第九节-二元函数的泰勒公式名师优质课获奖市赛课一等奖课件.ppt

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,*,*,本幻灯片资料仅供参考，不能作为科学依据，如有不当之处，请参考专业资料。,*,第九节,一、二元函数泰勒公式,二、极值充分条件证实,机动 目录 上页 下页 返回 结束,二元函数泰勒公式,第九章,第1页,一、二元函数泰勒公式,一元函数,泰勒公式:,推广,多元函数泰勒公式,机动 目录 上页 下页 返回 结束,第2页,记号,(设下面包括偏导数连续):,普通地,机动 目录 上页 下页 返回 结束,表示,表示,第3页,定理1,.,某一邻域内有直,到,n,+1 阶连续偏导数,为此邻域内任,一点,则有,其中,称为,f,在点(,x,0,y,0,),n,阶泰勒公式,称为其,拉格,朗日型余项,.,机动 目录 上页 下页 返回 结束,第4页,证,:,令,则,利用多元复合函数求导法则可得:,机动 目录 上页 下页 返回 结束,第5页,普通地,由,麦克劳林公式,得,将前述导数公式代入即得二元函数泰勒公式.,机动 目录 上页 下页 返回 结束,第6页,说明,:,(1)余项预计式.,因,f,各,n,+1 阶偏导数连续,在某闭,邻域其绝对值必有上界,M,则有,机动 目录 上页 下页 返回 结束,第7页,(2)当,n,=0 时,得二元函数拉格朗日中值公式:,(3)若函数,在区域,D,上两个一阶偏导数,恒为零,由中值公式可知在该区域上,机动 目录 上页 下页 返回 结束,第8页,例1.,求函数,解:,三阶泰,勒公式.,所以,机动 目录 上页 下页 返回 结束,第9页,其中,机动 目录 上页 下页 返回 结束,第10页,时,含有极值,二、极值充分条件证实,某邻域内含有一阶和二阶连续偏导数,且,令,则:1)当,A 0 时取极小值.,2)当,3)当,时,没有极值.,时,不能确定,需另行讨论.,若函数,定理2,(充分条件),机动 目录 上页 下页 返回 结束,第11页,证:,由二元函数泰勒公式,并注意,则有,所以,机动 目录 上页 下页 返回 结束,第12页,其中,是当,h,0,k,0 时无穷小量,于是,(1)当,AC,B,2,0,时,必有,A,0,且,A,与,C,同号,可见,从而,z,0,所以,机动 目录 上页 下页 返回 结束,第13页,从而,z,0,(2)当,AC,B,2,0,时,若,A,C,不全为零,无妨设,A,0,则,时,有,异号;,同号.,可见,z,在(,x,0,y,0,)邻近有正有负,机动 目录 上页 下页 返回 结束,第14页,+,+,若,AC,0,则必有,B,0,不妨设,B,0,此时,可见,z,在(,x,0,y,0,)邻近有正有负,(3)当,AC,B,2,0,时,若,A,0,则,若,A,0,则,B,0,为零或非零,机动 目录 上页 下页 返回 结束,第15页,此时,所以,作业,P124 1,3,4,5,第十节 目录 上页 下页 返回 结束,不能断定(,x,0,y,0,)是否为极值点.,第16页,