热传导方程和定解条件.ppt

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,1.2,热传导方程与定解条件,热传导现象,：,一、下面先从物理,G,内的热传导问题出发来导出热传导方程。,为此，我们用函数,如果空间某物体,G,内各处的温度,不同，则热量就从温度较高的点处向温度较,低的点流动。,表示物体,G,在位置,处及时刻,的温度。,1,热的传播,按傅立叶（,Fourier,）实验定律,进行：,物体在无穷小时段,内流过一个无穷小面积,的热量,与物体温度沿曲面,法线方向,的方向导数,成正比，而热流方向与温度升高的,其中,称为物体在点,处的热传导,系数，为正值,.,当物体为均匀且各向同性时，,为常数，,为曲面,沿热流方向的法线,.,方向相反，即,2,为了导出温度,所满足的方程,在物体,G,内任取,一闭曲面,它所包围的区域记作,则从时刻,到时刻,经过曲面,流入区域,的热量为,其中,表示,对曲面的外法向导数,.,3,流入的热量使区域,内部的温度发生变化,在时间间隔,中物理温度从,变化到,所需要的热量为,其中,为物体的比热,为物体的密度,.,如果所考察的物体内部没有热源,由于,热量守恒,4,先对,进行变形,利用奥,-,高,(Gauss),公式,设函数,关于变量,具有二阶连续偏导数,关于变量,具有一阶连续偏导数,可化为,5,而,可化为,因此由,移项即得,（利用牛顿,-,莱布尼兹公式）,6,由于,与区域,都是任意取的,并且被积函数,是连续的,于是得,上式称为,非均匀,的各向同性体的,热传导方程,.,如果物体是,均匀,的,此时,为常数,记,则得,齐次热传导方程,7,如果所考察的物体内部有热源,(,例如物体中通有,电流,或有化学反应等情况,),设热源密度,(,单位时,间内单位体积所产生的热量,),为,则在时间间隔,中区域,内所产生的热量为,同样由于热量要平衡,8,其中,非齐次热传导方程,相对应的一维、二维热传导方程可类似写出。,9,二、定解条件,初始条件：,表示初始时刻物体内温度的分布情况,其中,为已知函数。,1,、,第一类边界条件,（狄利克雷,Dirichlet,）,设所考察的物体,G,的边界曲面为,S,，已知物体,表面温度函数为,即,10,2,、,第二类边界条件,（诺伊曼,Neumann,）,特别地，如果物体表面上各点的,热流量为,0,绝热性边界条件,已知物体表面上各点的热流量,也就是说在,单位时间内流过单位面积的热量是已知的，,其中,由,傅里叶实验定律,可知,是定义在边界曲面,S,，且,上的已知函数,.,则相应的边界条件为,11,1.3,拉普拉斯方程与定解条件,1.,三维拉普拉斯,(Laplace),方程,(1),凡具有二阶连续偏导数并满足方程,(1),的连续函数为,调和函数,.,(,调和方程,),方程,(1),通常表示成,或,拉普拉斯方程描述的是稳定状态下物理量的分布规律,.,12,2.,泊松方程,(,非齐次的拉普拉斯方程,),(2),方程,(2),通常表示成,或,3.,拉普拉斯方程的边值问题,第一边值问题,(,狄氏问题,),13,在空间某一区域,的边界,上给定了连续函数,要求函数,在闭区域,上连续且在,内,调和,在边界,上与给定的函数,重合,即,第二边值问题,(,诺伊曼问题,),在空间某一区域,的边界,上给定了连续函数,要求函数,在闭区域,上连续且在,内,调和,在边界,上法向导数,存在,且有,其中,n,是外法线方向,.,14,1.4,基本概念与基本知识,1.,古典解,:,如果一个函数具有某偏微分方程中所,需要的各阶连续偏导数,且满足该方程,.,2.,自由项,:,偏微分方程中不含有未知函数及其,各阶偏导数的项,.,例如,:,齐次偏微分方程,(,自由项为,0),非齐次偏微分方程,(,自由项不为,0),15,3.,叠加原理,考察二阶线性偏微分方程,其中,都是某区域上,的已知函数,.,叠加原理,设,是方程,(1),中第,i,个方程的解,(1),16,如果级数,(2),收敛,其中,为任意常数,并且它还能够逐项,微分两次,则级数,(2),是,下方程的解,特别地,当方程,(1),中的自由项,时,则得相应的,齐次方程为,若,是方程,(3),的解,则级数,(2),也是方程,(3),(3),的解,.,17,三角函数系,在,上正交。,4.,傅里叶,(Fourier),级数,18,补充：,三角函数,积化和差,公式,19,4.,傅里叶,(Fourier),级数,设周期为,的函数,可展开成傅里叶级数,则,(4),其中傅里叶系数,满足,(5),20,当,为,奇函数,时,当,为,偶函数,时,(6),(7),21,4.,两个自变量的二阶微分方程的分类,一般的二阶线性偏微分方程具有如下的形状,(8),其中,等都是自变量,在区域,上的实函数，并假定他们是连续可微的。,若在区域,上每点,则称方程,(8),在每点,为,双曲型,的；那么也,则称方程,(8),在区域内是,双曲型,的。,22,若在区域,上每点,则称方程,(8),在每点,为,椭圆型,的；那么也,则称方程,(8),在区域内是,椭圆型,的。,若在区域,上每点,则称方程,(8),在每点,为,抛物型,的；那么也,则称方程,(8),在区域内是,抛物型,的。,23,例如：,双曲型,抛物型,椭圆型,24,