初一几何——三角形内外角平分线模型.doc

初一几何——双角平分线模型
1．在△ABC中，BO，CO分别平分∠ABC和∠ACB，∠1+∠2＝50°，则∠A的度数为（　　）
A．80度 B．50度 C．100度 D．110度
2．如图，△ABC中，∠A＝50°，D是BC延长线上一点，∠ABC和∠ACD的平分线交于点E，则∠E的度数为（　　）
A．40° B．20° C．25° D．30°

第1题图 第2题图 第3题图 第4题图
3．如图在△ABC中，BO，CO分别平分∠ABC，∠ACB，交于O，CE为外角∠ACD的平分线，BO的延长线交CE于点E，记∠BAC＝∠1，∠BEC＝∠2，则以下结论①∠1＝2∠2，②∠BOC＝3∠2，③∠BOC＝90°+∠1，④∠BOC＝90°+∠2正确的是（　　）
A．①②③ B．①③④ C．①④ D．①②④
4．如图，∠ABD、∠ACD的角平分线交于点P，若∠A＝60°，∠D＝20°，则∠P的度数为（　　）
A．15° B．20° C．25° D．30°
5．如图，在△ABC中，∠ABC与∠ACD的平分线交于点A1，得∠A1；∠A1BC与∠A1CD的平分线相交于点A2，得∠A2；……；∠A2017BC与∠A2017CD的平分线相交于点A2018，得∠A2018．如果∠A＝80°，则∠A2018的度数是（　　）A．80 B．802018 C．40 D．80×(12)2018

6．已知△ABC，下列说法正确的是　 　（只填序号）．
①如图（1），若点P是∠ABC和∠ACB的角平分线的交点，则∠P＝90°+12∠A；
②如图（2），若点P是外角∠CBF和∠BCE的角平分线的交点，则∠P＝90°-12∠A；
③如图（3），若点P是∠ABC和外角∠ACE的角平分线的交点，则∠P=12∠A．

7．已知：如图，O是△ABC内一点，且OB、OC分别平分∠ABC、∠ACB，若∠A＝46°，求∠BOC＝　 　．

第7题图 第8题图 第9题图
8．如图，在△ABC中，∠ABC＝40°，∠ACD＝76°，BE平分∠ABC，CE平分△ABC的外角∠ACD，则∠E＝　 　．
9．如图，△ABC中，∠C＝104°，BF平分∠ABC与△ABC的外角平分线AE所在的直线交于点F，则∠F＝　 　．
10．如图，在△ABC中，∠B＝90°，∠ACB、∠CAF的平分线所在的直线交于点H，求∠H的度数．

11．如图①，∠ACD是△ABC的外角，BE平分∠ABC，CE平分∠ACD，且BE、CE交于点E．
（1）如果∠A＝60°，∠ABC＝50°，求∠E的度数；
（2）猜想：∠E与∠A有什么数量关系；（写出结论即可）
（3）如图②，点E是△ABC两外角平分线BE、CE的交点，探索∠E与∠A之间的数量关系，并说明理由．

12．甲乙两同学对同一个图形进行研究，如图①，在△ABC中，点O是∠ABC和∠ACB平分线的交点，若∠A＝α，则∠BOC＝　 　．（说明：本题中角的大小均可用á表示）；
（1）甲同学不断调整图中射线BO、CO的位置，如图②，∠CBO=13∠ABC，∠BCO=13∠ACB，∠A＝α，则∠BOC＝　 　，并请你帮他说明理由．
（2）由（1）方法，甲同学猜想：如图③，当∠CBO=1n∠ABC，∠BCO=1n∠ACB，∠A＝α，∠BOC＝　 　
（3）乙两同学的探究思路是把三角形不断变化为四边形、五边形、六边形…，探究角平分线组成的∠O与多边形其他角的关系．如图④，在四边形ABCD中，BO、CO分别平分∠ABC和∠BCD，试探究∠O与∠A、∠D的数量关系　 　，并说明理由．
（4）仿照（3）的方法，如图⑤，在六边形ABCDEF中，BO、CO分别平分∠ABC和∠BCD，请直接写出∠O与∠A、∠D、∠E、∠F的数量关系：　 　．

13．（1）如图1，已知△ABC，BF平分外角∠CBP，CF平分外角∠BCQ．试确定∠A和∠F的数量关系；
（2）如图2，已知△ABC，BF和BD三等分外角∠CBP，CF和CE三等分外角∠BCQ．试确定∠A和∠F的数量关系；
（3）如图3，已知△ABC，BF、BD和BM四等分外角∠CBP，CF、CE和CN四等分外角∠BCQ．试确定∠A和∠F的数量关系；
（4）如图4，已知△ABC，将外角∠CBP进行n等分，BF是临近BC边的等分线，将外角∠BCQ进行n等分，CF是临近BC边的等分线，试确定∠A和∠F的数量关系．

14．（1）如图1，O是△ABC内一点，且BO，CO分别平分∠ABC，∠ACB、若∠A＝46°，则∠BOC＝　 　；若∠A＝n°，则∠BOC＝　 　；
（2）如图2，O是△ABC外一点，BO，CO分别平分△ABC的外角∠CBE，∠BCF．若∠A＝n°，求∠BOC；
（3）如图3，O是△ABC外一点，BO，CO分别平分∠ABC，∠ACD．若∠A＝n°，求∠BOC．

初一几何——双角平分线模型
参考答案与试题解析
一．选择题（共5小题）
1．在△ABC中，BO，CO分别平分∠ABC和∠ACB，∠1+∠2＝50°，则∠A的度数为（　　）

A．80度 B．50度 C．100度 D．110度
【解答】解：∵BO，CO分别平分∠ABC和∠ACB，∠1+∠2＝50°，
∴∠ABC＝2∠1，∠ACB＝2∠2，
∴∠ABC+∠ACB＝2（∠1+∠2）＝100°，
∵△ABC中，∠A+∠ABC+∠ACB＝180°，
∴∠A＝180°﹣100°＝80°．
故选：A．

2．如图，△ABC中，∠A＝50°，D是BC延长线上一点，∠ABC和∠ACD的平分线交于点E，则∠E的度数为（　　）

A．40° B．20° C．25° D．30°
【解答】解：∵由三角形的外角的性质可知，∠E＝∠ECD﹣∠EBD，
∵∠ABC的平分线与∠ACD的平分线交于点E，
∴∠EBC=12∠ABC，∠ECD=12∠ACD，
∵∠ACD﹣∠ABC＝∠A＝50°，
∴12（∠ACD﹣∠ABC）＝25°，
∴∠E＝∠ECD﹣∠EBD＝25°，
故选：C．
3．如图在△ABC中，BO，CO分别平分∠ABC，∠ACB，交于O，CE为外角∠ACD的平分线，BO的延长线交CE于点E，记∠BAC＝∠1，∠BEC＝∠2，则以下结论①∠1＝2∠2，②∠BOC＝3∠2，③∠BOC＝90°+∠1，④∠BOC＝90°+∠2正确的是（　　）

A．①②③ B．①③④ C．①④ D．①②④
【解答】解：∵CE为外角∠ACD的平分线，BE平分∠ABC，
∴∠DCE=12∠ACD，∠DBE=12∠ABC，
又∵∠DCE是△BCE的外角，
∴∠2＝∠DCE﹣∠DBE，
=12（∠ACD﹣∠ABC）
=12∠1，故①正确；
∵BO，CO分别平分∠ABC，
∴∠OBC=12ABC，∠OCB=12∠ACB，
∴∠BOC＝180°﹣（∠OBC+∠OCB）
＝180°-12（∠ABC+∠ACB）
＝180°-12（180°﹣∠1）
＝90°+12∠1，故②、③错误；
∵OC平分∠ACB，CE平分∠ACD，
∴∠ACO=12∠ACB，∠ACE=12ACD，
∴∠OCE=12（∠ACB+∠ACD）=12×180°＝90°，
∵∠BOC是△COE的外角，
∴∠BOC＝∠OCE+∠2＝90°+∠2，故④正确；
故选：C．

4．如图，∠ABD、∠ACD的角平分线交于点P，若∠A＝60°，∠D＝20°，则∠P的度数为（　　）

A．15° B．20° C．25° D．30°
【解答】解：延长AC交BD于点E，
设∠ABP＝α，
∵BP平分∠ABD，
∴∠ABE＝2α，
∴∠AED＝∠ABE+∠A＝2α+60°，
∴∠ACD＝∠AED+∠D＝2α+80°，
∵CP平分∠ACD，
∴∠ACP=12∠ACD＝α+40°，
∵∠AFP＝∠ABP+∠A＝α+60°，
∠AFP＝∠P+∠ACP
∴α+60°＝∠P+α+40°，
∴∠P＝20°，
故选：B．

5．如图，在△ABC中，∠ABC与∠ACD的平分线交于点A1，得∠A1；∠A1BC与∠A1CD的平分线相交于点A2，得∠A2；……；∠A2017BC与∠A2017CD的平分线相交于点A2018，得∠A2018．如果∠A＝80°，则∠A2018的度数是（　　）

A．80 B．802018
C．40 D．80×(12)2018
【解答】解：∵∠ABC与∠ACD的平分线交于点A1，
∴∠A1BC=12∠ABC，∠A1CD=12∠ACD，
由三角形的外角性质，∠ACD＝∠A+∠ABC，
∠A1CD＝∠A1+∠A1BC，
12（∠A+∠ABC）＝∠A1+∠A1BC＝∠A1+12∠ABC，
整理得，∠A1=12∠A=12×80°＝40°；
同理可得
∠An=(12)n×80
故选：D．
二．填空题（共4小题）
6．已知△ABC，下列说法正确的是　①②③　（只填序号）．
①如图（1），若点P是∠ABC和∠ACB的角平分线的交点，则∠P＝90°+12∠A；
②如图（2），若点P是外角∠CBF和∠BCE的角平分线的交点，则∠P＝90°-12∠A；
③如图（3），若点P是∠ABC和外角∠ACE的角平分线的交点，则∠P=12∠A．

【解答】解：①正确．∵P点是∠ABC和∠ACB的角平分线的交点，
∴∠PBC+∠PCB=12（∠ABC+∠ACB）=12（180°﹣∠A）＝90°-12∠A，
∴∠P＝180°-12（∠ABC+∠ACB）＝180°﹣90°+12∠A＝90°+12∠A；

②正确．∵BP、CP为△ABC两外角的平分线，
∴∠BCP=12∠BCE=12（∠A+∠ABC），∠PBC=12∠CBF=12（∠A+∠ACB），
由三角形内角和定理得：
∠BPC＝180°﹣∠BCP﹣∠PBC
＝180°-12[∠A+（∠A+∠ABC+∠ACB）]
＝180°-12（∠A+180°）
＝90°-12∠A．

③正确．∵BP是△ABC中∠ABC的平分线，CP是∠ACB的外角的平分线，
∴∠PBC=12∠ABC，∠PCE=12∠ACE，
∵∠ACE是△ABC的外角，∠PCE是△BPC的外角，
∴∠ACE＝∠ABC+∠A，∠PCE＝∠PBC+∠P，
∴12∠ACE=12∠ABC+12∠A，
∴12∠ABC+12∠A＝∠PBC+∠P，
∠P=12∠A；
故答案为①②③．
7．已知：如图，O是△ABC内一点，且OB、OC分别平分∠ABC、∠ACB，若∠A＝46°，求∠BOC＝　113°　．

【解答】解：∵OB、OC分别是∠ABC和∠ACB的角平分线，
∴∠OBC+∠OCB=12∠ABC+12∠ACB=12（∠ABC+∠ACB），
∵∠A＝46°，
∴∠OBC+∠OCB=12（180°﹣46°）＝67°，
∴∠BOC＝180°﹣（∠OBC+∠OCB）
＝180°﹣67°
＝113°．
故答案为：113°．
8．如图，在△ABC中，∠ABC＝40°，∠ACD＝76°，BE平分∠ABC，CE平分△ABC的外角∠ACD，则∠E＝　18°　．

【解答】解：∵BE平分∠ABC，CE平分△ABC的外角∠ACD，
∴∠EBC=12∠ABC＝20°，∠ECD=12∠ACD＝38°，
∵∠ECD＝∠EBC+∠E，
∴∠E＝38°﹣20°＝18°，
故答案为18°．
9．如图，△ABC中，∠C＝104°，BF平分∠ABC与△ABC的外角平分线AE所在的直线交于点F，则∠F＝　52°　．

【解答】解：∵BF平分∠ABC，AE平分∠DAB，
∴∠ABF=12∠ABC，∠EAB=12∠DAB，
∵∠DAB﹣∠ABC＝∠C＝104°，
∴∠F＝∠EAB﹣∠ABF=12（∠DAB﹣∠ABC）＝52°，
故答案为：52°．

三．解答题（共5小题）
10．如图，在△ABC中，∠B＝90°，∠ACB、∠CAF的平分线所在的直线交于点H，求∠H的度数．

【解答】解：∵CH、AD分别为∠ACB、∠CAF的平分线，
∴∠CAD=12∠CAF＝∠H+12∠ACB（三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和），
又∵∠CAF＝∠B+∠ACB＝90°+∠ACB（三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和），
即12∠CAF-12∠ACB＝45°，
∴∠H=12∠CAF-12∠ACB＝45°．
11．如图①，∠ACD是△ABC的外角，BE平分∠ABC，CE平分∠ACD，且BE、CE交于点E．
（1）如果∠A＝60°，∠ABC＝50°，求∠E的度数；
（2）猜想：∠E与∠A有什么数量关系；（写出结论即可）
（3）如图②，点E是△ABC两外角平分线BE、CE的交点，探索∠E与∠A之间的数量关系，并说明理由．

【解答】解：（1）根据外角的性质得∠ACD＝∠A+∠ABC＝60°+50°＝110°，
∵BE平分∠ABC，CE平分∠ACD，
∴∠1=12∠ACD＝55°，∠2=12∠ABC＝25°
∵∠E+∠2＝∠1，
∴∠E＝∠1﹣∠2＝30°；

（2）猜想：∠E=12∠A；

（3）∵BE、CE是两外角的平分线，
∴∠2=12∠CBD，∠4=12∠BCF，
而∠CBD＝∠A+∠ACB，∠BCF＝∠A+∠ABC，
∴∠2=12（∠A+∠ACB），∠4=12（∠A+∠ABC）．
∵∠E+∠2+∠4＝180°，
∴∠E+12（∠A+∠ACB）+12（∠A+∠ABC）＝180°，
即∠E+12∠A+12（∠A+∠ACB+∠ABC）＝180°．
∵∠A+∠ACB+∠ABC＝180°，
∴∠E+12∠A＝90°．

12．甲乙两同学对同一个图形进行研究，如图①，在△ABC中，点O是∠ABC和∠ACB平分线的交点，若∠A＝α，则∠BOC＝　（90+α2）°　．（说明：本题中角的大小均可用á表示）；
（1）甲同学不断调整图中射线BO、CO的位置，如图②，∠CBO=13∠ABC，∠BCO=13∠ACB，∠A＝α，则∠BOC＝　120°+13∠α　，并请你帮他说明理由．
（2）由（1）方法，甲同学猜想：如图③，当∠CBO=1n∠ABC，∠BCO=1n∠ACB，∠A＝α，∠BOC＝　(n-1)180°+∠αn　
（3）乙两同学的探究思路是把三角形不断变化为四边形、五边形、六边形…，探究角平分线组成的∠O与多边形其他角的关系．如图④，在四边形ABCD中，BO、CO分别平分∠ABC和∠BCD，试探究∠O与∠A、∠D的数量关系　∠O=12（∠A+∠D）　，并说明理由．
（4）仿照（3）的方法，如图⑤，在六边形ABCDEF中，BO、CO分别平分∠ABC和∠BCD，请直接写出∠O与∠A、∠D、∠E、∠F的数量关系：　∠O=12（∠A+∠∠D+∠E+∠F）﹣180°　．
【解答】解：∵∠A＝α，
∴∠ABC+∠ACB＝180°﹣α，
∵OB、CO分别平分∠ABC和∠ACB，
∴∠OBC=12∠ABC，∠OCB=12∠ACB，
∴∠OBC+∠OCB=12（∠ABC+∠ACB）＝90°-α2，
∴∠O＝180°﹣（∠OBC+∠OCB）＝180°﹣90°+α2=（90+α2）°；
故答案为：（90+α2）°；

（1）根据∠CBO=13∠ABC，∠BCO=13∠ACB，∠A＝α，运用三角形内角和定理，即可得到∠BOC＝120°+13∠α；
（2）根据∠CBO=1n∠ABC，∠BCO=1n∠ACB，∠A＝α，运用三角形内角和定理，即可得到∠BOC=(n-1)180°+∠αn；
（3）四边形边形ABCDEF的内角和为：（4﹣2）•180°＝360°，
∵OB、OC分别平分∠ABC和∠BCD，
∴∠OBC=12∠ABC，∠OCB=12∠BCD，
∴∠O＝180°﹣∠PDC﹣∠PCD
＝180°-12∠ABC-12∠BCD
＝180°-12（∠ABC+∠BCD）
＝180°-12（360°﹣∠A﹣∠D）
=12（∠A+∠D）°，
（4）六边形ABCDEF的内角和为：（6﹣2）•180°＝720°，
∵OB、OC分别平分∠ABC和∠BCD，
∴∠OBC=12∠ABC，∠OCB=12∠BCD，
∴∠O＝180°﹣∠OBC﹣∠OCD
＝180°-12∠ABC-12∠BCD
＝180°-12（∠ABC+∠BCD）
＝180°-12（720°﹣∠A﹣∠B﹣∠E﹣∠F）
=12（∠A+∠B+∠E+∠F）﹣180°，
故答案为：12（∠A+∠B+∠E+∠F）﹣180°．
13．（1）如图1，已知△ABC，BF平分外角∠CBP，CF平分外角∠BCQ．试确定∠A和∠F的数量关系；
（2）如图2，已知△ABC，BF和BD三等分外角∠CBP，CF和CE三等分外角∠BCQ．试确定∠A和∠F的数量关系；
（3）如图3，已知△ABC，BF、BD和BM四等分外角∠CBP，CF、CE和CN四等分外角∠BCQ．试确定∠A和∠F的数量关系；
（4）如图4，已知△ABC，将外角∠CBP进行n等分，BF是临近BC边的等分线，将外角∠BCQ进行n等分，CF是临近BC边的等分线，试确定∠A和∠F的数量关系．

【解答】解：（1）由已知得∠CBF=12∠CBP，∠BCF=12∠BCQ，
∵∠CBP＝∠A+∠ACB，∠BCP＝∠A+∠ABC，
∴∠CBF+∠BCF=12(∠A+∠ACB+∠A+∠ABC)=12(∠A+180°)∠F=180°-(∠CBF+∠BCF)=180°-12(∠A+180°)=90°-12∠A．

（2）由已知得∠CBF=13∠CBP，∠BCF=13∠BCQ，
∵∠CBP＝∠A+∠ACB，∠BCP＝∠A+∠ABC，
∴∠CBF+∠BCF=13(∠A+∠ACB+∠A+∠ABC)=13(∠A+180°)∠F=180°-(∠CBF+∠BCF)=180°-13(∠A+180°)=120°-13∠A．

（3）由已知得∠CBF=14∠CBP，∠BCF=14∠BCQ，
∵∠CBP＝∠A+∠ACB，∠BCP＝∠A+∠ABC，
∴∠CBF+∠BCF=14(∠A+∠ACB+∠A+∠ABC)=14(∠A+180°)∠F=180°-(∠CBF+∠BCF)=180°-14(∠A+180°)=135°-14∠A．
（4）由已知得∠CBF=1n∠CBP，∠BCF=1n∠BCQ，
∴∠CBP＝∠A+∠ACB，∠BCP＝∠A+∠ABC，
∴∠CBF+∠BCF=1n(∠A+∠ACB+∠A+∠ABC)=1n(∠A+180°)∠F=180°-(∠CBF+∠BCF)=180°-1n(∠A+180°)=n-1n×180°-1n∠A．
14．（1）如图1，O是△ABC内一点，且BO，CO分别平分∠ABC，∠ACB、若∠A＝46°，则∠BOC＝　113°　；若∠A＝n°，则∠BOC＝　90°+12n°　；
（2）如图2，O是△ABC外一点，BO，CO分别平分△ABC的外角∠CBE，∠BCF．若∠A＝n°，求∠BOC；
（3）如图3，O是△ABC外一点，BO，CO分别平分∠ABC，∠ACD．若∠A＝n°，求∠BOC．

【解答】解：（1）∵∠COB＝180°﹣（∠OBC+∠OCB），
而BO，CO分别平分∠ABC，∠ACB，
∴∠OBC=12∠ABC，∠OCB=12∠ACB
∴∠BOC＝180°-12（∠ABC+∠ACB）
＝180°-12（180°﹣∠A）
＝90°+12∠A
＝113°，
故∠BOC＝113°．
∴若∠A＝n°，则∠BOC=90°+12n°；

（2）∵∠COB＝180°﹣（∠OBC+∠OCB），
而BO，CO分别平分∠ABC，∠ACB，
∴∠OBC=12∠EBC，∠OCB=12∠FCB
∴∠BOC＝180°-12（∠EBC+∠FCB），
而∠EBC＝180°﹣∠ABC，∠FCB＝∠180°﹣∠ACB
∴∠BOC＝180°-12（180°+∠A）
＝90°-12∠A，
∴∠BOC=90°-12n°；

（3）∵∠COB＝∠4﹣∠2，∠A＝∠ACD﹣∠ABC，
而BO，CO分别平分∠ABC，∠ACD，
∴∠ACD＝2∠4，∠ABC＝2∠2，
∴∠A＝2∠COB，
∴∠BOC=12n°．

第19页（共19页）