线性无关,),则上式为,(2),通解,.,定理1,(2),第3页,3,二、二阶常系数,齐次,线性方程,解法,代数方程,(3),称为微分方程,(2),特征方程,它根称为,特征根,(,或,特征值,).,(3),(2),第4页,4,故它们线性无关,所以,(2),通解为,(3),情形1,第5页,5,情形2,需要求另一个特解,第6页,6,情形3,能够证实,是,(2),解，,且线性无关，,所以方程,(2),通解为,第7页,7,小结,特征根情况,通解表示式,实根,实根,复根,第8页,8,解,特征方程为,故所求通解为,例1,例2,解,特征方程为,解得,故所求通解为,特征根为,第9页,9,解,特征方程为,故通解为,例3,特征根为,第10页,10,对应齐次方程,三、二阶常系数,非齐次,线性方程解性质及求解法,(1),(2),1,、,方程,(1),任意一个解加上方程,(2),任意一个解是,(1),解；,2,、,方程,(1),任意两个解之差是,(2),解,.,定理2,那么方程(1)通解为,第11页,11,问题归结为求方程,(1),一个特解.,只讨论,f,(,x,),两种类型.,用,待定系数法,求解.,对应齐次方程,三、二阶常系数,非齐次,线性方程解性质及求解法,(1),(2),那么方程(1)通解为,定理2,第12页,12,则,第13页,13,情形1,若,r,不是特征根,即,情形2,若,r,是特征方程单根,即,第14页,14,情形3,若,r,是特征方程,二重,根,即,第15页,15,综上讨论,设特解为,其中,第16页,16,解,对应齐次方程通解,特征方程,特征根,例4,代入原方程,得,第17页,17,解,对应齐次方程通解,特征方程,特征根,代入方程，,原方程通解为,例5,得,第18页,18,解,对应齐次方程通解,特征方程,特征根,例6,代入方程,得,第19页,19,解,对应齐次方程通解,特征方程,特征根,例6,注意：,现即,即得,这么比代入原方程要简便得多。,第20页,20,解,例7,对应齐次方程通解,特征方程,特征根,第21页,21,此时原方程通解为,第22页,22,能够证实,方程,(1),含有以下形式特解:,第23页,23,解,例8,所求,通解为,对应齐次方程通解,特征方程,特征根,代入原方程,得,第24页,24,解,例9,所求,通解为,对应齐次方程通解,特征方程,特征根,代入原方程,得,第25页,25,定理3(非齐次线性方程叠加原理),和,特解,一个特解,第26页,26,例10,解,代入得,第27页,27,解,代入得,原方程通解为,例10,第28页,28,解,例11,是对应齐次方程通解,但没有原方程特解,故(,B),也不对；,二阶非齐次线性微分方程,第29页,29,第30页,30,解,例12,求导，,原方程改写为,再求导，,第31页,31,对应齐次方程通解,特征方程,特征根,代入得,第32页,32,初始条件:,第33页,33,练习：,P394,习题九,第34页,34,