辅助圆-(解题精讲.doc

辅助圆 (解题精讲
第二十五讲 辅助圆
在处理平面几何中的许多问题时，常需要借助于圆的性质，问题才得以解决．
而我们需要的圆并不存在(有时题设中没有涉与圆；有时虽然题设涉与圆，但是此圆并不是我们需要用的圆)，这就需要我们利用已知条件，借助图形把需要的实际存在的圆找出来，添补辅助圆的常见方法 1．利用圆的定义添补辅助圆； 2．作三角形的外接圆；
3．运用四点共圆的判定方法：(1)若一个四边形的一组对角互补，则它的四个顶点共圆．
(2)同底同侧张等角的三角形，各顶点共圆．
(3)若四边形ABCD的对角线相交于P，且PA·PC=PB·PD，则它的四个顶点共圆．
(4)若四边形ABCD的一组对边AB、DC的延长线相交于P，且PA·PB＝PC·PD，则它的四个顶点共圆．
【例题求解】
一·利用圆的定义添加辅助圆
【例1】 如图，若PA=PB，∠APB=2∠ACB，AC与PB交于点P，且PB=4，PD=3，则AD·DC等于( )
A．6 B．7 C．12 D．16
思路点拨 作出以P点为圆心、PA长为半径的圆，为相交弦定理的应用创设了条件．

注：到一个定点等距离的几个点在同一个圆上，这是利用圆的定义添辅助圆的最基本方法．
变式练习：如图，已知OA=OB=OC，且∠AOB=∠BOC，则∠ACB是∠BAC的( )
A．倍 B．是倍 C． D．

二·作三角形的外接圆
【例2】 如图，在△ABC中，AB=AC，任意延长CA到P，再延长AB到Q，使AP=BQ，求证：△ABC的外心O与A，P，Q四点共圆．
思路点拨 先作出△ABC的外心O，连PO、OQ，将问题转化为证明角相等．

变式练习：
5．如图，在等腰梯形ABCD中，AB∥CD，AB=998，CD=1001，AD=1999，点P在线段AD上，满足条件的∠BPC=90°的点P的个数为( )
A．0 B．1 C．2 1 D．不小于3的整数
(全国初中数学联赛题)

三·四点共圆
1·若有一个四边形对角互补，则四边形的四个顶点四点共圆。
【例3】如图；已知H是△ABC三条高的交点，连结DF，DE，EF，求证：H是△DEF的内心．

变式练习：如图，直线AB和AC与⊙O分别相切于B、C，P为圆上一点，P到AB、AC的距离分别为4cm、6cm，那么P到BC的距离为 ．
(全国初中数学联赛题)
思路点拨 连DF，EF，寻找PD、PE、PF之间的关系，证明△PDF∽△PFE，而发现P、D、B、F与P、E、C、F分别共圆，突破角是解题的关键．

注：圆具有丰富的性质：(1)圆的对称性；
(2)等圆或同圆中不同名称量的转化；
(3)与圆相关的角；(4)圆中比例线段．
适当发现并添出辅助圆，就为圆的丰富性质的运用创造了条件，由于图形的复杂性，有时在图中并不需画出圆，可谓“图中无圆，心中有圆”．
2·同底同侧有相等顶角的三角形，则各顶点四点共圆（若能证明其两顶角为直角，即可肯定这四个点共圆，且斜边上两点连线为该圆直径。）
【例4】如图，在△ABC中，高BE、CF相交于H，且∠BHC=135°，G为△ABC内的一点，且GB=GC，∠BGC＝3∠A，连结HG，求证：HG平分∠BHF．
思路点拨 经计算可得∠A=45°，△ABE，△BFH皆为等腰直角三角形，只需证∠GHB=∠GHF=22.5°．
由∠BGC=3∠A=135°=∠GHC，得B、G、H、C四点共圆，运用圆中角转化灵活的特点证明．

注：许多直线形问题借助辅助圆，常能降低问题的难度，使问题获得简解、巧解或新解．
变式练习：已知等腰三角形ABC，AB=AC，AD垂直BC于D，DE垂直AC于E，F是DE中点，求证：AF垂直于BE。
3把被证共圆的四点两两连成相交的两条线段，若能证明它们各自被交点分成的两线段之积相等，即可肯定这四点共圆；
【例5】如图，P是⊙O外一点，PA和PB是⊙O的切线，A，B为切点，P O与AB交于点M，过M任作⊙O的弦CD．求证：∠CPO=∠DPO．

4把被证共圆的四点两两连结并延长相交的两线段，若能证明自交点至一线段两个端点所成的两线段之积等于自交点至另一线段两端点所成的两线段之积，即可肯定这四点也共圆．
【例6】如图，P是⊙O外一点，PA切⊙O于A，PBC是⊙O的割线，AD⊥PO于D．求证：．
思路点拨 因所证比例线段不是对应边，故不能通过判定△PBD与△PCD相似证明．PA2=PD·PO=PB·PC，B、C、O、D共圆，这样连OB，就得多对相似三角形，以此达到证明的目的．

注：四点共圆既是一类问题，又是平面几何中一个重要的证明方法，它和证明三角形全等和相似三角形有着同等重要的地位，这是因为，某四点共圆，不但与这四点相联系的条件集中或转移，而且可直接运．用圆的性质为解题服务．
5五点共圆（7456）
【例7】如图，已知在凸四边形ABCDE中，∠BAE=3，BC=CD=DE，且∠BCD=∠CDE=．求证：∠BAC=∠CAD=∠DAK，
(全国初中数学联赛题)

课外训练
A组
1．如图，正方形ABCD的中心为O，面积为1989cm2，P为正方形内一点，且∠OPB=45°，PA：PB=5：14，则PB的长为 ．
2．如图，在△ABC中，AB=AC=2，BC边上有100个不同的点Pl、P2，…P100，记（i=1，2，…100），则= ．
3．设△ABC三边上的高分别为AD、BE、CF，且其垂心H不与任一顶点重合，则由点A、B、C、D、E、F、H中某四点可以确定的圆共有( )
A．3个 B．4个 C．5个 D．6个
(2000年太原市竞赛题)

6．如图，AD、BE是锐角三角形的两条高，S△ABC= 18，S△DEC=2，则COSC等于( )
A．3 B． C． D．
8．如图，已知△ABC中，AH是高，AT是角平分线，且TD⊥AB，TE⊥AC．
求证：(1)∠AHD=∠AHE；(2) (陕西省竞赛题)

1在凸四边形ABCD的BC边上取两点E,F，E比F离B更近，如果∠BAE=CDF∠EAF=∠FDE证明：∠FAC=∠EDB

2如图在ABC中，AB=AC，D是BC边上任意一点是C点关于直线AD的对称点，B与AD交与P试问当D在BC（除BC中点外）上运动时，AD·AP的值有何变化？请加以证明。
3等边ABC中，D，E分别是BC,CA边上的点，且BD=CE=CD.连接BE，CD交于P，证明：CP垂直AD。

4如图,NS是O的直径，弦AB垂直NS于M，P为弧ANB上异于N的一点，PS交AB与R，PM的延长线交O与Q，求证：RS>MQ

C组
1．如图，已知点P是⊙O外一点，PS、PT是⊙O的两条切线，过点P作⊙O的割线PAB，交⊙O A、B两点，与ST交于点C．求证：
(国家理科实验班招生试题)

2．已知BE,CF是锐角ABC的两条高，求证：ABE的平分线，ACF的平分线与线段EF的中垂线相交于一点。

3已知三角形ABC中，ABC<ACB，BD,CE是角平分线，求证：CE<BD

4 ABC中，M为AC的中点，BHAC于H，AP,CQ垂直于B的平分线，垂足为P,Q求证：M,H,P,Q四点共圆。

参考答案
例1 B
练习1 D
例2

练习2 C
例3
练习3
例4

练习4

例5

例6

例7

课外练习
A组：
6.D
B组：
1

2

3

4

C组
1
2

3

4
证明：如图，不妨设BAC≥CBA，P在BQ上，延长AP交BC于D，依题设，A、D关于BQ对称，P为AD为中点，又M为AC中点，故PM平行BC，QPM=QBC, 因 BHHC，BQQC，故B、C、Q、H四点共圆，于是QHC=QBC=QPM,，可知H、M、P、Q四点共圆。
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