分式方程应用题专题训练(有解析).doc

华师大版数学八年级下册第 16 章分式方程应用题专题训练
一、行程问题
解题策略：在解行程问题的分式方程应用题时，可以依据时间＝

路程
速度

，利用分式来表示时
间，根据时间之间的关系建立分式方程。
例：马小虎的家距离学校 1800 米，一天马小虎从家去上学， 出发 10 分钟后， 爸爸发现他的
数学课本忘记拿了， 立即带上课本去追他， 在距离学校 200 米的地方追上了他， 已知爸爸的
速度是马小虎速度的 2 倍，求马小虎的速度．
分析：设马小虎的速度是 x 米/ 分，列表分析如下。
路程（米） 速度（米 / 分） 时间（分）

马小虎 1600 x

1600
x

马小虎的爸爸 1600 2x

1600
2x
依据马小虎多走 10 分钟建立方程。
解：设马小虎的速度是 x 米/分，根据题意列方程，

1600
x

－

1600
2x

＝10
解得： x＝80
经检验， x=80 是原方程的根．
答：马小虎的速度是 80 米/分．
练习：
1、为了迎接北京和张家口共同申办及举办 2020 年冬奥会，全长 174 千米的京张高铁
于 2014 年底开工 . 按照设计，京张高铁列车从张家口到北京最快用时比最慢用时少 18
分钟，最快列出时速是最慢列车时速的

29
20

倍，求京张高铁最慢列车的速度是多少？
解：设京张高铁最慢列车的速度是 x 千米 /时. 由题意，得
1 7 4 1 7 4 1 8
，
29 60
x x
20
解得 x 180
经检验， x 180 是原方程的解，且符合题意 .
答：京张高铁最慢列车的速度是 180 千米 /时 .
2、早晨，小明步行到离家 900 米的学校去上学，到学校时发现眼镜忘在家中，于是他立即
按原路步行回家， 拿到眼镜后立即按原路骑自行车返回学校． 已知小明步行从学校到家所用
的时间比他骑自行车从家到学校所用的时间多 10 分钟，小明骑自行车速度是步行速度的 3
倍．
（1）求小明步行速度（单位：米 /分）是多少；
（2）下午放学后，小明骑自行车回到家，然后步行去图书馆，如果小明骑自行车和步行的
速度不变， 小明步行从家到图书馆的时间不超过骑自行车从学校到家时间的 2 倍，那么小明
家与图书馆之间的路程最多是多少米？
解：（1）设小明步行的速度是 x米/ 分，由题意得：

900 900
x 3x

10
，
解得： x=60，
经检验： x=60 是原分式方程的解，
答：小明步行的速度是 60 米/分；
（2）设小明家与图书馆之间的路程是 y 米，

根据题意可得：

y 900
60 180

2
解得： y≤ 600，
答：小明家与图书馆之间的路程最多是 600 米．
3、甲、乙两同学的家与学校的距离均为 3000 米．甲同学先步行 600 米，然后乘公交车去
学校、 乙同学骑自行车去学校． 已知甲步行速度是乙骑自行车速度的， 公交车的速度是乙骑
自行车速度的 2 倍．甲乙两同学同时从家发去学校，结果甲同学比乙同学早到 2 分钟．
（1）求乙骑自行车的速度；
（2）当甲到达学校时，乙同学离学校还有多远？
解：（1）设乙骑自行车的速度为 x 米/ 分钟，则甲步行速度是 x 米/分钟，公交车的速度是 2x
米/ 分钟，
根据题意得

600 3000 600 3000
1 2
x
x x
2

2
，
解得： x=300 米/分钟，
经检验 x=300 是方程的根，
答：乙骑自行车的速度为 300 米/ 分钟；
（2）∵300× 2=600 米，
答：当甲到达学校时，乙同学离学校还有 600 米．
二、工程问题
解题策略： 在解工程问题的分式方程应用题时， 可以依据工作时间＝

工作量
工作效率

，利用分式
来表示工作时间，根据工作时间之间的关系建立分式方程。
2
例：某校为美化校园， 计划对面积为 1800m

的区域进行绿化， 安排甲、乙两个工程队完成． 已
知甲队每天能完成绿化的面积是乙队每天能完成绿化的面积的 2 倍，并且在独立完成面积为
2
400m

区域的绿化时，甲队比乙队少用 4 天．
2
（1）求甲、乙两工程队每天能完成绿化的面积分别是多少 m
？
（2）若学校每天需付给甲队的绿化费用为 0.4 万元，乙队为 0.25 万元，要使这次的绿化总
费用不超过8 万元，至少应安排甲队工作多少天？
（1）分析：设乙工程队每天能完成绿化的面积是 xm
2，列表分析如下。

2）
工作量（绿化面积m

工作效率（每天绿化
的面积m 2）
2）

工作时间（天）

甲 400 2x

400
2x

乙 400 x

400
x
依据甲队比乙队少用 4 天建立方程。
（1）解：设乙工程队每天能完成绿化的面积是 xm
2，根据题意得：

400
x

400
﹣
2x

=4，
解得： x=50，经检验x=50 是原方程的解，
则甲工程队每天能完成绿化的面积是 50×2=100（m
2），
答：甲、乙两工程队每天能完成绿化的面积分别是 100m

2、50m2；
（2）分析：设安排甲队工作 y 天，列表分析如下。

工作量 （绿化
面积m 2）
2）

工作效率 （每
天绿化的面
积m 2）
2）

工作时间
（天）

单价
（万元 / 天）
工作费用（元）
甲 100y 100 y 0.4 0.4y

乙 1800－100y 50

1800 100
50

y

0.25

1800 100
50

y

0.25
依据这次的绿化总费用不超过 8 万元建立不等式。
（2）解：设安排甲队工作 x 天，根据题意得：
1800 100 y
0.4 x 0.25 8 ，解得： x≥ 10，
50
答：至少应安排甲队工作 10 天．
练习：
1、为了把通州区打造成宜居的北京城市副中心，区政府对地下污水排放设施进行改造．某
施工队承担铺设地下排污管道任务共 2200 米，为了减少施工对周边交通环境的影响，施工
队进行技术革新，使实际平均每天铺设管道的长度比原计划多 10%，结果提前两天完成任
务．求原计划平均每天铺设排污管道的长度．
解：设原计划平均每天铺设排污管道 x 米，依题意得

2 2 0 0 2 2 0 0
x ( 1 1 0 %x )

2
解这个方程得： x＝100（米）
经检验， x＝100 是这个分式方程的解，
∴这个方程的解是 x＝100
答：原计划平均每天修绿道 100 米．
2、学校新到一批理、化、生实验器材需要整理，若实验管理员李老师一人单独整理需要 40
分钟完成，现在李老师与工人王师傅共同整理 20 分钟后，李老师因事外出，王师傅再单独
整理了 20 分钟才完成任务．
（1）王师傅单独整理这批实验器材需要多少分钟？
（2）学校要求王师傅的工作时间不能超过 30 分钟， 要完成整理这批器材， 李老师至少要工
作多少分钟？
解：（1）设王师傅单独整理这批实验器材需要 x 分钟，
由题意，得：

1 1 20
20( ) 1
，
40 x x
解得： x=80，
经检验得： x=80 是原方程的根．
答：王师傅单独整理这批实验器材需要 80 分钟．
（2）设李老师要工作 y 分钟，
由题意，得： (1 y ) 1 30
40 80

，
解得： y≥ 25．
答：李老师至少要工作 25 分钟．
3、某漆器厂接到制作 480 件漆器的订单，为了尽快完成任务，该厂实际每天制作的件数比
原来每天多 50%，结果提前10 天完成任务．原来每天制作多少件？
解：设原来每天制作 x 件，根据题意得：

480 480
x (1 50%) x

10

，
解得： x=16，
经检验x=16 是原方程的解，
答：原来每天制作 16 件．
4、济宁市“五城同创”活动中，一项绿化工程由甲、乙两工程队承担．已知甲工程队单独
完成这项工作需 120 天，甲工程队单独工作 30 天后，乙工程队参与合做，两队又共同工作
了 36 天完成．
（1）求乙工程队单独完成这项工作需要多少天？
（2）因工期的需要，将此项工程分成两部分，甲做其中一部分用了 x 天完成，乙做另一部
分用了 y 天完成，其中 x、 y 均为正整数，且x＜46，y＜52，求甲、乙两队各做了多少天？
解：（1）设乙工程队单独完成这项工作需要 x 天，由题意得

30 1 1
36( ) 1
120 120 x

，解之得 x=80，
经检验x=80 是原方程的解．
答：乙工程队单独做需要 80 天完成；
（2）因为甲队做其中一部分用了 x 天，乙队做另一部分用了 y 天，
x y
所以 1
，即 y=80﹣x，又 x＜46，y＜52， 120 80
所以

2
80 x 52
3
，解得 42＜x＜46，
x 46
因为 x、y 均为正整数，所以 x=45，y=50，
答：甲队做了 45 天，乙队做了 50 天．
三、营销问题
解题策略：在解营销问题的分式方程应用题时，可以依据数量＝

金额
单价

，利用分式来表示数
量，根据数量之间的关系建立分式方程。
例：“母亲节” 前夕，某商店根据市场调查， 用 3000 元购进第一批盒装花， 上市后很快售完，
接着又用 5000 元购进第二批这种盒装花．已知第二批所购花的盒数是第一批所购花盒数的
2 倍，且每盒花的进价比第一批的进价少 5 元．求第一批盒装花每盒的进价是多少元？
分析：设第一批盒装花的进价是 x 元/盒，列表分析如下。
金额（元） 价格（元 /盒） 数量（盒）
第一批 3000 x 3000
x
第二批 5000 X－5 5000
x 5
依据第二批所购花的盒数是第一批所购花盒数的 2 倍来建立方程。
解：设第一批盒装花的进价是 x元/ 盒，则
2×

3000
x

=

5000
x 5

，
解得 x=30
经检验， x=30 是原方程的根．
答：第一批盒装花每盒的进价是 30 元．
练习：
1、今年是扬州城庆 2500 周年，东关历史街区某商铺用 3000 元批发某种城庆旅游纪念品销
售，由于销售状况良好，该商铺又筹集 9000 元资金再次批进该种纪念品，但这次的进价比
第一次的进价提高了 20%，购进的纪念品数量是第一次的 2 倍还多 300 个，如果商铺按 9
元/ 个的价格出售，当大部分纪念品售出后，余下的 600 个按售价的 8 折售完．
（1）该种纪念品第一次的进货单价是多少元？
（2）该商铺销售这种纪念品共盈利多少元？
解：（1）设该种纪念品第一次的进货单价是 x 元，则第二次进货单价是（ 1+20%）x 元，
由题意，得

9000 3000
2 300
(1 20%) x x

，
解得 x=5，
经检验 x=5 是方程的解．
答：该种纪念品第一次的进货单价是 5 元.
（2）[

3000 9000
5 5 (1 20%)

﹣600]× 9+600× 9× 80%﹣（3000+9000）
=（600+1500﹣600）× 9+4320﹣12000
=1500× 9+4320﹣12000
=13500+4320﹣12000
=5820（元）．
答：商铺销售这种纪念品共盈利 5820 元．
2、由于受金融危机的影响，某店经销的甲型号手机今年的售价比去年每台降价 500 元．如
果卖出相同数量的手机，那么去年销售额为 8 万元，今年销售额只有 6 万元．
（1）今年甲型号手机每台售价为多少元？
（2）为了提高利润，该店计划购进乙型号手机销售，已知甲型号手机每台进价为 1000 元，
乙型号手机每台进价为 800 元，预计用不多于 1.84 万元且不少于 1.76 万元的资金购进这两
种手机共 20 台，请问有几种进货方案？
（3）若乙型号手机的售价为 1400 元， 为了促销， 公司决定每售出一台乙型号手机， 返还顾
客现金 a 元，而甲型号手机仍按今年的售价销售，要使（ 2）中所有方案获利相同， a 应取
何值？
解：（1）设今年甲型号手机每台售价为 x 元，由题意得，

80000 60000
x 500 x

，解得 x=1500
经检验x=1500 是方程的解．故今年甲型号手机每台售价为 1500 元．
（2）设购进甲型号手机 m 台，由题意得，
17600≤ 1000m+800（20﹣m）≤ 18400， 8≤ m≤ 12．
因为 m 只能取整数，所以 m 取 8、9、10、11、12，共有 5 种进货方案．
（3）设总获利 W 元，则W=（1500﹣1000）m+（1400﹣800﹣a）（20﹣m），
W=（a﹣100）m+12000﹣20a．
所以当 a=100 时，（2）中所有的方案获利相同．
3、某书店老板去图书批发市场购买某种图书． 第一次用 1200 元购书若干本， 并按该书定价
7 元出售，很快售完．由于该书畅销， 第二次购书时， 每本书的批发价已比第一次提高了 20%，
他用 1500 元所购该书数量比第一次多 10 本．当按定价售出 200 本时，出现滞销，便以定
价的 4 折售完剩余的书． 试问该老板这两次售书总体上是赔钱了， 还是赚钱了 （不考虑其它
因素）？若赔钱，赔多少？若赚钱，赚多少？
解：设第一次购书的进价为元，则第二次购书的进价为 x 元．
根据题意得：

1200 1500
10
x 1.2 x
解得： x=5
经检验， x=5 是原方程的解。
所以第一次购书为

1200
5

=240（本）．
第二次购书为 240+10=250（本）
第一次赚钱为 240×（7-5 ）=480 （元）
第二次赚钱为 200×（7-5 ×1.2 ）+50×（7×0.4-5 ×1.2 ）=40 （元）
所以两次共赚钱480+40=520（元）
答：该老板两次售书总体上是赚钱了，共赚了520 元．
4、绵阳人民商场准备购进甲、乙两种牛奶进行销售，若甲种牛奶的进价比乙种牛奶的进价
每件少 5 元，其用 90 元购进甲种牛奶的数量与用 100 元购进乙种牛奶的数量相同．
（1）求甲种牛奶、乙种牛奶的进价分别是多少元？
（2）若该商场购进甲种牛奶的数量是乙种牛奶的 3 倍少 5 件，两种牛奶的总数不超过 95
件，该商场甲种牛奶的销售价格为 49 元，乙种牛奶的销售价格为每件 55 元，则购进的甲、
乙两种牛奶全部售出后，可使销售的总利润（利润=售价﹣进价）超过371 元，请通过计算
求出该商场购进甲、乙两种牛奶有哪几种方案？
解：（1）设乙种牛奶的进价为每件 x 元，则甲种牛奶的进价为每件（ x﹣5）元，
由题意得，

90 100
x 5 x

，解得 x=50．
经检验， x=50 是原分式方程的解，且符合实际意义．
（2）设购进乙种牛奶 y 件，则购进甲种牛奶（ 3y﹣5）件，
由题意得，

3y 5 y 95
(49 45)(3y 5) (55 50)y 37

解得 23＜y≤ 25．
∵y 为整数，
∴y=24 或 25，
∴共有两种方案：
方案一：购进甲种牛奶 67 件，乙种牛奶 24 件；
方案二：购进甲种牛奶 70 件，乙种牛奶 25 件．