北师大版数学八上一次函数的知识点及例题(精华).doc

【函数与变量】
在一个变化过程中，我们称数值发生变化的量为变量，有些量的数值是始终不变的，我们称它为常量，如圆的面积，S与r是变量，是常量
注意：在某一变化过程中，变量、常量都可能有多个。常量可以是一个实数，也可以是一个代数式（数值始终保持不变）
【函数的概念】
一般地，设在一个变化过程中有两个变量x和y，并且对于x在它允许取值范围内的每一个值，y都有唯一的值与它对应，那么就说x是自变量，y是x的函数。（实际上，函数说的就是y是怎么样随着x的变化而变化的，也可以管y叫x的变化规律）
对函数概念的理解：
（1）有两个变量
（2）一个变量的数值随着另一个变量的变化而变化
（3）自变量每确定一个值，函数有一个并且只有一个值与之对应（或多个x的值可以对应一个y 值但不能一个x值对应多个y值，如y=x2和x2=y）
(4) 我们习惯上设y为函数，但不表示其它字母不可以作为函数，如s=vt x=6y
(5)我们在写函数的时候把函数写在等号的左边，把自变量写在等号的右边例：y=2x-1
例：下列变量之间的关系不是函数关系的是（ ）
A、长方形的宽一定，其长与面积 B、正方形的周长与面积
C、等腰三角形的底边与面积 D、球的体积与球的半径
【函数的表示方法】
（1）列表法：通过列出自变量的值与对应函数值的表格来表示函数关系的方法叫列表法。
优点：能明显地呈现出自变量与对应的函数值
缺点：只能列出部分自变量与函数的对应值，难以从表格中看出自变量与函数之间的对应规律
（2）解析法：用数学式子表示函数的方法叫解析法。
优点：简明扼要，规范准确，便于分析推导函数的性质
缺点：有些函数关系，不能用解析式表示
（3）图像法：对于一个函数，把自变量与函数的每组对应值作为点的横纵坐标在直角坐标系中画出来 ，由这些点组成的图形叫这个的图像
优点：形象直观，能清晰呈现函数的一些性质
缺点：所画的图像是近似的，局部的，从图像上观察的结果也是近似的
【函数图像的意义】
一般地，对于一个函数，如果把自变量与函数的每对对应值分别作为点的横坐标与纵坐标，那么坐标平面内由这些点组成的图形就是函数的图像。
如：某同学在几个月份的考试中；月份和考试成绩的关系用图形表示出来
注意：（1）函数图像上任意一点P（x,y）中的x和y满足函数关系式，反之，满足函数关系式的任意一对x和y的值组成的点（x,y）一定在函数的图像上
（2）判断点P（x,y）是否在函数图像上的方法是：将点的坐标（x,y）代入函数关系式，如果满足函数关系式，则这个点就在函数图像上，否则这个点就不在函数图像上。
例：已知点（2，7）在函数的图像上，求a的值，并判断点（4，12）是否在该函数的图像上
【画函数图像的步骤】1、列表2、描点3、连线。如：请在坐标系中画出y=x，y=x+1，y=x-1，y=x+2的图像
【自变量取值范围】
（1）自变量的取值必须使含自变量的代数式都有意义。
在初中范围内没有意义的三种情况是（1）（2）0作分母（3）根号下为负
（2）整式：其自变量的取值范围是全体实数。
分式：其自变量的取值范围是使得分母不为0的实数
二次根式下含自变量：其自变量的取值范围是使得被开方式为非负的实数。如中
（3）自变量的取值范围可以是有限的或无限的，也可以是几个数或单独的一个数。如在中x的取取值范围只能是x=1
（4）当函数解析式表示实际问题时，自变量的取值必须使实际问题有意义。例如：中，r表示圆的半径时，r>0
例：下列函数中，自变量x的取值范围是x>2的是
A、 B、 C、 D、
【函数值】
（1）对于自变量在取值范围内的一个确定的值，如当x=a时，函数有唯一确定的对应值，这个对应值，叫做当x=a时的函数值，即函数值
（2）当已知解析式时，求函数值就是求代数式的值：当已知函数解析式，给出函数值，求相应的自变量的值时就是解方程
例1：已知y=3x-1，求（1）当x取1，-1时的函数值（2）当时x的值

例2：已知水池中600m3的水，每小时会抽出50m3，（1）写出剩余水量的体积V（m3）与时间t（h）之间的函数关系式；（2）8h以后，池中还有多少水？（3）多长时间后，池中还有100m3的水？

练习：
1、请写出下列关系式，并指出哪些量是常量，哪些量是变量
（1）设圆柱的底面半么R不变，圆柱的体积V与圆柱的高h的关系式是
（2）由实验测得某一弹簧的长度y(cm)与悬挂物体的质量x(kg)之间有如下关系y=—12+0.5
2、

一次函数
一般的，形如y=kx(k是常数，k0)的函数叫做正比例函数，其中k叫做比例系数
一般的，形如y=kx+b(k是常数，k0)的函数叫做一次函数。其中当b＝0时y=kx，所以正比例函数是一种特殊的一次函数。将直线y=kx向上或向下平移b个单位就会得到y=kx+b。（其中当b>0时,向上平移，b<0时向下平移）
一次函数y=kx+b(k0)中k、b的意义
函数
图像
性质

y=kx+b
(k,b为常数,
且(k0)
经过象限
变化规律
k>0

b>0

一、二、三象限
y随x的增大而增大
b=0

原点及一、三象限
b<0

一、三、四象限
k<0
b>0

一、二、四象限
y随x的增大而减小
b=0

原点及二、四象限
b<0

二、三、四象限
k表示直线y=kx+b(k0)向上的方向与x轴正方向夹角的大小，即直线倾斜的程度；

b表示直线y=kx+b（k0）与y轴交点的纵坐标

一次函数Y=kx+bk0的图象，当b>0时，图象与y轴的交点在x轴的上方；
当b<0时，图象与y轴的交点在x轴的下方；
两直线y= kx+ b（k0）的图象与y= kx+ b（k0）的位置关系：
（1） 当k= k时，且bb时，两直线平行
（2） 当k= k时，且b=b时，两直线重合
（3） 当kk时，两直线相交
（4） 当kk时，且b=b时，两直线交于y轴上一点（0，b）或（0，b）
一次函数的典型题型
【已知解析式，会画图像】如：一个弹簧，不挂物体时长为12cm，挂上物体后会伸长，伸长的长度与所挂物体的质量成正比例，如果挂上3kg的物体后，弹簧总长是13.5cm，求弹簧总长y(cm)与所挂物体质量x(kg)之间的函数关系式，并画出函数的图像

【根据图像，求出解析式】如图，直线AB对应的函数表达式是（ ）
A、 B、 C、 D、
【看一个点在不在已知图像上】已知点（3，2）在直线l：上，求（—1，3）在不在l上

【直线与两坐标轴交点】一次函数与x轴的交点坐标是 ，与y轴的交点坐标是
【已知两点，求解析式】如：已知一次函数的图像经过（0，1）、（3，），求这个一次函数的表达式

【求两直线交点】如：求y=2x+1与y= —x—2的交点

【已知一条直线解析式和交点，求另一解析式】已知y=x+1与y=ax+4交于（3，4）点，求（4，5）在不在y=ax+4上。

【根据a、b的正负，判断直线所在象限】如：一次函数y=-2x+3的图像不经过第（ ）象限
【根据直线，判断a、b的符号】

【比较两直线大小（x的取值范围）】请说出y=2x+1大于y= -x-2的x的范围

【根据a的符号判断递增递减性】如：点，点是一次函数y=-4x+3图像上的两个点，且，则与的大小关系是（ ）A、 B、>0 C、 D、
【根据一次函数的一般形式，求未知数的大小】如，y随x的增大而减小，则m的值为：

练习：
自编10道一次函数的解析式，然后在坐标系中画出大致图像，标出与x、y轴的交点坐标
1、当m为何值时，函数是一次函数？
2、如果直线y=kx+b经过第一、三、四象限，那么直线y= —bx+k经过（ ）象限
3、已知一次函数y=(m+3)x+(2—n)，（1）当m为何值时，y的值随x值的增大而减小？（2）m、n为何值时，与y轴交点在x轴的上方
4、如图所示，直线l是一次函数的图像，（1）写出y与x的函数关系式（2）当x=3时，求y的值（3）当y=—8时，x的值为多少？

5、老师给出一个一次函数，甲、乙两位同学各指出了这个函数的一个性质：
甲：函数的图像不经过第三象限
乙：当x<2，y>0
已知两位同学叙述都正确，请构造出满足上述性质的一个函数

6、正比例函数y=2x的图像经过第（ ）象限，y随x的增大而（ ）

7、已知直线l1和直线l2在同一平面直角坐标系中的位置如图所示，点P1（x1,y1）在直线l1上，点P3（x3,y3）在直线l2上，点P2为直线l1、l2的交点，其中x2<x1,x2<x3，则（ ）A、y1<y2<y3 B、y3<y1<y2 C、y3<y2<y1 D、y2<y1<y3
8、已知直线经过一、二、四象限，则直线不经过第几象限
9、如果一次函数的图象经过第一、三、四象限，则k的取值范围是（ ）
A、k>0 B、k<0 C、0<k<1 D、k>1

10、已知一次函数的图象经过（—4，15）、（6，—5）两点，求此一次函数的解析式

11、已知直线经过A（0，6），且平行于直线y=—2x，
（1）求该直线的函数解析式
（2）如果这条直线经过点P（m，2），求m的值

11、4 100米接力赛是学校运动会最精彩的项目之一。图中的实线和虚线分别是九年级一班和九年级二班代表队在比赛时运动员所跑的路程y（米）与所用时间x（秒）的函数图象（假设每名运动员跑步的速度不变，交接棒的时间忽略不计）
（1）九年级二班跑得最快的是第 棒的运动员
（2）发令后经过多长时间两班运动员第一次并列？
13、已知一次函数，问：
（1）m为何值时，函数图象过原点？
（2）m为何值时，函数图像过点（0，-3）？
（3）m为何值时，函数图像平等于直线y=2x
14、下列图像中，表示直线y=x-1的是（ ）
15、一次函数y=x+2不经过（ ）
A、第一象限 B、第二象限 C、第三象限 D、第四象限
16、当x<0时，函数y=-2x的图像在（ ）
A、第一象限 B、第二象限 C、第三象限 D、第四象限
17、某农场租用播种机种小麦，在甲播种机播种2天后，又调来乙播种机参与播种，直至完成800亩的播种任务，播种亩数与天数之间的函数关系如图所示，那么乙播种机参与播种的天数是 .
18、一次函数与x轴的交点坐标是 ，与y轴的交点坐标是
19、乘坐益阳市某种出租汽车，当行驶路小于2千米时，乘车费用都是4元（即起步价4元），当行驶路大于或等于2千米时，超过2千米部分每千米收费1.5元。
（1）请你求出时乘车费用y（元）与行驶路程x（千米）之间的函数关系式；
（2）按常夫，乘车付费时按计费器上显示的金额进行“四舍五入”后取整（如计费器上的数字显示范围大于或等于9.5而小于10.5时，应付车费10元），小红一次乘车后付了车费8元，请你确定小红这次乘车路程x的范围。
20、已知直线经过点A（0，6），且平行于直线y=-2x。
（1）求该直线的函数解析式
（2）如果这条直线经过点P（m，2），求m的值。
21、某下岗职工购进一批苹果到集贸市场进行零售，已知卖出的苹果数量x与售价y的关系如下表：
数量x（千克）
1
2
3
4
5
售价y（元）
2+0.1
4+0.2
6+0.3
8+0.4
10+0.5
在平面直角坐标系中描点，观察点的分布情况，探究y与x之间的函数关系，并写出y与x之间的函数关系式

22、长途汽车客运公司规定旅客可随身携带一定质量的行李，如果超过规定，则需要购买行李票，行李票费用y(元)是行李质量x（千克）的一次函数，其图像如图所示，则y与x之间的函数解析式是 .旅客最多可免费携带行李 千克。
23、已知，与成正，与成正比例，并且当x=3时y=19,x=-1时，y=3,求y与x之间的函数关系式，并且当x=10时，求y的值
24、直线L经过点A（-3，1）、B（0，2），该直线向右平移3个单位得到直线L`，（1）求直线L`的解析式。（2）在同一直角坐标系中画出直线L和L`的图像。
25、如图，在直角坐标系中，矩形OABC的顶点B的坐标为（15，6），直线y=x+b恰好将矩形OABC分成面积相等的两部分，那么b的值为

26、如图，在直角梯形ABCD中，DCAB，A=90，AB=28cm，DC=24cm，AD=4cm，点M从点D出发，以1cm/s的速度向点C运动，点Nww点B同时出发，以2m/s的速度向点A运动，当其中一个动点到达端点停止运动时，另一个动点也随之停止运动，则四边形ADMN的面积y(cm2)与两动点运动的时间t(s)的函数图像大致是（ ）

27、y=2x向右平移2个单位的函数解析式为 （左加右减）
28、直线y=kx+b交坐标轴于AB两点，则不等式kx+b>0的解集为：
29、一次函数y=kx+3，当x减少2时，y增大6，则一次函数的解析式为
30、已知，点A（4，-1），B（6，-2），C（-4，n）在同一条直线上（1）试求直线y=nx的解析式（2）在x轴上找一点P，使PA+PB最短，求满足条件的点P的坐标。