第章-机械振动与机械波.doc

第章 机械振动与机械波
第3章 机械振动与机械波
3-1判断下列运动是否为简谐振动？
（1） 小球沿半径很大的水平光滑圆轨道底部小幅度摆动；
（2） 活塞的往复运动；
（3） 质点的运动方程为
（4） 质点的运动方程为
（5） 质点摆动角度的微分方程为
答：（1）是简谐振动，类似于单摆运动；
（2）不是简谐振动；
（3）是简谐振动，为同频率、同振动方向的两个简谐振动的合成；
（4）不是简谐振动，为不同频率、同振动方向的两个简谐振动的合成；
（5）不是简谐振动。

3-2物体沿x轴作简谐振动，振幅A=0.12，周期T=2。当时，物体的位移x=0.06，且向x轴正方向运动。
求：(1)此简谐振动的表达式；
(2)时物体的位置、速度和加速度；
(3)物体从向轴负方向运动第一次回到平衡位置所需的时间。

解：（1）设此简谐振动的表达式为：，
则振动速度,
振动加速度
由题意可知：m，s，则(rad/s)
又因为时m且，把初始运动状态代入有：
，则
又因为时，所以时
故此简谐振动的表达式为： m
(2) 把代入简谐振动表达式：
（m）
把代入简谐振动速度表达式：
(m/s)
把代入简谐振动加速度表达式：
(m/s2)
(3) 由旋转矢量法可知，物体在向轴负方向运动时，相位为，而物体从向轴负方向运动第一次回到平衡位置时，相位为，
旋转的角度，
则所需的时间为：=0.83(s)

k2
v
习题3-3 图
3-3 如图示，质量为的子弹以速度水平射入木块，并陷入木块中，使弹簧压缩而作简谐振动。设弹簧的劲度系数，木块的质量为，桌面摩擦不计，试求：（1）振动的振幅；（2）振动方程。

解：（1）子弹进入木块后，与木块一起做简谐振动，子弹与木块的作用时间短，在水平方向动量守恒且弹簧没有形变，设子弹进入木块后木块的位置为坐标原点，水平向右的方向为正方向，子弹进入木块后与木块的共同速度为，则，，代入数据得：(m/s)，
子弹与木块相互作用时，弹簧没有形变，即该简谐振动的初始位置，弹簧简谐振动的圆频率，代入数据得：(rad/s)，
所以代入数据得：m。
(2) 由时，且向X轴的正方向运动，所以，
所以振动方程为： m

3－4一重为p的物体用两根弹簧竖直悬挂，如图所示，各弹簧的劲度系数标明在图上。试求图示两种情况下，系统沿竖直方向振动的固有频率。
解：a图中两弹簧是串联的，总劲度系数， 弹簧振子的固有频率为。
b图中两弹簧是并联的，总劲度系数，弹簧振子的固有频率为。

C
R
mg
θ
O
3-5 一匀质细圆环质量为，半径为，绕通过环上一点而与环平面垂直的水平轴在铅垂面内作小幅度摆动，求摆动的周期。
解：设转动轴与细圆环的交点为坐标原点，过原点的竖直轴为Y轴，由转动轴定理可知，该圆环的小幅度摆动的平衡位置为圆环的质心在Y轴时，由平行轴定理可知，圆环对通过环上一点而与环平面垂直的水平轴的转动惯量为：

把圆环沿逆时针方向拉离平衡位置转动，则圆环对转轴的重力矩为，方向为增大的反方向，由转动轴定理：，
即，
由于环做小幅度摆动，所以sinθ≈θ，可得微分方程，
摆动的圆频率为：，
周期为：

3-6． 横截面均匀的光滑的U型管中有适量液体如图所示，液体的总长度为L，求液面上下微小起伏的自由振动的圆频率。
解：如图所示建立坐标，两边液面登高时为坐标原点，向上为Y轴正方向，左边液面上升y，则右边液面下降y，U型管的横截面面积为，液体的密度为，则左右液面的压力差为：，方向为Y轴的负方向，由牛顿第二定律：可知，
，即，
故液面上下微小起伏的运动为简谐振动，其振动的圆频率

3-7 如图一细杆AB一端在水平槽中自由滑动，另一端与连接圆盘上，圆盘转轴通过o点且垂直圆盘和OX轴，当圆盘以角速度做匀速圆周运动时，写出槽中棒端点B的振动方程，自行设计参数，利用mathematica软件或matlab软件画出振动图线。

解：在óAOB中，AB长度不变，设为l，圆半径OA不变设为R，OA与OB的夹角设为，则B点的坐标x满足关系式：

上式表明，x是时间t的周期函数，但不是谐振动函数。
取,画图如下。

3-8质量为kg的小球与轻弹簧组成的系统，按的规律作振动，式中以秒计，以米计。求：
（1）振动的圆频率、周期、振幅、初位相；
（2）振动的速度、加速度的最大值；
（3）最大回复力、振动能量、平均动能和平均势能；
画出这振动的旋转矢量图，并在图中指明、2、10等各时刻的矢量位置。
解：（1）由振动的运动学方程可知：振幅m，圆频率rad/s，周期(s)，初相位。
（2）振动的速度：，振动速度的最大值为：(m/s)，
振动的加速度：，振动加速度的最大值为：(m/s2)
（3）最大回复力：(N)，
振动能量：(J)
平均动能和平均势能：(J)

3-9 质量为的物体，在弹性力作用下作简谐振动，劲度系数，如果开始振动时具有势能和动能，求：
（1） 振幅多大？经过平衡位置的速度。
（2） 位移为多大时，动能恰等于势能？

解：（1）简谐振动能量守恒，其总能等于任意时刻的动能与势能之和，即，所以振幅(m)，
在平衡位置时，弹簧为原长（假设弹簧座水平方向谐振动），此时只有动能，即(J)，所以速度(m/s).
（2）要使(J)，即(J)，则位移(m)。

3-10 两个质点平行于同一直线并排作同频率、同振幅简谐振动。在振动过程中，每当它们经过振幅一半的地方时相遇，而运动方向相反。求它们的位相差，并作旋转矢量图表示之。

解：设它们的振动方程为，
O
x
A
当时，可得位相为．
由于它们在相遇时反相，可取
，
它们的相差为，
同理当时，可得位相为，它们的相差为

矢量图如图所示．

3-11 已知两个同方向简谐振动如下：
，
（1） 求它们合成振动的振幅和初位相；
（2） 另有一同方向简谐振动，问为何值时，的振幅为最大？为何值时，的振幅为最小？为何值时，的振幅最小？

解：（1）由同频率、同方向的简谐振动合成可知：，，其中m，m，，，，所以它们的合振动振幅为：m，
它们合振动的初相位：。
（2）由同频率、同方向的简谐振动合成可知，同相位振动，其合成振幅最大；反相位振动，其合成振幅最小。所以要使的振幅为最大，则；要使的振幅为最小，则时；要使的振幅最小，则。

3-12 三个同方向，同频率的简谐振动为,
,
求：（1）合振动的圆频率、振幅、初相与振动表达式；（2）合振动由初始位置运动到所需最短时间（为合振动振幅）。
解：（1）合振动的圆频率为(rad/s)，
(m)，根据公式得

(m）
合振幅为：= 0.16(m)，
初位相为：。
合振动的方程为：
（2）当时，可得，
解得或
由于，所以只能取第二个解，可得所需最短时间为t = 0.0125(s)

3－13 将频率为的标准音叉振动和一待测频率的音叉合成，测得拍频为，在待测音叉的一端加上一小块物体，则拍频将减小，求待测音叉的固有频率。

ν
ν0
ν1
ν2
ν`1
ν`2
Δν
Δν
解：标准音叉的频率为：(Hz)，
拍频为：(Hz)，
待测音叉的固有频率可能是：(Hz)，
也可能是：(Hz)。
在待测音叉上加一小块物体时，相当于弹簧振子增加了质量，由于，可知其频率将减小．如果待测音叉的固有频率，加一小块物体后，其频率将更低，与标准音叉的拍频将增加；实际上拍频是减小的，所以待测音叉的固有频率，即387Hz。

3-14 火车提速是社会发展的必然趋势。假如你是火车提速的决策者之一，试问：从物理学角度，你会考虑哪些问题？
答：铁轨的抗震能力、铁轨与火车共振时铁轨的耐压力等。

3-15 说明以下几组概念的区别和联系：
(1) 振动和波动；
（2）振动曲线和波动曲线；
（3）振动速度和波动速度；

解：（1）振动是物体在平衡位置做往复运动；波动是振动在介质中的传播；
（2）振动曲线表示的是物体运动的位移随时间函数关系，用曲线表示；波动曲线表示的某一时刻不同质元离开平衡位置的位移，用曲线表示。
（3）振动速度是描述物体运动的快慢，用表示；波动速度表示振动传播的的快慢，与介质和波的类型有关。

3-16 已知一波的波函数为()
（1）求波长、频率、波速与传播方向；
（2）说明时波函数的意义,并作图表示。

解： （1）与波函数的标准方程进行对比可知：
波长(m)，
t/s
y/cm
5
0
0.1
0.2
0.3
频率(Hz)，
波速(m)，
传播方向沿X轴的正方向。
（2）当时波动方程就成为该处质点的振动方程：
，
振动曲线如图
3-17 已知波的波函数为（SI）
（1）写出时各波峰位置的坐标表示式，并计算此时离原点最近的波峰的位置，该波峰何时通过原点？
（2）画出时的波形曲线。
解：（1）波峰位置时，，则时，波峰位置的坐标为：；当时，为离原点最近的波峰位置。
由波函数为可知波速为m/s，则该波从坐标原点传播到所用时间为(s)，该波峰在s时通过坐标原点。
（2），该波动函数为：
A
-A

u
0.15 555555555555
O
x/m
y/m

3-18 一平面波在介质中以速度 m·s-1沿负方向传播。已知在传播路径上的某点的振动方程为。

（1）如以点为坐标原点，写出波函数；
（2）如以距点5米处的点为坐标原点，写出波函数；
（3）计算B、C两点振动的相差。

解：（1）以A点为坐标原点，波动方程为：
。
（2）以B点为坐标原点，波动方程为：
。
（3）以A点为坐标原点，则m、m，、两点的振动方程分别为
，，
则、两点的振动的相差为：。

3-19 一列简谐波沿轴正向传播，在，时刻的波形如图所示。试求：
(1)点的振动表达式；
(2)波动表达式；
(3)画出点的振动曲线。

解：（1）设P点的振动方程为：
由题设可知：振幅m，波长m，
由、时刻的波形图，可知该波在s内，波向右传播了，则可知该波的周期s，波速m/s，波的圆频率rad/s。
当时，，即，
由于波沿x轴正向传播，所以P点在此时向上运动，速度大于零，所以
P点的振动表达式为：
（2）P点的位置是m，所以波动方程为：
t/s
y/m
0.2
O
0.5
1
．
（3）在x = 0处的振动方程为：
曲线如图所示．

3-20一平面简谐波沿X轴正向传播，其振幅、圆频率分别为A和ω，波速为U，设t＝0时的波形曲线如图所示。
（1）写出波函数
⑵ 求距0点分别为λ/8，和3λ/8两处质点在t＝0时的振动速度。

解：（1）设该波的波函数为：，
由时刻的波形图可知，且向下振动，故，
所以波函数为：
（2）振动速度：，
把、和、分别代入振动速度表达式，则有：
，

3-21 一平面简谐波沿X轴正向传播，其振幅A=10cm，波的圆频率ω=7πrad·s-1，当t=1.0s时，x=10cm处的a质点正通过其平衡位置向Y轴负方向运动，而x=20cm处的B质点正通过Y=5.0cm点向Y轴正方向运动。设该波的波长λ＞10cm，求该平面波的表达式。

解：由题意和旋转矢量法可知在s时，质点的相位为，质点相位为，、两质点为相差为，
所以该波的波长：，即cm，
设该平面波的的表达式为：，
因为s时，质点的相位为，所以，
所以该平面波的的表达式为：

3-22 一简谐波沿正向传播，波长，周期，已知处质点的振动曲线如图所示。
（1）写出处质点的振动方程；
（2）写出波的表达式；
（3）画出时刻的波形曲线。
解：（1）设处的质点的振动方程为：
，其中，．
由振动曲线图可知，当时，，因此，
且时，处质点向下振动，即，所以
x/m
y/m
1
O
-1
0.5
u
2/3
所以处的质点的振动方程为：。
（2）波的表达式为：
．
（3）时刻的波形方程为：，
波形曲线如图所示．

3-23 比较简谐振动能量与简谐波波动能量特征，若简谐波传播时某体积元的的动能为0.2J,则势能多少？总能量多少？

答：简谐振动的能量守恒，即振动的动能与势能的代数和不变；而简谐波传播时某体积元的动能与势能总是相等，，固当某质元的动能为时，其势能也为，其总能为动能与势能的代数和，即。

3-24 一平面简谐声波在空气中传播，波速，频率为。到达人耳时，振幅，试求人耳接收到声波的声强的大小？此时声强相当于多少分贝？已知空气密度。
解：质点的圆频率为：(rad/s)，
声波的平均能量密度为：(J/m3)，
平均能流密度为：(W/m2)，
标准声强为：(W/m2)，
此声强的分贝数为：(dB)。

3-25 与为两相干波源，光强均为I0,相距波长，比的位相超前。问、连线上在外侧各点的合成波的光强如何？又在外侧各点的光强如何？
x
S1
x
S2
λ/4
x
解：

合成波的光强正比于振幅的平方，即
如图所示，设S1在其左侧产生的波的波动方程为：
，
那么S2在S1左侧产生的波的波动方程为：
，
由于两波源在任意点x产生振动反相，所以合振幅为零，所以合成波的光强为0。
S1在S2右侧产生的波的波动方程为：，
那么S2在其右侧产生的波的波动方程为：
，
由于两波源在任意点x产生振动同相，所以合振幅为单一振动的两倍，
所以合成波的光强为。

3-26 简述驻波的形成条件和特点（提示：突出驻的含义）；查找资料，探索驻波在本专业的应用有哪些？
答：在同一介质中两列振幅相同的相干波，沿同一直线相向传播时，产生特殊的干涉现象，叠加形成的波叫驻波。驻波没有波形和能量的传播，其实质为各质元做振幅不等的简谐振动，振幅最大的质元位置为波腹，振幅最小的质元位置为波节，波腹只有动能，波节只有势能，能量只在相邻波节与波腹间相互转化。

3-27 一条琴弦上产生驻波，相邻节点间的距离为65cm，弦的振动频率为，求波的传播速度和波长。
解：相邻波节之间的距离为，所以波长(cm)，
波速：(m/s)
3-28 两波在一很长的弦线上传播，设其表达式为
，
用厘米、克、秒（cm、g、s）制单位，求：
（1）各波的频率、波长、波速；（2）节点的位置；
（3）在哪些位置上，振幅最大？
解：（1）对比波函数的标准形式：可知，
波的频率：(Hz)；波长：(cm)；波速：(cm/s)。
（2）驻波方程为：
波节位置为：，则(cm), 其中
（3）振幅最大的位置即为波腹位置：，则(cm)， 其中

3- 29 海面上波浪的波长为120m，周期为10s。一只快艇以24m/s的速度迎浪开行，它橦击海浪的频率是多大？多长时间橦击一次？如果它顺浪开行，它橦击海浪的频率又是多大？多长时间橦击一次？
解：海浪的波速：(m/s)，
海浪的频率：(Hz)，
快艇迎浪开行，则撞击海浪的频率为：(Hz)，
撞击间隔：(s)；
快艇顺浪开行，则撞击海浪的频率为：(Hz)，
撞击间隔：(s)；
3-30 一声源的频率为1080Hz，相对地面以30m·s-1速率向右运动。在其右方有一反射面相对地面以的速率向左运行。设空气中声速为。求：
（1）声源在空气中发出的声音的波长；
（2）反射回的声音的频率和波长。

解：（1）声音在声源垂直方向的波长为：(m)，
在声源前方的波长为：(m)，
在声源后方的波长为：(m)。
（2）反射面接收到的频率为：= 1421(Hz)．
将反射面作为波源，其频率为，反射声音的频率为
= 1768(Hz)．
反射声音的波长为：=0.1872(m)。
3-31 动脉内血液的流速一般是0.32m/s，今沿血流方向发射4.0MHz的超声波，该红血球反射的回波振动与原发波振动所形成的拍频是多少？已知声波在人体内的传播速度为。
解：红血球接收到的超声波频率为：(Hz)
红血球作为反射源反射回的超声波频率为：

(Hz)
拍频：（(Hz)

19 / 19