数学分析-各校考研试题及答案.doc

2003南开大学年数学分析
一、 设其中有二阶连续偏导数，求
解：令u=x+y,v=x-y,z=x则；

二、 设数列非负单增且，证明
解：因为an非负单增，故有
由；据两边夹定理有极限成立。
三、 设试确定的取值范围，使f(x)分别满足：
（1） 极限存在
（2） f(x)在x=0连续
（3） f(x)在x=0可导
解：（1）因为
==极限存在则2+知
(2)因为=0=f(0)所以要使f(x)在0连续则
（3）所以要使f(x)在0可导则
四、设f(x)在R连续，证明积分与积分路径无关
解；令U=则=又f(x)在R上连续故存在F（u）使dF(u)=f(u)du=
所以积分与路径无关。 （此题应感谢小毒物提供思路）
五、 设f(x)在[a,b]上可导，且,证明
证：因f(x)在[a,b]可导，则由拉格朗日中值定理，存在即有六、设单减而且收敛于0。发散
a) 证明
b) 证明其中；
证：（1）因为而单减而且收敛于0据狄利克莱判别法知
（2）因为正项级数发散则又由上题知故有
七、设 证明
（1）在一致收敛
（2） 在连续
证：（1）因收敛（可由狄利克莱判别法判出）故在t>=0上一致收敛；又在x>=1,t>=0 单调且一致有界由阿贝尔判别法知一致收敛
（2）由上题知，F（t）在一致收敛，且由在（x,t）上连续知F（t）在连续所以在连续，由的任意性得证
八、令是[a,b]上定义的函数列，满足
（1）对任意是一个有界数列
（2）对任意，存在一个求证存在一个子序列在[a,b]上一致收敛
证：对任意，是一个有界数列故由致密性定理存在一收敛子列，设为，又令U=则U为[a,b]的一个开覆盖集，由有限覆盖定理，存在有限个开区间覆盖[a,b]，不妨设为
于是对>0，有令则由条件（2）知对上述
于是
++由柯西准则得证。
2004年南开大学数学分析试题答案
1.
2. ,
=
3.即证明，即证
设，，
，，证完。
4.===
5.设P=，Q=，，积分与路径无关，则

6. ,又当时，收敛，当时，级数发散，原题得证
7.由拉格朗日定理，，其中，原题得证
8.（1）应用数学归纳法，当时命题成立，
若当时命题也成立，则当时，，由归纳假设连续。
（2）
（3）由单调递减趋于，与都连续，由地尼定理，该收敛为一致收敛。
9.(1)证明：
取，代入式中得，
即，所以函数单调递增有下界，从而存在右极限，则
；
，由题设可得，
即从而，
所以导函数递增。
(2)参考实变函数的有关教材。
2005年南开大学数学分析试题答案

2.，其中由 求出

3.
4.在上单调一致趋于0，则在上一致收敛，又在上连续，则在上连续。
5.由泰勒公式，则，后者收敛，则原级数收敛。
6.由拉格朗日中值定理，后者收敛，由魏尔特拉斯定理，原级数一致收敛。
由一致收敛，则可以逐项求导，也一致收敛且连续，故连续可导
7.反证：设存在有，不妨设，由连续函数的局部保号性，知道存在一个邻域当时，则存在一个圆周与已知矛盾。
8.当时，
时，，综上，
若对任意的有，则在时，不存在，矛盾。
设当时，当时，两边对积分即可
6. ，，由在上有定义，则在上有界，则可以得到在上连续。
，则，则 则单调递增有下界，存在右极限，存在，同理存在，由极限的保不等式性可得

2003年中国科学院数学研究院数学分析试题答案
1.
（1）当时，
当时，
当时，
当时，
（2）当时，
=

（3）当时，
当时，
当时，
当时，
2. 当时， ，从而连续；
当时，，存在；
当时，
,
3.即证：，
，，

当时，设，，，
所以，
当时，设，，，
所以，
4.

5.假设存在常数M，，积分矛盾
6.作代换

==

=
7.椭球面的切向量为
，切点为和

8. 当时，

相加：

令，所以
9

由含参量积分的性质，

科院2006年数学分析试题参考解答

1求a,b使下列函数在x=0处可导:

解：由于函数在x=0处可导，从而连续，由得到b=1;
又由得到a=0.即得。

2
证明: 用反证法。
由知，均为正项级数。
假设级数收敛，则，于是有，从而由正项级数的比较判别法知级数收敛，矛盾，从而得证。

3
解：从而 即得解。
（利用余元公式、换元、函数更为简单）

4
证明：知,从而令有
从而
得证。

5
证明:

6

证明: 我们先来证明一个不等式，一般的称为Cauchy---Schwarz不等式，即
定理1

7
证明：

8 设曲线的周长和所围成的面积分别为L和S，还令，则.
证明：由对称性知

9
解：

为证明=I，我们先来证明一个定理：
定理2 设在|x|<R内收敛，若也收敛，则

回到题目，看数项级数收敛，设=，|x|<1,由定理2即知
==I.

10

解: 这是星形线，充分考虑到对称性(x=0,y=0,x=y,x=-y)，有

北京大学2005
1设，试求和.
解:
当然此上极限可以
令.
此下极限当然可以
令
1. (1)设在开区间可微，且在有界。证明在一致连续.
证明:
由存在
.
这显然就是

(2) 设在开区间可微且一致连续，试问在是否一定有界。（若肯定回答，请证明；若否定回答，举例说明）
证明:否定回答.
闭区间上连续函数一致连续.所以
显然此而
3．设.
(1)求的麦克劳林展开式。
(2)求。
解: 这道题目要是直接展开是很麻烦的.先对原式做一下变形.有
. 又由于

比较系数有：，接下来，若 中
，此时令

有。
同理可得：， 。综合得：

4．试作出定义在中的一个函数，使得它在原点处同时满足以下三个条件：
（1）的两个偏导数都存在；（2）任何方向极限都存在；（3）原点不连续
解： 。显然这个函数在 的时候，有偏导数存在
，而对于的时候，有 ，此式在原点也成立。
对于任意方向极限，有。显然沿任意方向趋于原点。
此函数的方向极限都存在。最后，因为沿不同方向趋向原点。不妨设有不同的极限
。且其都不为0。所以该函数在原点不连续。
5．计算.其中是球面与平面的交线。
解：首先，曲线是球面与平面的交线。因为平面过原点，球面中心为原点。
所以它们的交线是该球面上的极大圆。再由坐标的对称性。易知有 。
因此有 ===。
6．设函数列满足下列条件：（1），在连续且有（）
（2）点点收敛于上的连续函数
证明：在上一致收敛于
证法1：首先，因为对任意。且有，所以，对于任意，有。
又因为在点连续。所以可以找到，当 时。有，以及
同时成立。因此，当， 时，有
。
如此，令，所以有开区间族 覆盖了区间。
而在闭区间上连续。由Heine-Borel 定理，从开区间族中可以选出有限个，
使 。由的选法。可由相应与，当，且时，有。
取，当时，且，有 成立。所以在上一致收敛于。
证毕。

证法2：反证法.设存在某，对于任意，有一，使得．又有界，由Bolzano-Weierstrass定理，所以其必存在
　　　　　收敛子列收敛于中某值．因为对任意。
且有，所以，当时，有．
设某，由与连续性．存在一，当时
　　　　　有同时成立．显然，又因为．所以存在值， ．
　　　　　当时， 成立．最后，当时，有
　　　　　＜．这与假设矛盾．
　　　　　所以在上，是一致收敛于．证毕．
大连理工大学2005试题
数学分析试题解答
一、 计算题
1、 求极限：
解：

2、求极限：
解：

3、证明区间（0，1）和（0，+）具有相同的势。
证明：构造一一对应y=arctanx。

4、计算积分，其中D是x=0,y=1,y=x围成的区域
解：

5、计算第二类曲线积分：，方向为逆时针。
解：

6、设a>0,b>0,证明：。
证明：

二、 设f(x)为[a,b]上的有界可测函数，且证明：f(x)在[a,b]上几乎处处为0。
证明：
反证法，假设A={x|f(x)≠0}，那么mA>0。

三、 设函数f(x)在开区间（0，+）内连续且有界，是讨论f(x)在（0，+）内的一致连续性。
讨论：非一致连续，构造函数：

四、 设，讨论函数的连续性和可微性。
解：
1）连续性：连续

2）可微性：可微

五、 设f(x)在（a,b）内二次可微，求证：

证明：

六、 f(x)在R上二次可导，
，证明：f(x)在R上恰有两个零点。
证明：

七、 设函数f(x)和g(x)在[a,b]内可积，证明:对[a,b]内任意分割

证明：

八、 求级数：
解：

九、 讨论函数项级数在(0,1)和(1,+∞)的一致收敛性
讨论：
1） 0<x<1

2） x>1

十、 计算为圆锥曲面被平面z=0,z=2所截部分的外侧。
解：

十一、设f(x)在[0,1]上单调增加,f(0)>=0,f(1)<=1,证明：
证明：

十二、设f(x)在[0,+∞]上连续，绝对收敛，证明：

证明：

十三、设，证明：
当下极限时，级数收敛
当上极限时，级数发散
证明：（1）

（2）

苏州大学2004年数学分析解答
1.(20’)

2.(20')

05苏州大学

8.(18分)设在上二次连续可微(其中),且在处的梯度,Hesse矩阵Q=为正定矩阵.证明：⑴在处取到极小值；⑵若是Q的最大特征值，是Q对应于的特征向量，则从处沿着方向增长
浙江师范大学2005年研究生
一（每小题8分，共48分）计算题
1、 求极限 .
解
原式 3分
5分
8分
2、 求级数 的和.
解 作，则
2分
作，则

因此 5分

于是 ，原式 8分
3、 求级数 的和.
解 因，故 2分
为了求，作， 4分
则 5分
6分

因此，原式 8分
4、求的值.
解 原式 4分
8分
5、 求极限
解 因的周期为， 2分
故当为有理数时，存在正整数和整数使得，这时当时，，， 4分
而当为无理数时，， 6分
因此，原式 8分
6、求极限
解 原式 4分
8分
二（14分）已知实数列收敛于，且
，用定义证明也收敛于.
证记，，则，，使得, 3分
因，故，使得， 8分
令，则当时，有
14分
三（20分）设和为二次可微函数，

证明
证
， 5分
，
15分
因此，左
右 20分
四（20分）设在上连续，证明
⑴
⑵若，，且，
则，，
证 记
(1) 令，则

因此，左右 10分
（2）（用反证法）若不然，则使得，
由极限的保号性，存在开区间使得，且当时，有， 16分
这与矛盾. 20分
五（16分）若不定积分为有理式，则应满足什么条件？
解 因，故
当且仅当时，不定积分为有理式. 16分

六（16分）若在上可微，，求证内存在一个数列，使得单调，，且.
证法1 因在上可微，故，在上连续，在内可导，从而由拉格朗日中值定理知， 使
，即 9分
因，，故由海涅归结原则知，，从而. 16分
证法2 由知，，，使得当时，
2分
，使当时，，，使当时，，，使得当时，
6分
用数学归纳法，得到一个数列，在闭区间上应用拉格朗日中值定理，，使得
10分
由知，数列单调增，由数列满足和知 13分
由
知 16分
七（16分）设，证明在上一致收敛.
证法1
，当时，
当时，由对称性知
当时，
6分
因，故对上述的，正整数使得当时，
14分
综上，当时，，对中的一切成立，这表明在上一致收敛. 16分
证法2当时
3分
由Dini定理，要证在上一致收敛.只需证明在上
下面分，，，这四种情形来证明

即知极限函数一定连续. 7分
而当时，

当时，

当或时，，而当时，

10分
于是，，有，
即关于n单调， 16分
武汉大学2003年
一、 判断下列命题是否正确（共5小题，每小题6分，共30分）：
1）单调序列中有一子列收敛，则序列收敛。
正确。不妨设收敛于a，利用单调性那么不难证明也收敛于a

2）子列的子序列和收敛，则序列也收敛
不正确。只要和收敛于不同的极限，A、B那么不收敛

3）序列收敛，则序列收敛，其逆命题也成立
不正确。序列收敛=〉序列收敛，但反之命题不成立如

4）收敛，则.
不正确。可以找到莱布尼兹级数

5）函数序列，，满足对任意的自然数p和任意，有以下性质：，则一致收敛。
不正确。不妨设，，
。显然并非一致收敛。

二、 计算题（每小题8分，共32分）
1）设
（应用L’Hospital法则）
2）求极限：
（应用Taylor展开）

3）

4）计算曲面积分，S为球面的外侧

三、 判断级数与反常积分的敛散性（共4小题，每小题9分，共36分）
1） 2）

3） 4）

四、 设a>0,求曲线上的点到xy-平面的最大最小距离
解1：
解2：（初等数学的不等式方法）当z取到最值，即xy取到最值

五、 设0<c<1, 。证明收敛，并求其极限
分析：只须满足即可。
证明：

六、 设f(t)在R上连续，证明：
证明：（考虑在（0，1）趋近于0）

七、 证明含参量非正常积分：，对任意一致收敛，而在上不是一致收敛的
证明：1）

2）

武汉大学2004年攻读硕士学位研究生入学考试试题
科目名称：数学分析 科目代码：369

一、 计算下列各题：
1． 2.

3. 4.

5.

6.

二、 设，证明：存在，并求出极限
证明：

三、

证明：（另外，还可以用上下确界的方法做）

四、 讨论在（0，0）点的连续性和可微性
解：（1）连续性：

（2）可微性

五、 计算曲线积分
，L的方向是：从x轴的正方向看过去为逆时针方向。
解：

六、 计算曲面积分（h,R>0）及三个坐标面所围的第一卦限部分的外侧。
解：另外可以用Stokes公式做

七、 证明：
解：

八、 证明积分
解：另外可以用积分判别法的Dirichlet定理做

武 汉 大 学2005 年
一、 设满足: , ，证明收敛。
证明：（分析：压缩映像原理）

二、 对任意δ > 0。证明级数在(1,1+δ)上不一致收敛。
证明：（利用反证法，Cauchy收敛准则和定义证明。）

三、 设
解，（本题利用莱布尼兹求导法则：）

四、 判断级数的绝对收敛性和相对收敛性
解：（1）绝对收敛性：（主要使用放缩法）

（2）相对收敛性：（A-D判别法）

五、 计算，其中Γ为曲线
，从z轴的正方向看过去，Γ是逆时针方向
解：（利用奇偶性做）

六、 设，且为连续函数，求证：
证明：（画出函数图像，分两段讨论：）

七、 证明含参变量反常积分上一致收敛，其中δ>0，但是在(0, )内不一定一致收敛。
证明：

八、 在底面半径为a，高为h的正圆锥内作长方体，其一面与圆锥地面重合，对面四个顶点在锥面上，求长方体的最大体积。
解：
九、 设，,在（0，a）内可导，以及在(0,a)内取到最值，且满足f(0)=0,f(a)=a。证明：
1）； 2）
证明：1）命题有问题，取a=1/2,f(x)=5x-8x2
f(0)=0,f(1/2)=1/2
f(x)在5/16取到最值，但是f(x)-ax只在x=0,x=9/16等于0，与命题1矛盾。

2004年上海交通大学 数学分析
一（14）设，证明
证 因 ，故利用Stolz公式，，得
二（14）证明在上不一致连续.
证 因，，，
，
故在上不一致连续.
三（14）设在上连续，且＝，证明，使
＝
证 作（），则在上连续，因＝，故，
情形1 若，则取，则＝，
情形2 若，则因，故由介值定理知，存在，使得，即＝.
四（14）证明不等式＜＜，
证 作，，则因
，
故在上严格单调减少，而，，
因此，在上，有，即＜＜.
五 (14) 设收敛,且在上一致连续，证明= 0.
证 因在上一致连续，故，，使得当且时，有，
令，则由积分第一中值定理得，
，使得.
因收敛，故级数收敛，从而，即
，也即，故对上述的，存在，使得
当时，.
取，则当时，因

故存在惟一的，使得，易见，且，从而

六（14）设，，，证明级数收敛.
解. ，因，故只要证
收敛即可.
七（14）设在上连续，= 0 , ，，
证明在上一致收敛.
八（12）设在上连续，证明＝.
证 （1）（令，则，
（2）因在上连续，故，使得，，（3），记，不妨设，则
，
（4）

（5）因在上连续，故在上一致连续，故对上述的正数，，当且时，有

（6）因，记，则存在正整数，使得当时，有，
（7）当时，有，从而当时，有
（8）由（3）和（7）知，当时，有

九（12）设>0，＝＋，证明＝1
证 （1）要证＝1 ，只要证，
即只要证，即证
（2）因＝＋，故，

因此只要证，即只要证
（3）由知，单调增加，假如有上界，则必有极限，由＝＋知，＝＋，因此，矛盾.
这表明单调增加、没有上界，因此. （证完）

十（28）计算下述积分：
1．，其中D是矩形区域，
解 记
，

2．，其中S是曲面上的那部分正侧.

解 记（取下侧），
，则，由高斯公式知，

华中科技大学2004年《数学分析》试题及解答
以下每题15分
1．设，（），（）．求级数之和．
解 由（），得
．

2．设，（）．证明（）．此估计式能否改进？
证明 将、在点（）用Taylor公式展开并相减，则得
（），由于，因此得
．
此不等式可以改进为：（），因为时，上式．

3．设有处处连续的二阶偏导数，．证明
．
证明

4．设在上连续，在内可微，存在唯一点，使得，．设，（），
，证明是在上的最大值．
证明 （反证法），假设不是在上的最大值。由于，存在，当时，。
考察闭区域，显然，由已知在上连续，从而在上取得最大值，设为。显然在上，总有，因而必有：。当时，，因此
是在上的最大值。由假设，。
这与已知矛盾，可知假设不真。

5．设处处有．证明：曲线位于任一切线之上方，且与切线有唯一公共点．
证明 设为曲线上任一点，在该点处曲线的切线方程为

对曲线上任意点，按Taylor公式展开，得

由知，当时，，而为唯一公共点．得证．

6．求，是取反时针方向的单位圆周．
解 的参数方程：

7．设是连续正值函数，
．
证明（）是严格单调减函数．
证明 ，当

因此，（）是严格单调减函数。
8．设级数收敛，证明．
证明 由收敛知，在上一致收敛，从而左连续，即．对，有，
于是．
9．设在上连续，其零点为，．证明：积分收敛级数收敛．
证明 ，若收敛，则
，即收敛。
若不收敛，同理可知不收敛。
10．设，在上连续，（），当时，在上一致收敛于．证明：至少存在一点，使得．
证明 由在上一致收敛于，得知在上连续，且数列收敛于，即，由于，得，至少存在一点
，使得．
注 或用反证法：若对，有，由的连续性得，与上面相同证法，推出矛盾．